统计学第4章 参数估计

第4章参数估计第4章参数估计4.1参数估计的一般问题4.2一个总体参数的区间估计4.3两个总体参数的区间估计（自学）4.4样本容量的确定4.1参数估计的一般问题一、估计量与估计值二、点估计与区间估计三、评价估计量的标准估计量：用于估计总体参数的随机变量如样本均值，样本比率、样本方差等例:样本均值就是总体均值的一个估计量总体参数用表示，估计量用表示估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值如果样本均值x=80，则80就是θ的估计值估计量与估计值

(estimator&estimatedvalue)参数估计的基本方式用样本对总体的未知参数进行估计的方法常见的有两种:点估计（pointestimation）

区间估计（intervalestimation）

用某一样本统计量的值来估计相应总体参数的值叫总体参数的点估计。以样本统计量的抽样分布（概率分布）为理论依据，按一定概率要求，由样本统计量的值估计总体参数值的所在范围，称为总体参数的区间估计。用样本的估计量直接作为总体参数的估计值例如：用样本均值直接作为总体均值的估计例如：用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计优点：简单、具体明确缺点：点估计没有给出估计值接近总体未知参数程度的信息点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、最大似然法、最小二乘法等点估计

(pointestimate)点估计

（例题分析）例如，对一批某种型号的电子元件10000只进行耐用时间检查，随机抽取100只，测试的平均耐用时间为1055小时，合格率为91%。我们推断说10000只电子元件的平均耐用时间为1055小时，全部电子元件的合格率也是91%。为了考察师大男生的身高状况，随机抽测50人得到试估计师大男生的平均身高和标准差。解：师大男生平均身高的估计值是170cm，但其真正的平均身高是否就是170cm?未必就是，这里面存在误差。那么这种误差是如何处理呢？点估计

（例题分析）点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大。区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷①②导弹直接命中敌机将其击毁导弹接近敌机时引爆战斗部，依靠高速飞行的弹片将其击毁用空空导弹击落敌机的两种模式：可见估计未知参数的范围比未知参数的点估计更有应用价值设是未知参数的点估计未知参数落在什么范围内？用估计有多高的精度？区间估计问题的实际背景问题一问题二要求精确估计敌机位置(点估计)制导精度要求高，导弹可小型化不需要估计敌机精确位置，只需要判断敌机是否落入导弹杀伤力范围制导精度要求低，导弹体积较大分析则随机区间可作为未知参数的“估计”.特点小，则估计精度高、可信度低大，则可信度高、估计精度低问如何平衡估计精度与可信度？区间估计若设有两个统计量

譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们根据一个实际样本，得到鱼数N的估计量为1000条。

若我们能给出一个区间（950，1050），在此区间内我们合理地相信N的真值位于其中，这样对鱼数的估计就有把握多了。

实际上，N的真值可能大于1000条，也可能小于1000条。区间估计

（例题分析）问题就在于：这个1000的估计值可能在区间（950，1050）内，也可能不在区间估计的思想

点估计总是有误差的，但没有衡量偏差程度的量，区间估计则是按一定的可靠性程度对待估参数给出一个区间范围。引例设某厂生产的灯泡使用寿命X~N（，1002），现随机抽取5只，测量其寿命如下：1455，1502，1370，1610，1430，则该厂灯泡的平均使用寿命的点估计值为可以认为该种灯泡的使用寿命在1473.4个单位时间左右，但范围有多大呢？又有多大的可能性在这“左右”呢？如果要求有95%的把握判断在1473.4左右，则由Z统计量可知由查表得面积？区间估计

(intervalestimate)

在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量加减抽样误差而得到。根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量比如，某班平均分数在75～85之间，置信水平是95%优点：考虑了估计量的分布，能说明估计结果的可靠程度样本统计量

(点估计)置信区间置信下限置信上限设是一个待估计的参数，是一给定的数，(0<<1)．若能找到两个统计量使得则称随机区间为参数的置信度为1-的置信区间，分别称

为置信下限与置信上限，1-称为置信水平或置信度．

置信区间的定义区间估计的图示x95%的样本-1.96x+1.96x99%的样本-2.58x+2.58x90%的样本-1.65x+1.65x将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比率称为置信水平表示为(1-为是总体参数未在区间内的比率常用的置信水平值有99%,95%,90%相应的为0.01，0.05，0.10置信水平这个概率不是用来描述某个特定的区间包含总体参数真值的可能性，而是指在多次抽样得到的区间中大概有多少个区间包含了总体参数的真值由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个置信区间

(confidenceinterval)总体参数的真值是固定的、未知的，而用不同样本构造的区间是不固定的，因此，置信区间是一个随机区间，它会因样本的不同而不同小结（1）区间估计简单地说就是用一个区间去估计未知参数，把未知参数估计在某两个界限之间。（2）置信区间按照预先给定的概率（1-α

）确定的包含未知总体参数的可能范围。它是以上下置信限（L1,L2）为界。（3）置信概率又称置信水平或置信度，指在区间估计中，预先选定（规定）的概率。用1-α表示。常取95%或99%。（4）显著性水平在使用置信区间作估计时，被估计的参数不在该区间内的概率。用α表示。一般α取值要求较小。小结置信区间表达了区间估计的精确性。置信水平（1-α）表达了区间估计的可靠性。它是区间估计的可靠概率。显著性水平α表达了区间估计的不可靠的概率。要点

§4.2点估计的评价标准

对于同一个未知参数,不同的方法得到的估计量可能不同,于是提出问题应该选用哪一种估计量?用何标准来评价一个估计量的好坏?常用标准(1)无偏性(3)一致性(2)有效性若则称是的无偏估计量.

无偏性(unbiasedness)定义我们不可能要求每一次由样本得到的估计值与真值都相等，但可以要求这些估计值的期望与真值相等.定义的合理性无偏性

(unbiasedness)无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数P(

)BA无偏有偏抽样分布中，样本均值、比率、方差分别是总体均值、比率、方差的无偏估计量有效性

(efficiency)有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小标准差的估计量更有效

AB

的抽样分布

的抽样分布P(

)无偏估计量还必须与总体参数的离散程度比较小都是总体参数的无偏估计量,且则称比更有效.定义

设有效性有效一致性

(consistency)一致性：随着样本容量的增大，估计量的值越来越接近被估计的总体参数AB较小的样本容量较大的样本容量P(

)4.2一个总体参数的区间估计一、总体均值的区间估计二、总体比率的区间估计三、总体方差的区间估计一个总体参数的区间估计总体参数符号表示样本统计量均值比率方差总体均值的区间估计

(大样本)1. 假定条件总体服从正态分布,且方差(２)

已知如果不是正态分布，可由正态分布来近似(n

30)2.使用正态分布统计量z总体均值在1-置信水平下的置信区间为此条件下小样本总体也适用总体均值的区间估计

(例题分析)【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10g。试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为95%25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.3总体均值的区间估计

(例题分析)解：已知Ｘ~N(，102)，n=25,1-=95%，z/2=1.96。根据样本数据计算得：

总体均值在1-置信水平下的置信区间为该食品平均重量的置信区间为101.44g~109.28g总体均值的区间估计

(例题分析)【例】一家保险公司收集到由36投保个人组成的随机样本，得到每个投保人的年龄(周岁)数据如下表。试建立投保人年龄90%的置信区间36个投保人年龄的数据233539273644364246433133425345544724342839364440394938344850343945484532总体均值的区间估计

(例题分析)解：已知n=36,1-=90%，z/2=1.645。根据样本数据计算得：

总体均值在1-置信水平下的置信区间为投保人平均年龄的置信区间为37.37岁~41.63岁总体均值的区间估计

（练习）

某大学从该校学生中随机抽取100人，调查到他们平均每天参加体育锻炼的时间为26分钟。试以95％的置信水平估计该大学全体学生平均每天参加体育锻炼的时间（已知总体方差为36分钟）。总体均值的区间估计

（例题分析）解：已知x＝26,=6，n=100,1-=0.95，Ｚ/2=1.96我们可以95％的概率认为平均每天参加锻炼的时间在24.824～27.176分钟之间

某厂生产的零件长度X服从N(,0.04),现从该厂生产的零件中随机抽取6个，长度测量值如下(单位：毫米)：

14.6,15.l,14.9,14.8,15.2,15.1.求：µ的置信系数为0.95的区间估计。

总体均值的区间估计

(练习)解：n=6，=0.05，z/2=z0.025=1.96，2=0.22.

所求置信区间为总体均值的区间估计

(例题分析)总体均值的区间估计

(小样本)1. 假定条件总体服从正态分布,且方差(２)

未知小样本

(n<30)2.使用t

分布统计量总体均值在1-置信水平下的置信区间为注意自由度t分布

t分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布xt

分布与标准正态分布的比较t分布标准正态分布t不同自由度的t分布标准正态分布t(df=13)t(df=5)z总体均值的区间估计

(例题分析)【例】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命(小时)如下。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间16灯泡使用寿命的数据1510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701470总体均值的区间估计

(例题分析)解：已知Ｘ~N(，2)，n=16,1-=95%，t/2=2.131

根据样本数据计算得：，

总体均值在1-置信水平下的置信区间为该种灯泡平均使用寿命的置信区间为1476.8小时～1503.2小时

从一个正态总体中抽取一个随机样本，n=25，其均值x=50，标准差s=8。建立总体均值的95%的置信区间。总体均值的区间估计

(练习)总体均值的区间估计

(练习)解：已知Ｘ~N(，2)，x=50,s=8，n=25,1-=0.95，t/2=2.0639。我们可以95％的概率认为总体均值在46.69～53.30之间

为估计一物体的重量μ，将其称量10次,得到重量的测量值(单位:千克)如下:10.l,10.0,9.8,10.5,9.7,l0.l,9.9,10.2,10.3,9.9.设它们服从正态分布N(,2)。求的置信系数为0.95的置信区间。总体均值的区间估计

(练习)解:

n=10,=0.05,t9(0.025)=2.2622,总体均值的区间估计

(练习)总体比率的区间估计1. 假定条件样本量足够大样本比率的抽样分布可以由正态分布来近似使用正态分布统计量z总体比率在1-置信水平下的置信区间为参看P108总体比率的区间估计

(例题分析)【例】某城市想要估计下岗职工中女性所占的比率，随机地抽取了100名下岗职工，其中65人为女性职工。试以95%的置信水平估计该城市下岗职工中女性比率的置信区间解：已知n=100，p＝65%,1-=95%，z/2=1.96该城市下岗职工中女性比率的置信区间为55.65%~74.35%

总体比率的区间估计

(练习)【例】某企业在一项关于职工流动原因的研究中，从该企业前职工的总体中随机选取了200人组成一个样本。在对其进行访问时，有140人说他们离开该企业是由于同管理人员不能融洽相处。试对由于这种原因而离开该企业的人员的真正比例构造（95%的置信区间）。我们可以95％的概率保证该企业职工由于同管理人员不能融洽相处而离开的比例在63.6%~76.4%之间解：已知n=200，P＝0.7,=0.95，Ｚ/2=1.96总体比率的区间估计

(练习)1. 估计一个总体的方差或标准差2. 假设总体服从正态分布3.总体方差2

的点估计量为s2,且4.总体方差在1-置信水平下的置信区间为参看P108总体方差的区间估计总体方差的区间估计

(图示)221-2总体方差1-的置信区间自由度为n-1的2分布总体方差的区间估计

(例题分析)【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布。以95%的置信水平建立该种食品重量方差的置信区间25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.3总体方差的区间估计

(例题分析)解:已知n＝25，1-＝95%,根据样本数据计算得

s2=93.21

2置信度为95%的置信区间为该企业生产的食品总体重量标准差的的置信区间为7.54g~13.43g总体方差的区间估计

(练习)有一大批糖果，现从中随机地抽取16袋,称得重量(以克计)如下:506508499503504510497512514505493496506502509496设袋装糖果的重量近似地服从正态分布，试求总体标准差σ的置信水平0.95为的置信区间。S=6.2022解：这里总体方差的区间估计

(练习)于是得到σ的置信水平为0.95的置信区间为总体方差的区间估计

(练习)例2：为估计一物体的重量μ，将其称量10次,得到重量的测量值(单位:千克)如下:10.1,10.0,9.8,10.5,9.7,10.1,9.9,10.2,10.3,9.9.设它们服从正态分布N(,2)。求2的置信系数为0.95的置信区间。S2=0.0583解：n=10,

=0.05,S2=0.0583,查附表得，

于是，总体方差的区间估计

(练习)4.4

样本容量的确定一、估计总体均值时样本容量的确定二、估计总体比率时样本容量的确定估计总体均值时样本容量n为样本容量n与总体方差2、可接受的允许误差E、可靠性系数Z或t之间的关系为与总体方差成正比与允许误差成反比与可靠性系数成正比估计总体均值时样本容量的确定其中：估计总体均值时样本容量的确定

(例题分析)【例】拥有工商管理学士学位的大学毕业生年薪的标准差大约为2000元，假定想要估计年薪95%的置信区间，希望允许误差为400元，应抽取多大的样本容量？估计总体均值时样本容量的确定

(例题分析)解:已知=2000，E=400,1-=95%，z/2=1.96

应抽取的样本容量为即应抽取97人作为样本样本容量的确定（实例）解:已知2=1800000，=0.05，