统计学PPT第四章：估计

Chapter4估计本章重点点估计抽样分布

均值区间估计

比例区间估计

方差区间估计第一节点估计矩估计最大似然估计点估计标准总体和样本

总体样本观测基本假设：独立同分布（iid）参数和估计

总体：参数（parameter）样本：估计量（estimator）观测：估计值（estimate）抽样估计

利用样本估计值去估计总体参数的过程称为抽样估计（samplingestimation）或参数估计（parameterestimation）用单值估计参数称为点估计（pointestimation）用区间估计参数称为区间估计（intervalestimation）点估计点估计的基本思想是根据样本观测为总体参数找到一个最优估计矩估计（methodofmoments）最大似然估计（maximumlikelihoodestimation,mle）矩估计根据分布计算总体矩根据样本观测计算样本矩据总体矩等于样本矩联立方程组求参数最大似然估计根据分布计算样本观测的取值概率样本观测的总取值概率即为似然函数，其对数为对数似然函数最大似然估计让似然函数或者对数似然函数取最大值的参数极为最大似然估计，即令该方程组得解即为最大似然估计练习某变量的10次观测如下

216530.113112假设该变量的概率密度函数为求的矩估计和最大似然估计优良估计标准

无偏（unbiased）有效（effective）一致（consistent）主要参数和估计值名称总体样本均值方差比例（0-1变量）方差第二节样本均值和比例分布样本均值的分布样本比例的分布

均值和标准差

样本均值的均值（expectation）为总体均值，即标准差

标准误差样本均值的标准差代表了样本均值估计总体均值的误差，亦称样本均值的标准误差（standarderror）

影响抽样误差大小的因素有二：一为总体的标准差，；二为样本容量的大小应当指出，抽样误差同总体容量没有关系或关系很小

标准误差的估计实际中总体标准差常常是未知的，因此要样本均值的标准误差，需用样本标准差s代替

当样本容量很大时，这种代替的误差是很小的；但当样本容量较小时，就会产生较大的误差误差计算从某企业生产的5000个零件中随机检测200个，测得这200个零件的平均长度为423毫米，标准差为12毫米。求标准误差误差的修正

不重复抽样时，标准误差计算公式为

叫有限总体修正系数（finitepopulationcorrection）但当总体容量很大时，这种修正就不存在或作用很少误差计算从某企业生产的5000个零件中随机检测200个，测得这200个零件的平均长度为423毫米，标准差为12毫米。若采用不重复抽样，求标准误差随机试验重复地从1到9中随机抽5个数，计算均值。观察均值的分布样本均值的分布形态

中心极限定理（centrallimittheorem）：不论总体变量成何种分布，当样本容量很大时，样本均值服从以为均值，为标准差的正态分布样本比例

样本比例是样本均值的特殊情况，即样本比例可看成是0-1变量的均值，因此容易知道样本比例分布

均值标准误差标准差（标准误差）：标准误差的估计

同样的道理，总体比例常常未知，需用样本比例估计样本比例的标准误差某公司从一批产品中随机抽取100件进行调查，发现其中有10件不合格。求样本合格品率的标准误差分析：题目未告知是否采用不重复抽样，但据题意可知总体单位数很大，因此即便采用不重复抽样其标准误差的修正效果也不好，因此视同重复抽样样本比例的分布

当样本容量很大时，样本比例服从以为均值，为标准差的正态分布第三节区间估计区间估计必要抽样数目

区间估计

区间估计是指给出未知的总体参数所在的区间，并且给出需要的概率保证度

总体均值的区间估计：根据样本均值服从以为均值，为标准差的正态分布，可知总体均值的区间估计上式说明，总体均值落在区间上的概率为或者更精确地说，我们能以的概率保证所给的区间能包含总体均值上述的区间称之为置信区间（confidenceinterval），概率称之为置信水平（confidencelevel），称之为极限误差,称之为显著水平（significancelevel）区间估计从某企业生产的5000个零件中随机检测200个，测得这200个零件的平均长度为423毫米，标准差为12毫米。若采用重复抽样，求整批零件平均长度的95%的置信区间练习从某企业生产的5000个零件中随机检测200个，测得这200个零件的平均长度为423毫米，标准差为12毫米。若采用不重复抽样，求整批零件平均长度的95%的置信区间保质期

某食品公司欲知道产品的保质期，从一批产品中随机抽取20件观察，发现它们平均保质期为400天，标准差为50天。求该批产品平均保质期的95%的置信区间

总体比例的区间估计根据样本比例的抽样分布理论，很容易知道，在置信度下，总体比例的置信区间为：总体比例的区间估计某公司从一批产品中随机抽取100件进行调查，发现其中有10件不合格。求该批产品合格品率的95%的置信区间：所以该批产品合格品率的一个95%的置信区间为总统的支持率2012年美国总统大选之前，美国权威的民意调查公司——盖洛普（GallupTracking）的一项民意调查中显示，在被随机调查的2700个选民中有1320人表示会把选票投给奥巴马，1350人表示会把票投给罗姆尼。在95%的概率保证下，请分布估计奥巴马和罗姆尼支持率的置信区间

必要抽样数目某工地有2000名工人，要用随机不重复抽样法来测定其工作量，已知标准差为9立方米。若以95.45%的概率作保证要求抽样误差不超过0.8立方米，问至少应抽取多少名工人进行调查

即至少抽取404人调查练习应调查多少人？2012年美国总统大选之前，美国权威的民意调查公司——盖洛普（GallupTracking）的一项民意调查中显示，在被随机调查的2700个选民中有1320人表示会把选票投给奥巴马，1350人表示会把票投给罗姆尼。假设在大选之前盖洛普又被要求作一次相同的民意调查，但要求在95%的概率保证下奥巴马支持率的估计误差不超过±1.5%，根据第一次的调查经验盖洛普应该至少要抽取多少选民进行调查？第四节小样本的估计小样本t分布小样本如果样本容量太小（小于30），那么用正态分布进行区间估计误差较大这时候改成用t分布（tdistribution）即可。即：t服从自由度为n-1（n为样本容量）的t分布。t分布的pdf设t分布的自由度为则t分布的pdf为:t分布

t分布跟标准正态分布非常接近，区别在于其分布形态取决于自由度n-1（n为样本容量），t分布均值为0（当n-1大于1时），标准差为（当n-1大于2时）t分布与标准正态分布t分布跟标准正态分布相比更低峰但是随着自由度的增加，峰会越来越尖t分布随着自由度增加收敛于标准正态分布，事实上，当n大于30时，两者区别已非常小，可视同标准正态分布t分布的百分位数设百分数，满足

则称为t分布在自由度为n-1下的第百分位数总体均值的区间估计根据t分布，很容易知道，在置信度下，总体均值

的置信区间为：保质期

某食品公司欲知道产品的保质期，从一批产品中随机抽取20件观察，发现它们平均保质期为400天，标准差为50天。求该批产品保质期的95%的置信区间

糖果平均重量从一批糖果中随机抽取16袋，称得重量（克）如下。求平均重量的一个95%置信区间506508499503508510497512514505493496506502509496

单侧置信区间在前面的两个例子中，糖果重量的需要一个双侧的置信区间，而对于保质期而言，越长越好，所以我们只需要一个右侧的置信区间，或者我们只要知道保质期的下限。而有时我们需要一个左侧的置信区间。我们称之为单侧置信区间（one-sidedconfidenceinterval）。在置信度下，总体均值的右侧和左侧置信区间分别为：保质期

某食品公司欲知道产品的保质期，从一批产品中随机抽取20件观察，发现它们平均保质期为400天，标准差为50天。在95%的置信度下求该批产品平均保质期的单侧置信下限。

灯泡寿命

从一批灯泡中随机抽取5只做使用寿命试验，测得它们的使用寿命如下：（单位：小时）

10501100112012501280

求该批灯泡平均使用寿命的一个95%的置信下限

第五节总体方差的区间估计分布总体方差的区间估计总体方差总体方差的区间估计需要用到分布（chi-squaredistribution）上式表明，服从于自由度为n-1的分布，其中n为样本容量，为样本方差。分布的pdf设分布的自由度为则分布的pdf为:分布

跟t分布一样，分布的形态取决于自由度n-1（n为样本容量），分布均值为n-1，标准差为分布的特征分布总大于0分布不是对称的分布，而是右偏分布。但是随着自由度n-1的增加，偏度越来越小而趋于对称，而且峰越来越低。分布随着自由度增加收敛于正态分布，事实上，当n大于50时，两者区别已非常小，可视同正态分布分布的百分位数设百分数，满足

则称为分布在自由度为n-1下的第百分位数总体方差的区间估计

即在置信度下，总体方差的一个置信区间为：保质期的标准差

某食品公司欲知道产品的保质期，从