结构力学上第8章 位移法

第8章位移法一、

位移法是计算超静定结构的另一种基本方法。分析超静定结构时，有两种基本方法：第一种：以多余未知力为基本未知量；先求其反力或内力，然后计算位移——力法。第二种：以结点未知位移为基本未知量；先求其位移，然后再计算内力——位移法。结构在外因作用下产生内力变形内力与变形间存在关系§8.1概述力法：由变形协调条件建立位移方程；位移法：由平衡条件建立的平衡方程。二、位移法与力法的区别1.主要区别是基本未知量选取不同力法：多余未知力作为基本未知量；位移法：结点位移(线位移和角位移)作为基本未知量。2.建立的基本方程不同注意：力法的基本未知量的数目等于超静定次数，而位移法的基本未知量与超静定次数无关。1.刚结点所连接的各杆端截面变形后有相同的角位移；三、位移法的基本假定2.各杆端之间的连线长度变形前后保持不变，即忽略杆件的轴向变形；3.结点线位移的弧线运动用垂直于杆轴的切线代替，即结点线位移垂直于杆轴发生。四、用位移法计算超静定结构的思路例如：用位移法求解如图所示的刚架。由此可知，结点1只有转角Z1，而无线位移。因节点1为刚节点，汇交于结点1的两杆杆端也应有同样的转角Z1。1.为了使问题简化，作如下计算假定：1）在受弯杆件中，略去杆件的轴向变形和剪切变形的影响。2）假定受弯杆两端之间的距离保持不变。忽略轴向变形＝＋这两个结构都可以用力法求解（1）用力法算出单跨超静定梁在杆端发生各种位移时及荷载等因素作用下的内力（2）确定以上结构的位移作为基本未知量（3）如何求出这些位移?ABCPθAθA荷载效应包括：内力效应：M、Q、N；位移效应：θAABCPθAθA附加刚臂Step1：附加刚臂限制结点位移，荷载作用下附加刚臂上产生附加力矩。Step2：对结点施加产生相应的角位移，以实现结点位移状态的一致性。产生相应的附加约束反力。ABC实现位移状态可分两步完成Step3：叠加两步作用效应，约束结构与原结构的荷载特征及位移特征完全一致，则其内力状态也完全相等；

由于原结构没有附加刚臂：因此附加约束上的附加内力应等于0，按此可列出求解结点位移的基本方程。ABCPθAθAStep1：附加刚臂限制结点位移，荷载作用下附加刚臂上产生附加力矩。Step2：对结点施加产生相应的角位移，以实现结点位移状态的一致性，产生相应的附加约束反力。ABC使结点1正好转动一个转角Z1时，使所加的附加约束不再起作用，其数学表达式为：R1=0

上式意义：外荷载和实际应有的转角Z1共同作用于基本结构时，附加约束反力矩为零（刚臂不起作用）。R11=r11Z1Z1=1根据叠加原理，共同作用等于单独作用的叠加：

R1＝R11＋R1P=0

（a)R11为强制使结点发生转角Z1时所产生的约束反力矩。R1P为荷载作用下所产生的约束反力矩。

为单位位移（转角Z1＝1）产生的约束反力矩。上式的物理意义是，基本结构由于转角Z1和外荷载FP共同作用，在附加刚臂1处所产生的约束反力矩总和等于零（使a,b两图叠加后附加刚臂不起作用）。由此方程可得：可见，只要有了系数r11及自由项R1P，Z1值很容易求得。为了将式(a)写成未知量Z1的显式，将R11写为：式（a）变为：为了确定上式中的R1P

和r11

，可先用力法分别求出各单跨超静定梁在梁端、柱顶1处转动Z1=1时产生的弯矩图及外荷载作用下产生的弯矩图。求系数和自由项r11Z1=11）求r11和M1P1AR1PPMP图2）求R1P和MP

现取图、MP图中的结点1为隔离体，由力矩平衡方程，求出：将这些结果代入位移法基本方程中解方程，即得最后，根据叠加原理，即可求出最后弯矩图。解方程，画内力图

1.在原结构产生位移的结点上设置附加约束，使结点固定，从而得到基本结构，然后加上原有的外荷载；２.人为地迫使原先被“固定”的结点恢复到结构原有的位移。通过上述两个步骤，使基本结构与原结构的受力和变形完全相同，从而可以通过基本结构来计算原结构的内力和变形。综上所述，位移法的基本思路是：PM=R1PR11=r11Z1=-R1P固定节点使之不动（a）（b）释放节点，使节点发生实际位移应用位移法需要解决的首要问题就是，要确定杆件的杆端内力与杆端位移及荷载之间的函数关系(杆件的转角位移方程)。利用力法的计算结果，由叠加原理导出三种常用等截面直杆的转角位移方程。8.2.1杆端内力及杆端位移的正负号规定1、杆端内力的正负号规定杆端弯矩：对杆端而言，以顺时针方向为正，反之为负。对结点或支座而言，则以逆时针方向为正，反之为负。杆端剪力和杆端轴力的正负号规定，仍与前面规定相同。§8.2等截面直杆的转角位移方程2、杆端位移的正负号规定1）杆端转角（角位移）:以顺时针为正，反之为负。2）线位移以杆的一端相对于另一端产生顺时针方向转动的线位移为正，反之为负。例如，图中ΔAB为正。8.2.2单跨超静定梁的形常数和载常数位移法中，常用到图示三种基本的等截面单跨超静定梁，它们在荷载、支座移动或温度变化作用下的内力可通过力法求得。a)两端固定b)一端固定一端铰支c)一端固定一端定向支承由荷载或温度变化引起的杆端内力称为载常数。其中的杆端弯矩也常称为固端弯矩，用和表示；杆端剪力也常称为固端剪力，用和表示。常见荷载和温度作用下的载常数列入表中。由杆端单位位移引起的杆端内力称为形常数。表中引入记号i=EI/l，称为杆件的线刚度。a)两端固定b)一端固定一端铰支c)一端固定一端定向支承8.2.3转角位移方程

1、两端固定梁由叠加原理可得：BAQFABQFABMMBABABqABPFEI=/lAlMB1P+++t1t2固端弯矩2、一端固定另一端铰支梁3、一端固定另一端定向支承梁1）两端固定梁2）一端固定另一端铰支梁3）一端固定另一端定向支承梁应用以上三组转角位移方程，即可求出三种基本的单跨超静定梁的杆端弯矩表达式，汇总如下：独立的结点位移：包括角位移和线位移结点角位移数：刚结点的数目独立结点线位移数：铰结体系的自由度

§8.3位移法的基本概念8.3.1位移法基本未知量●结点：指杆件与杆件的交结处，不包括支座结点。

●杆件：等截面的直杆，不能是折杆或曲杆。●为了减少未知量，忽略轴向变形，即认为杆件的EA=∞。2.有侧移结构1.无侧移结构基本未知量：所有刚结点的转角基本未知量的确定只有一个刚结点B，由于忽略轴向变形，B结点只有

只有一个刚结点B，由于忽略轴向变形及C结点的约束形式，B结点有一个转角和水平位移ABCABC

有两个刚结点B、C，由于忽略轴向变形及B、C点的约束，B、C点的竖向、水平位移均为零，因此该结构的未知量为：

ABCDABCD

排架结构，有两个铰结点A、B，由于忽略轴向变形，A、B两点的竖向位移为零，A、B两点的水平位移相等，因此该结构的未知量为：

EA=∞ABCD

两跨排架结构，有四个结点A、B、C、D，同理A与B点、D与C点的水平位移相同，各结点的竖向位移为零，但D结点有一转角，因此该结构的未知量为：

EA=∞ABDCEFG

该题的未知量为

对图示有斜杆的刚架，未知量分析的方法是：对于转角位移，只需数刚结点，一个刚结点一个转角位移。对于线位移，首先把所有的刚结点变成铰结点，然后再加链杆，使其变成无多余约束的几何不变体系，加了几根链杆，就是有几个线位移。ABCDEABCDE结点转角的数目：7个独立结点线位移的数目：3个123

刚架结构，有两个刚结点D、E，故有两个角位移，结点线位移由铰结体系来判断，W=3×4－2×6=0，铰结体系几何不变，无结点线位移。

ABCDEABCD

刚架结构，有两个刚结点C、D，故有两个角位移，结点线位移由铰结体系来判断，W=3×3－2×4=1，铰结体系几何可变，有一个线位移。

两点说明说明1：当刚架中有需要考虑轴向变形（）的二力杆时则考虑二力杆的轴向变形。例如：下图结构要求考虑水平直杆的轴向变形，2.建立基本体系（1）在每个刚结点处添加一个附加刚臂，

阻止刚结点转动（不能阻止线位移）；（2）在可能发生线位移的结点，加上附加链杆，阻止结点线位移（移动）。8.3.2位移法的基本结构1.基本体系——单跨超静定梁的组合体用位移法计算超静定结构时，把每一根杆件都作为单跨超静定梁看待。经过以上处理，原结构就成为一个由n个独立单跨超静定梁组成的组合体——即为位移法的基本体系。例.建立图示结构位移法的基本体系。

未知量2个：基本体系

在有转角位移的结点处先加一刚臂，阻止转动，然后再让其发生转角。在有线位移的结点处先加一链杆，阻止线位移，然后再让其发生线位移。EIEIABCLqLq原结构锁住——将原结构转换成基本体系。把原结构“拆成”孤立的单个超静定杆件；放松——将基本结构还原成原结构。即强行使“锁住”的结点发生与原结构相同的转角或线位移。2.位移法典型方程的建立与求解1.基本原理——先锁、后松。§8.4

位移法的典型方程EIEIABCqLL

原结构EIEIABCq

基本体系3i4i2i

M1图×Z1

M2图×Z2qL28Z1=1Z1Z2Z2=1

MP图==++6EIL26EIL2在M1、M2、MP三个图中的附加刚臂和链杆中一定有约束反力产生，而三个图中的反力加起来应等于零。qL28++=k11k21F1PF2Pk12附加刚臂和链杆上产生的反力EIEIABCq

基本体系Z1Z2k22

M2图×Z2Z2=16EIL26EIL2qL28

MP图qL28

M1图×Z1Z1=13i4i2i

位移法典型方程由反力互等定理可知：在M1、M2、MP三个图中附加刚臂和链杆中产生的附加力加起来应等于零，则有：方程中的系数和自由项就是M1、M2、MP三个图中刚臂和链杆中产生的附加反力。求系数和自由项：取各个弯矩图中的结点或截面利用平衡原理求得。由M1图：3i4ik11k11k21FQBA由M2图：6i/Lk12k12k22FQBA由MP图：把系数和自由项代入典型方程，有：——位移法方程F1PqL28F1PF2PFQBA=0以图(a)所示刚架为例，阐述在位移法中如何建立求解基本未知量的典型方程。1、确定位移法基本未知量：

基本未知量为:Z1、Z2

。2、选取位移法基本体系：如图(b)所示3、将原结构的变形根据变形协调进行分解，为以下三种变形的叠加：R2=0PL1234EI=常数Z1Z2(a)位移法的典型方程(b)基本体系1234=Z1Z2↷R1=0P

2134PR2PR1P=Z1R211342R111234R22R12Z21）将可能发生位移的节点全锁住，求荷载P引起的局部变形。锁住Z1和Z2，使1节点不转动且横梁也不水平移动。2）释放1节点此时仍然锁住Z2。使1节点产生实际位移Z1（基本未知量），此时在1节点处需施加力R11，对应的变形为实际位移Z1单独引起的变形。3）再释放Z2，此时要锁住Z1，使2节点或水平梁产生实际位移Z2

（基本未知量），此时需在2节点处需施加力R22，对应的变形为实际位移Z2单独引起的变形。4：用力的平衡条件建立位移法典型方程。原结构分解前与分解后再叠加应使结构节点处所受的力相同：在1节点处没有刚臂约束，无外力矩，则应满足：R1=0；在2节点处无水平链杆，无水平外力，则应满足：R2=0。即：R1=R11+R12+R1P=0R2=R21+R22+R2P=0R1—附加刚臂上的反力矩R2—附加链杆上的反力PPR1=R11+R12+R1P=0R2=R21+R22+R2P=0式中第一个下标表示该反力的位置，第二个下标表示引起该反力的原因。设以r11、r12分别表示由单位位移：Z1=1、Z2=1所引起的刚臂上的反力矩；以r21、r22分别表示由单位位移Z1=1、Z2=1所引起的所引起的链杆上的水平反力，则上式可写成:

r11Z1+r12Z2+R1P=0r21Z1+r22Z2+R2P=0这就是求解Z1、Z2的方程即位移法基本方程(典型方程)。它的物理意义是：基本结构在荷载等外因和结点位移（基本未知量）的共同作用下，每一个人为增设的附加约束中的附加反力或反力矩都应等于零(即附加约束实际上不起作用，为静力平衡条件)。借助于型常数和载常数绘出基本结构在以及荷载作用下的弯矩图和MP图：对上例：计算典型方程中的系数和自由项，134134213424i2i3iPMP图系数和自由项可分为两类：

1）附加刚臂上的反力矩r11、r12和R1P；

2）附加链杆上的反力r21、r22和R2P。r21r22R2P(a)(b)(c)r21R1Pr12r1113424i2i3ir21(a)r21

r11基本结构在作用下附加刚臂及附加链杆的反力。由1结点平衡条件得：4i3i1由12部分平衡条件得：12⇁0⇁单位位移Zi=1作用下附加反力（刚度系数）的计算对于附加刚臂上的反力矩r11、r12和R1P：可分别在图(a)、(b)、(c)中取结点1为隔离体，由力矩平衡方程∑M1=0求得：r11=7i，r12=-6i/l，R1P=PL/81113i4i0R1P0134134213424i2i3iPMP图r21r22R2P(a)(b)(c)

r11r12R1Pr12r11

对于附加链杆上的反力r21、r22和R2P

：可分别在图(a)、(b)、(c）中用截面法割断两柱顶端，取柱顶端以上横梁部分为隔离体，由表7-1查出杆端剪力，由方程∑X=0求得：1342134213424i2i3iPMP图r21r22R2P(a)(b)(c)121212⇁⇁0↽↽⇁⇁0r21r22R2PR1Pr12r11r21r22R2Pr21=－R2P=－P/2将系数和自由项代入典型方程：解此方程得：所得均为正值，说明Z1、Z2与所设方向相同。解方程，求基本未知量r11Z1+r12Z2+R1P=0r21Z1+r22Z2+R2P=0得：7、最后弯矩图由叠加法绘制：例如：杆端弯矩M31为M图1234PM图绘出后，Q、N图即可由平衡条件绘出(略）。8、对内力图进行校核，包括平衡条件和位移条件的校核。其方法与力法中所述一样，这里从略。计算图示刚架,作弯矩图,各杆EI=常数基本体系①确定基本体系和基本未知量解：②建立位移法方程③作单位弯矩图和荷载弯矩图④求系数和自由项⑤解方程⑥作弯矩图31010612（15）（4）计算图示刚架,作弯矩图①确定基本体系和基本未知量解：②建立位移法方程③作单位弯矩图和荷载弯矩图④求系数和自由项⑤解方程⑥作弯矩图基本体系解：①确定基本体系和基本未知量②建立位移法方程③作单位弯矩图和荷载弯矩图④求系数和自由项⑤解方程⑥作弯矩图3232用基本体系求内力的计算步骤:1、确定未知量，画出位移法的基本体系，2、建立位移法的典型方程，3、画出M1、…MP图，4、求出系数和自由项，5、代入解方程，得到结点位移，6、按下式画弯矩图：小结（1）确定基本未知量，取基本体系。位移法的解题步骤与方法同力法相比较：力法：多余未知力；位移法：未知角位移、线位移。未知量力法——静定结构；位移法——单跨超静定梁的组合体。基本体系（3）作MP、Mi图，求系数和自由项力法：先作出静定结构分别在载荷FP、多余未知力作用下的弯矩图MP、Mi

；然后应用图乘法求出系数和自由项：ΔiP、δij、δii；（2）建立典型方程建立方程条件力法：去掉多余约束处的位移条件；位移法：附加约束上约束反力的平衡条件。方程的性质力法：变形协调方程；位移法：平衡方程。

位移法：先作出基本体系分别在载荷FP、单位位移（Zi=1)作用下所引起的弯矩图（借助于转角位移方程或图表）；然后利用结点或截面的平衡，求出附加刚臂中的反力矩和附加链杆中的反力，即位移法的系数和自由项：Fip、k

ij、k

ii。（4）解典型方程，求基本未知量。（5）绘制最后内力图——采用叠加法。力法：位移法：8.5.1无侧移结构的计算例1:用位移法计算图示刚架,并作弯矩图.E

=常数.如何求？无侧移结构只有节点角位移无线位移。§8.5

用位移法计算超静定结构在荷载作用下的内力1）基本未知量为1，2节点处的两个角位移，无节点线位移；属于无侧移结构。2）在节点处附加刚臂，基本体系如图。解：3)

建立位移法的基本方程：4)

绘单位弯矩图和MP图，求系数和自由项（利用节点平衡）图8i8i4i4i4i2i图锁定Z1锁定Z1和Z2图4i4i8i2i锁定Z2图4i4i8i2i锁定Z2图8i8i4i4i4i2i锁定Z1图锁定Z1和Z24i8i4i4i4i8i8i5)

代入方程求解基本未知量最终内力：6)

按叠加法绘制最后弯矩图。请自行作出最终M图7)

校核：主要对力的平衡关系进行校核。用位移法求解图示结构。解：①确定基本体系和基本未知量②建立位移法方程③作单位弯矩图和荷载弯矩图令：基本体系4041.741.7④求系数和自由项⑤解方程⑥作弯矩图例1:用位移法计算图示刚架,并作弯矩图.E=常数.8.5.2有侧移刚架的计算有侧移结构有节点线位移，可能有节点角位移。1)基本未知量为中节点处的角位移，边节点的线位移；两个基本未知量,属于有侧移结构。2）在中节点处加刚臂，在边节点处附加支杆基本体系如图。3)

建立位移法的基本方程：4)

绘单位弯矩图M和MP图，求系数和自由项解：R1=0基本体系Z1Z2R2=0单位弯矩图和荷载弯矩图示意图如下:锁定Z2M1图6iZ1=14i2i6ik21k11锁定Z1M2图k21Z2=1k223i/l6i/l6i/l3i/lMP图R1Pql2/8ql2/164i6i6ik11=16i6i/lk12=

k21=-6i/lk21=

k12=-6i/l6i/lk223i/l23i/l212i/l2R2P3ql/8R1P=0R2Pk11=16ik12=

k21=-6i/lk22=18i/l2R1P=0R2P=-3ql/85)

代入方程求解基本未知量6)

按叠加法绘制最后弯矩图。ql2/16ql2/8ql2/83ql2/283ql2/563ql2/56ql2/147)

校核。8.5.3对称结构的计算例题回顾力法中对称性的利用：目的：1)简化系数或自由项的计算使之尽量多的为零，

2)减少基本未知量或方程数目从而简化计算。1、利用对称性质，直接判定结构在对称轴处某些内