第四讲单自由度系统的受迫振动

2.2简谐激励作用下的受迫振动

2.2.1振动微分方程2.2.2受迫振动的振幅B、相位差的讨论2.1.3旋转失衡引起的强迫振动2.1.4支撑运动引起的强迫振动受迫振动激励形式－系统在外界激励下产生的振动。

－外界激励一般为时间的函数，可以是周期函数，也可以是非周期函数。简谐激励是最简单的激励。2.2简谐激励作用下的受迫振动

简谐激振力振力的幅值，ω为激振力的圆频率。以平衡位置O为坐标原点，x轴铅直向下为正，物块运动微分方程为：具有粘性阻尼的单自由度受迫振动微分方程，是二阶常系数线性非齐次常微分方程。2.2.1振动微分方程

例：，F0为激简谐激励的响应－全解有阻尼系统在简谐激励力作用下的运动微分方程

微分方程全解：齐次解:x1(t)特解:x2(t)有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解非齐次通解齐次通解非齐次特解=＋齐次非齐次有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解

x2(t)——有阻尼系统简谐激励响应中的特解是指不随时间衰减的稳态响应：x1(t)——有阻尼自由振动运动微分方程的解:受迫振动的构成：0246810-2-1012B0瞬态振动完整受迫振动稳态振动t这表明：稳态受迫振动是与激励频率相同的谐振动。

可以看出：稳态受迫振动的振幅与滞后相位差均与初始条件无关，仅仅取决于系统和激励的特性。2.1.1振动微分方程代入其中初始条件：特解（稳态响应）的求解：将得到：相位差；其中r是激励的频率与系统的固有频率之比稳态受迫振动的振幅系统的唯一稳态响应为：忽略阻尼时（c=0)：同理，扭转振动微分方程为：扭转受迫振动的稳态响应为：对振幅和相位进行无纲量化处理：等效于F0静止作用在弹簧上产生的静变形令：振幅放大因子幅频响应曲线相频响应曲线2.2.2受迫振动的振幅B、相位差的讨论

在低频区和高频区，当<<1时，由于阻尼影响不大，为了简化计算，可将有阻尼系统简化为无阻尼系统。2.1.2受迫振动的振幅B、相位差的讨论幅频响应曲线相频响应曲线幅频特性与相频特性1、r

＝0

的附近区域(低频区或弹性控制区)，θ＝0，响应与激励同相；对于不同的值，曲线密集，阻尼影响不大。2、r

>>1的区域(高频区或惯性控制区)，，，响应与激励反相；阻尼影响也不大。3、r

＝1的附近区域(共振区)，急剧增大并在

r＝1略为偏左处有峰值。通常将r＝1，即＝0称为共振频率。阻尼影响显著且阻尼愈小，幅频响应曲线愈陡峭。在相频特性曲线图上，无论阻尼大小，r＝1时，总有，θ

＝

/2,这也是共振的重要现象。例题例质量为M的电机安装在弹性基础上。由于转子不均衡，产生偏心，偏心距为e，偏心质量为m。转子以匀角速ω转动如图示，试求电机的运动。弹性基础的作用相当于弹簧常量为k的弹簧。设电机运动时受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系数为c。解：取电机的平衡位置为坐标原点O，x轴铅直向下为正。作用在电机上的力有重力Mg、弹性力F、阻尼力FR、虚加的惯性力FIe、FIr，受力图如图所示。2.2.3旋转失衡引起的强迫振动根据达朗贝尔原理，有=f0例题(1)电机作受迫振动的运动方程为例题将（1）代入P41（2.54）、（2.55）得到：幅频特性曲线和相频特性曲线例题当激振力的频率即电机转子的角速度等于系统的固有频率ω0时，该振动系统产生共振，此时电机的转速称为临界转速。

例题2.2.4支撑运动引起的强迫振动

例：在图示的系统中，物块受粘性欠阻尼作用，其阻尼系数为c，物块的质量为m，弹簧的弹性常量为k。设物块和支撑只沿铅直方向运动，且支撑的运动为