第四章 边界层理论

粘性流体的两种流态1.雷诺实验（1883年）（a）层流（b）临界状态（c）紊流下临界流速vc——临界流速上临界流速vc’2.雷诺数Rec——临界雷诺数（2000左右）Re=vd/υ——雷诺数（无量纲）Re<Rec层流Re>Rec紊流（包括层流向紊流的临界区2000~4000）结论：用雷诺数判断流态3.用量纲分析说明雷诺数的物理意义惯性力与粘性力作用之比——判断流态第4章边界层理论

(BoundaryLayerTheory)

Background:

粘性绕流的流动特征与粘性阻力，阻力产生与减阻。LudwigPrandtl（1875－1953）

普朗特是现代力学的奠基人之一，创立了边界层理论、薄翼理论、升力线理论，研究了超声速流动。

。

4.1边界层的概念

——LargeReynoldsNumberFlow低速飞机：L＝30m，

v=100m/s，n=1.5×10-5m2/s

高速船舶：

v=50kn≈25m/s:Re>>1

流动意味着粘性力相对于惯性力很小，忽略粘性？但是由理想流体得出的速度场在靠近壁面处与真实情况不符。——D’Alembertparadox实际流体是有粘性的。按照Newton内摩擦定律，当流场中流体之间存在速度梯度时，粘性就以内摩擦的形式出现。其特点是使低速流体加速，使高速流体减速。速度梯度越大，粘性力也就越大。这样，在近靠壁面的层中，粘性力和惯性力相比是不能忽略的。真实情况下，紧贴物体表面的流体与物体之间是没有相对流动的，这样在紧靠物体表面附近的一层流体区域中，有很大的速度梯度。1.

边界层概念的提出Prandtl在1904年提出了边界层的概念，他认为流动可以分两个区域来研究：在物体表面处有一个薄层，在这个薄层中必须考虑粘性力的作用，这个薄层称为边界层。在边界层外的区域中，流体可以当作理想的。边界层概念的作用：将粘性力的作用限制在很薄的一层中，对于薄层外部的大部分流域，则可按理想流体的处理方法，极大地简化粘性流体分析，而且所得的结果与实际的情况也相符。从边界层厚度很小这个前提出发，Prandtl率先建立了边界层内粘性流体运动的简化方程，开创了近代流体力学的一个分支——边界层理论。边界层定义：速度梯度很大的薄层。粘性在该薄层内起作用。全流场分成二个流动区域（PlandtlBLModel）：

y外流区（y>）：

可略去粘性的作用，无粘流。

边界层（y<）：沿壁面法向的速度梯度大，考虑粘性。

d(x)xyo图4.1.1平壁面绕流的边界层0.99LRe>>1尾涡区外部势流边界层流δ图4.1.2大Re数绕流流场划分su2.

边界层的基本特征

(basiccharactersofBL)（1）边界层很薄：，边界层的厚度沿流向增加。（2）边界层内速度梯度很大，粘性不可忽略：（3）边界层内也会出现层流及紊流状态，故有层流边界层和紊流边界层（4）边界层外表面不是流面，有质量、动量和能量由外流区流入边界层内。

粘性不可压缩流体，不计质量力，定常流过小曲率物体，物体表面可近似当作平面。取物面法线为ｙ轴。在大Re数情况下的边界层流动有下面两个主要性质：

1)

边界层厚度较物体特征长度小得多，即

2)边界层内粘性力和惯性力具有相同的数量级4.2边界层微分方程

——(BoundaryLayerDifferentialequation)

以此作为基本假定，将N-S方程（二维）化简：连续性方程

引进特征长度Ｌ、特征速度V，将方程中的各物理量无量纲化：

这些无量纲量除了p*外都具有1的量纲。将其代入质量方程，整理后得：左边两项应具有同一量级，因此y方向的特征速度V的量级应是将运动方程无量纲化后得到通过比较方程左右两边的量级，可以发现

通过比较方程左右两边的量级，可以发现惯性项和粘性项都是ε2的量级，因此与相比较，是高阶小量，可认为粘性不可压流定常边界层微分方程可写为边界条件：讨论：说明了什么？Prandtl边界层方程中p1p2p3p1=p2=

p3第一步求位流解

略去边界层与尾迹，利用第三章求解理想位流绕流问题的方法，求得物体表面的速度分布（需预先对表面作动量厚度修正）。求得的速度分布可视为边界层外边界上的切向速度分布。即在任一坐标x处,y=δ时vx=v

δ

(x)。沿边界层外边界，伯努利方程成立：定常层流边界层问题解法概述因此，边界层内的压强分布通过位流解得到了，即dp/dx是一个已知函数。(非定常时有欧拉方程成立)第二步，求解边界层方程组

物面：

边界层外缘：由于dp/dx是已知函数，所以这两个方程式中只有两个未知数故问题是可解的。求解的边界条件是：

在上述边界条件之下求解边界层方程组，可得到边界层内速度分布。后面的布拉休斯解就是一个求解的范例。第三步，确定物体所受的摩擦阻力假设已经解出了边界层内速度分布：则物体表面的摩擦应力τ0(x)可自下式求出（层流）：有了表面摩擦应力分布τ0(x)之后，再通过积分就不难求出物体所受的总的摩擦阻力了。4.3平板层流边界层准确解

(LaminarBLonaFlatPlate

——H.Blasius，1908

)

d(x)xyv∞oLv∞0.99v∞v∞1908年，Prandtl的学生Blasius利用边界层速度分布的相似性求解了平板层流边界层方程。二维定常不可压缩层流边界层，边界层方程为：相应的边界条件为：由于上述方程为非线性偏微分方程，求解很难，勃拉休斯引入流函数（由连续方程）ψ(x,y)以简化方程：二维定常层流边界层的求解问题，就化为在给定的边界条件下求函数问题。根据定常层流边界层问题解法概述，首先求解位流速度分布求解速度分布的位流解平板绕流的位流速度分布很简单边界条件为假定在距离平板前缘不同位置处，边界层内速度是“相似”的。所谓速度分布“相似”是指如果对vx和y选用适当的比例尺，就可以使用不同位置处的速度分布函数写成同一形式：对于平板层流边界层的研究表明，平板层流边界层的厚度与前缘距离的平方根成正比，可以选用

和分别作为速度比例尺和长度比例尺。速度分布函数可写成根据流函数定义可得5.3、平板层流边界层的数值解从而可将u、v及其相关导数化为函数f关于η

的导数：5.3、平板层流边界层的数值解代入边界层微分方程，化简后变为：边界条件变为：方程被简化成了常微分方程，但仍然是非线性的求解还是很难，只好设它的解为一个级数。Blasius假设：其中，为待定系数。用η＝0处边界条件，立刻可以确定：A0=A1=0将以上诸式代入微分方程得：

5.3、平板层流边界层的数值解从而：因为上式对任何η

值均须满足，故各系数必须分别等于零：如此继续做下去，所有诸不等于零之系数A

均可以A2

来表示。而A2则是一个待定常数。令5.3、平板层流边界层的数值解整理后得：则待求级数可表为一个所有系数都含A2＝a

的无穷级数：f(η)就是我们要求的解，但其中尚有一常数a待定。此常数可用以下边界条件来确定:布拉休斯用数值方法定得：a=0.332从而所求的解完全确定。

5.3、平板层流边界层的数值解

由所确定的级数解确定了流函数，也就确定了速度分布，从而就确定了与此相关的其他量，如边界层厚度、剪应力、摩阻系数等。

各x位置处的速度型不同，但f(η)表示的速度型是一样的。我们称这样的速度分布是相似的（相似解）。

当η=5.0时，u/U∞=0.9916，已十分接近于1，从而可将此η

对应的y坐标确定为边界层厚度δ

。5.3、平板层流边界层的数值解12345678000.20.40.60.81.01.2

由上解确定的速度分布曲线如图所示，实验值与数值解符合很好。5.3、平板层流边界层的数值解

由此（1）边界层厚度（）（2）边界层位移厚度

（3）边界层动量损失厚度

5.3、平板层流边界层的数值解（4）壁面切应力（5）壁面摩擦阻力系数

（6）平均壁面摩擦总阻力系数

郭永怀（1953年）对平板前缘点的修正，得到适用范围：Blasius

相似性解解法(1908)

d(x)u(x,y)xyUoU0.99UUL

将f()在=0的邻域内展开成幂级数；由边界条件确定各系数。后来L.Howarth(1938)给出更精确的数值结果。

三阶常微分方程（nonlinear）d(x)u(x,y)xyUoU图9.1.1平壁面绕流的边界层0.99UeUL1.层流边界层的速度分布（velocityprofile)名义厚度：

排挤厚度：

动量损失厚度：

2.边界层的各种厚度(thickness)

01234567890.40.200.81.00.6d(x)u(x,y)xyUoU0.99UeUL3.壁面局部摩擦阻力系数(localshearingstress)4.平板的总摩擦阻力与阻力系数郭永怀二阶近似解：

郭永怀（1909－1968）d(x)u(x,y)xyUoU0.99UeUL5.关于Blasius相似性解的几点说明：正确性（Validation）：有限长平板用无限长解近似，Nikuradse(1942)风洞实验验证。应用（Application）：

摩擦阻力计算（估算）；校准边界层测速装置的探头；边界层数值计算方法与程序的校核；计算湍流边界层时，物体前缘附近层流段解析表达。

4.4卡门动量积分方程式(VonKarman,1921)

(Karman

MomentumIntegralBLEquation)

航空大师T.vonKármán（1881-1963）美国西岸加州理工学院古根海姆航空实验室GALIT)——国际空气动力学研究中心。匈牙利籍美国著名空气动力学家。师从现代流体力学开拓者之一的路德维希·普朗特教授，但未及获得学位便去了巴黎大学。1908获得哥廷根大学博士学位，留校任教4年。1912至1930年在亚琛工业大学从事研究，之后到了加州理工学院。开创了数学、力学在航空航天领域的应用，为近代力学的发展奠定了基础。我国著名科学家钱学森、钱伟长、郭永怀是他的学生。

虽然边界层微分方程比N-S方程要简单得多，但求解问题仍有很大困难，因此,发展求解边界层问题的近似方法便具有很大的理论与实际意义。

Karman动量积分方程方程，就是一种近似求解边界层问题的方法。动量积分关系式的基本思想在于：不要求边界层中每一点都满足边界层方程，而只要求满足沿边界层厚度方向，积分Prandtl边界层方程得到的动量积分关系式。物面条件和边界层外边界处的条件仍要求得到满足。一、排挤厚度的物理意义理想流动中δ处的流线应平行于平板4.4.1边界层排挤厚度和动量损失厚度——(BoundaryLayerDisplacementThicknessandMomentumThickness)连续方程：亏损流量=补偿流量

代表理想流体的流线在边界层外边界上由于粘性的作用向外偏移的距离

损失的流量被排向主流，使主流的流线外移

*。相当于位流中物体增加了

*(x)厚度。

因边界层的存在，通过单位宽度、厚度为δ的截面上的质量流量亏损为：二、动量损失厚度

**的物理意义Ⅰ、Ⅱ两截面的质量流量保持连续，但是由于粘性的作用，通过Ⅱ的动量会产生动量损失。损失掉的动量相当于理想流体流过某层厚度为

**

的截面的流体动量这一动量损失为：为计算的方便，有时将积分上限由δ变为∞，即：边界层的三个厚度：名义厚度δ，位移厚度δ*和动量损失厚度δ**它们都是流向位置x的函数，随x的增加而增厚。4.4.2边界层动量积分方程

应用动量定理来研究边界层内单位时间内沿ｘ方向的动量变化和外力之间的关系。设流动定常控制体边界ABCD单位时间内经过ＡＢ面流入的质量和动量分别为：单位时间内流出ＣＤ面的质量和动量分别为：对不可压缩流体，必然有质量和动量从边界层外边界ＡD流入：

单位时间内控制体内沿ｘ方向动量变化：A,D两点的平均压力CD作用在该控制体上沿ｘ方向外力：作用在该控制体上沿ｘ方向外力：AB面:CD面:AD面:ＢC面上作用在流体上的总切应力为：BC面:该控制体上沿x方向诸外力之和为：可得到定常流动条件下卡门动量积分方程式：这就是边界层动量积分方程，对层流和湍流边界层都能适用。对不可压流，密度是常数，

或可写成引入符号这就是卡门动量积分关系式的最终形式。讨论：适用性：层流、湍流、不可压、可压边界层。(1)(2)封闭性：

1个方程

3个未知数δ*，δ**，τw

方程不封闭。但它们都和速度分布相关，即解法：Step1.

假定速度分布Step2.

由边界层边界条件确定(3)的系数；Step3.

将(3)代入(1)、(2)求边界层各参数。(3)4.4.4平板层流边界层动量积分关系式d(x)v(x,y)xyv

∞oL平板很薄，不影响边界层外部的流动，则边界层外边界上速度处处为vδ=v

∞因此则边界层动量积分方程简化为：不可压缩流体平板边界层动量积分方程，层、湍流边界层均适用。v

∞0.99v

∞v

∞系数由以下边界条件确定。假设平板层流边界层内速度分布为：物面条件:边界层边界处的条件:

，由4个边界条件确定的4个系数为因此速度型为根据牛顿粘性定律代入卡门动量积分关系式，得微分方程代入动量损失厚度得:利用边界条件积分，得边界层厚度沿板长的变化规律平板总阻力：式中b为平板宽度，L为平板长度，S为平板面积。平板的摩擦阻力系数为:与Blasius精确解接近随Re的增加而减小直匀流平行流过平板，假设从前缘开始就是紊流边界层。采用卡门动量积分关系式，得到的方程和层流完全一样。4.5平板紊流边界层（TurbulentBL）

求紊流边界层，仍需补充两个条件：（1）湍流边界层内速度分布，它取决于Re，采用1/n次方定律：层流过渡区湍流U（2）壁面摩擦切应力：根据实验可用下式来表示：动量损失厚度：紊流边界层厚度分布为平板紊流附面层的当地摩擦系数平板一个表面所受的摩擦阻力

紊流平板摩阻系数

随x、n

增加而增厚。层流

紊流速度分布：较瘦丰满边界层厚度：摩阻系数：ComparisonbetweenLaminarandTurbulentBL当时，层流边界层的摩阻系数为0.001328，紊流的摩阻系数为0.00455。紊流的为层流的三倍多。4.6

平板混合边界层

实际流动：前段层流，中间过渡区，后段湍流—混合边界层。为计算混合边界层，引入两个假设：（1）层流转变为湍流瞬时发生，没有过渡区；

(2)混合边界层紊流区可看作自ｏ点开始的紊流边界层的一部分

整个平板的摩擦阻力由两部分所组成，即ｏＡ段：层流边界层的摩擦阻力ＡＢ段：湍流边界层的摩擦阻力混合附面层时，平板摩阻就可表示为

换成摩阻系数

4.7边界层流动的分离及控制

(BLFlowSeparationanditscontrol)

two-dimensional

axisymmetric

three-dimensional

Flowclassification

StreamlinedbodiesBluntedbodies

4.7.1边界层流动的分离1.流动分离及其产生原因

关心的问题：流动分离原因？发生分离的判据?分离流特性？

123S5边界层外缘E图4.5.1边界层内的流动示