华科数值分析期末复习总结

1期末复习总结2第一章数值计算的误差3绝对误差：绝对误差x—精确值

x*—近似值则称*为绝对误差限/误差限

若存在一个正数*，使得工程上通常记为：x=x*

*|e*|=|x*-

x|*

绝对误差可能取正，也可能取负

绝对误差

越小越具有参考价值但绝对误差

却不能很好地表示近似值的精确程度4相对误差相对误差：

x*-

x

er*=

x

若存在正数r*，使得

|er*|r*，

则称r*为相对误差限由于真值难以求出，通常也使用下面的定义作为相对误差

x*-

x

er*=

x*

近似值的精确程度取决于相对误差的大小实际计算中我们所能得到的是误差限或相对误差限5有效数字有效数字：若近似值x*的误差限是某一位的半个单位（即截取按四舍五入规则）

，且该位到x*的第一位非零数字共有n

位，则称x*有n

位有效数字x*

=

a1.a2···an10m

(a10)且有|x

-

x*|0.510m-n+1则x*有n

位有效数字设x*为x

的近似值，若

x*

可表示为等价描述6有效数字例：=3.14159265···

，近似值

x1=3.1415，x2=3.1416问：x1,x2

分别有几位有效数字？例：写出下列各数的具有5位有效数字的近似值

187.9325，0.03785551，2.7182828

，8.000033187.93，0.037856，2.7183，8.0000注：0.2300有4位有效数字，而0.23只有2位有效数字12300如果写成0.123105，则表示只有3位有效数字。

数字末尾的0不可以随意添加或省略！7有效数字定理：设近似值x*可表示为

x*

=

a1.a2···al10m(a10)，若x*具有n

位有效数字，则其相对误差限满足1r*

2a1

10-(n-1)反之，若x*的相对误差限满足

则x*至少有n

位有效数字。1r*

2(a1+1)10-(n-1)有效位数越多，相对误差限越小8第二章

插值法9插值基本概念已知函数y=f(x)

在[a,b]

上有定义，且已经测得在点

a

x0

<x1

<···

<xn

b处的函数值为

y0

=f(x0)，…，yn

=f(xn)什么是插值如果存在一个简单易算的函数P(x)，使得

P(xi)=f(xi)，i=1,2,...,n则称P(x)为f(x)的插值函数插值区间插值节点求插值函数P(x)

的方法就称为插值法插值节点无需递增排列，但必须确保互不相同！插值条件10基函数插值法基函数法通过基函数来构造插值多项式的方法就称为基函数插值法Zn(x)

={次数不超过n

的多项式的全体}记n+1维线性空间设z0(x),z1(x),...,zn(x)

构成Zn(x)的一组基，则插值多项式P(x)=a0z0(x)+a1z1(x)

+···+anzn(x)寻找合适的基函数确定插值多项式在这组基下的表示系数基函数法基本步骤11Lagrange插值Lagrange插值基函数设lk(x)是n次多项式，在插值节点x0,x1,…,xn上满足则称lk(x)

为节点x0,x1,…,xn

上的拉格朗日插值基函数单项式基函数利用线性无关的单项式族：构造n

次多项式：12线性与抛物线插值两种特殊情形n=1线性插值多项式（一次插值多项式）n=2抛物线插值多项式（二次插值多项式）13插值举例例：已知函数y=lnx

的函数值如下解：x0.40.50.60.70.8lnx-0.9163-0.6931-0.5108-0.3567-0.2231试分别用线性插值和抛物线插值计算

ln0.54的近似值线性插值：取x0=0.5,x1=0.6得将x=0.54

代入可得：ln0.54L1(0.54)=-0.6202为了减小截断误差，通常选取插值点x

邻接的插值节点14插值举例抛物线插值：取x0=0.4,x1=0.5,x2=0.6,可得ln0.54L2(0.54)=-0.6153在实际计算中，不需要给出插值多项式的表达式ex21.m

ln0.54

的精确值为：-0.616186···可见，抛物线插值的精度比线性插值要高Lagrange插值多项式简单方便，只要取定节点就可写出基函数，进而得到插值多项式，易于计算机实现。15Lagrange插值l0(x)

,l1(x)

,…,ln(x)

构成Zn(x)的一组基性质注意l0(x)

,l1(x)

,…,ln(x)

与插值节点有关，但与函数f(x)无关lk(x)

的表达式由构造法可得16误差估计如何估计误差插值余项定理设f(x)

Cn[a,b](

n

阶连续可微)，且f(n+1)(x)在(a,b)

内存在，则对x[a,b]，有其中x(a,b)

且与x

有关,证明：（板书）17插值余项余项公式只有当f(x)

的高阶导数存在时才能使用几点说明

计算插值点x

上的近似值时，应选取与x

相近插值节点如果，则

x

与x

有关，通常无法确定,实际使用中通常是估计其上界18插值误差举例例：已知函数y=lnx

的函数值如下x0.40.50.60.70.8lnx-0.9163-0.6931-0.5108-0.3567-0.2231试估计线性插值和抛物线插值计算

ln0.54的误差解线性插值

x0=0.5,x1=0.6,(0.5,0.6)19Newton插值为什么Newton插值Lagrange

插值简单易用，但若要增加一个节点时，全部基函数lk(x)

都需重新计算，不太方便。设计一个可以逐次生成插值多项式的算法，即n

次插值多项式可以通过n-1

次插值多项式生成——Newton插值法解决办法20新的基函数

设插值节点为

x0,…,xn

，考虑插值基函数组当增加一个节点xn+1时，只需加上基函数21Newton插值

此时

f(x)

的n

次插值多项式为问题如何从pn-1(x)得到pn(x)?怎样确定参数a0,…,an?

需要用到差商（均差）22差商什么是差商设函数f(x)，节点x0,…,xn

f(x)

关于点xi

,xj

的一阶差商f(x)

关于点xi

,xj,xk的二阶差商k

阶差商差商的一般定义23差商的性质

k阶差商与k阶导数之间的关系：若f(x)在[a,b]上

具有k阶导数，则至少存在一点(a,b)，使得24差商的计算如何巧妙地计算差商差商表xiƒ(xi)一阶差商二阶差商三阶差商…n阶差商x0x1x2x3xnƒ(x0)ƒ(x1)ƒ(x2)ƒ(x3)ƒ(xn)ƒ[x0,x1]ƒ[x1,x2]ƒ[x2,x3]ƒ[xn-1,xn]ƒ[x0,x1,x2]ƒ[x1,x2,x3]ƒ[xn-2,xn-1,xn]ƒ[x0,x1,x2,x3]ƒ[xn-3,xn-2,xn-1,xn]……ƒ[x0,x1,…,xn]25差商举例例：已知y=(x)

的函数值表，试计算其各阶差商i0123xi-2-112f(xi)531721解：差商表如下xiƒ(xi)一阶差商二阶差商三阶差商-2-112531721-2743-1-1ex24.mex23.m26Newton插值公式Newton插值公式由差商的定义可得12……n11+(x

x0)2+……+(x

x0)…(x

xn1)n1Nn(x)Rn(x)27Newton插值公式f

(x)=Nn(x)+Rn(x)

Nn(x)

是n次多项式Nn(xi)=

f

(xi)，i=0,1,2,…,n重要性质Nn(x)

是f

(x)的n次插值多项式其中28Newton/LagrangeNewton插值多项式与Lagrange

插值多项式f

(x)

在x0,x1,…,xn

上的n次插值多项式是唯一的！Nn(x)Ln(x)余项也相同将x看作节点29插值举例例：已知函数y=lnx

的函数值如下解：取节点0.5,0.6,0.4

作差商表试分别用牛顿线性插值和抛物线插值计算

ln0.54的近似值x0.40.50.60.70.8lnx-0.9163-0.6931-0.5108-0.3567-0.2231xiƒ(xi)一阶差商二阶差商0.50.60.4-0.6931-0.5108-0.91631.82302.0275-2.0450N1(x)=-0.6931+1.8230(x-0.5)N1(0.54)=-0.6202N2(x)=-0.6931+1.8230(x-0.5)-

2.0450(x-0.5)(x-0.6)N2(0.54)=-0.6153ex25.m插值节点无需递增排列，但必须确保互不相同！30第三章

函数逼近31函数逼近三个问题问题一已知一个函数的数值表xx1x2……xnyy1y2……yn能否找到一个简单易算的

p(x)，使得

p(xi)=yi。问题二

函数

f(x)的表达式非常复杂，能否找到一个简单易算的

p(x)，使得p(x)是

f(x)的一个合理的逼近。问题三

问题一的表中的数值带有误差，能否找到一个简单易算的

p(x)，可以近似地表示这些数据。插值数值逼近32赋范线性空间赋范线性空间C[a,b]线性空间C[a,b]

，f(x)C[a,b]

1-范数：2-范数：-范数：33逼近标准度量p(x)与f(x)的近似程度的常用两种标准使

尽可能地小。使

尽可能地小。一致逼近平方逼近34函数逼近记Hn为所有次数不超过n

的多项式组成的集合，给定函数f(x)C[a,b]，若P*(x)Hn

使得则称P*(x)为f(x)在C[a,b]上的最佳逼近多项式最佳逼近最佳一致逼近35函数逼近最小二乘拟合寻找P*(x)

，使得下面的离散2-范数最小给定

f(x)C[a,b]的数据表xx0x1…xnyy0y1…yn最佳平方逼近36正交多项式定义设n(x)

是首项系数不为0的n次多项式，若则称为[a,b]

上带权(x)

正交性质1设是正交多项式族，Hn为所有次数不超过n

的多项式组成的线性空间，则构成Hn的一组基称n(x)

为n

次正交多项式37Legendre多项式

Pn(x)

的首项xn的系数为：Legendre多项式在[-1,1]

上带权

(x)=1

的正交多项式称为勒让德多项式x

[-1,1]，n=1,2,…记号：P0,P1,P2,...

则

是首项系数为1

的勒让德多项式

令38Legendre多项式ex31.m其中P0(x)=1,P1(x)=x，39Chebyshev多项式Chebyshev

多项式在[-1,1]

上带权

(x)

的正交多项式称为切比雪夫多项式x

[-1,1]，n=0,1,2,…切比雪夫多项式的表达式

令x

=

cos

，则Tn(x)=cos(n)

，展开后即得40Chebyshev多项式ex32.m41Chebyshev零点插值多项式Chebyshev

插值以Chebyshev多项式的零点作为插值节点进行插值好处：误差最小定理设f(x)Cn+1[-1,1]，插值节点x0,x1,…,xn为Tn+1

(x)的n+1个零点，则且42最佳平方逼近设

f(x)

C[a,b]，0(x),1(x),,n(x)C[a,b]

线性无关，令求S*(x)，使得S*(x)称为

f(x)在中的最佳平方逼近函数

其中43最佳平方逼近如何求

S*(x)？对任意S(x)

，可设

S(x)=a00+a11+

···+

ann(x)则求S*(x)等价于求下面的多元函数的最小值点k=0,1,…,n44最佳平方逼近即k=0,1,…,n法方程G45求在[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式举例例：(教材68页，例6)解：

S*(x)=0.934+0.426x46最佳平方逼近多项式f(x)

C[a,b]在Hn

中的最佳平方逼近，记为n

次最佳平方逼近多项式取Hn

的一组基：1,x,x2,,xn

，则法方程为HHilbert矩阵H

严重病态

只适合求低次最佳逼近47正交函数作逼近若0,1,,n正交，则法方程的解为所以k=0,1,…,n误差Bessel不等式48曲线拟合能否找到一个简单易算的p(x)

，使得f(x)

p(x)已知f(x)

在某些点的函数值：xx0x1…xm

f(x)y0y1…ym但是

m

通常很大

yi

本身是测量值，不准确，即yi

f(xi)

这时不要求p(xi)=yi,而只要

p(xi)yi总体上尽可能小

49

使最小

使最小曲线拟合

p(xi)yi总体上尽可能小

使最小

常见做法太复杂不可导，求解困难最小二乘法：目前最好的多项式曲线拟合算法50最小二乘曲线拟合的最小二乘问题这个问题实质上是最佳平方逼近问题的离散形式。

可以将求连续函数的最佳平方逼近函数的方法直接用于求解该问题。已知函数值表(

xi,yi

)，在函数空间

中求S*(x)

，使得其中i

是点xi处的权。51最小二乘求解对任意S(x)

=span{0,1,,n}，可设

S(x)=a00+a11+

···+

ann(x)则求S*(x)等价于求下面的多元函数的最小值点k=0,1,…,n最小值点52最小二乘求解(k=0,1,…,n)这里的内积是离散带权内积，即，法方程G法方程53最小二乘求解设法方程的解为：a0*,a1*,,an*,则

S*(x)=a0*

0+a1*

1+

···+

an*

n(x)结论S*(x)是

f(x)在中的最小二乘解54举例最小二乘问题中，如何选择数学模型很重要，即如何选取函数空间=span{0,1,,n}，通常需要根据物理意义，或所给数据的分布情况来选取合适的数学模型。55多项式拟合＝Hn=span{1,x,...,xn},即i=xi,

则相应的法方程为此时

为

f(x)的n

次最小二乘拟合多项式多项式最小二乘曲线拟合56举例例：求下面数据表的二次最小二乘拟合多项式得法方程xi00.250.500.751.00f(xi)1.00001.28401.64872.11702.7183解：设二次拟合多项式为解得所以此组数据的二次最小二乘拟合多项式为(1)

若题目中没有给出各点的权值i，默认为i=1

(2)该方法不适合n

较大时的情形（病态问题）57第四章

数值积分与数值微分58数值积分微积分基本公式：(3)

f(x)

表达式未知，只有通过测量或实验得来的数据表但是在许多实际计算问题中(2)

F(x)

难求！甚至有时不能用初等函数表示。如(1)

F(x)

表达式较复杂时，计算较困难。如59几个简单公式矩形公式梯形公式抛物线公式基本思想：60一般形式数值积分公式的一般形式求积节点求积系数机械求积方法将定积分计算转化成被积函数的函数值的计算无需求原函数易于计算机实现一般地，用f(x)在[a,b]上的一些离散点

a

x0

<x1

<···

<xn

b

上的函数值的加权平均作为f()的近似值，可得61代数精度定义：如果对于所有次数不超过m的多项式f(x)，公式精确成立，但对某个次数为m+1

的多项式不精确成立，则称该求积公式具有

m次代数精度将f(x)=1,x,x2,…,xm依次代入，公式精确成立;但对f(x)=xm+1不精确成立。即：(k=0,1,…,m)代数精度的验证方法62举例例：试确定系数Ai，使得下面的求积公式具有尽可能高的代数精度，并求出此求积公式的代数精度。解：将f(x)＝1,x,x2代入求积公式，使其精确成立，可得解得A0=1/3,A1=4/3,A2=1/3。所以求积公式为易验证该公式对f(x)＝x3也精确成立，但对f(x)＝x4不精确成立，所以此求积公式具有3次代数精度。63插值型求积公式设求积节点为：a

x0

<x1

<···

<xn

b

若f(xi)

已知，则可做n

次多项式插值：其中插值型求积公式误差：其中64Newton-Cotes公式基于等分点的插值型求积公式积分区间：[a,b]求积节点：

xi=a

+

ih

求积公式：Cotes系数Newton-Cotes求积公式65Newton-Cotes公式n=1:代数精度=1梯形公式n=2:代数精度=3抛物线公式Simpson公式n=4:科特斯(Cotes)公式代数精度=566N-C公式余项梯形公式(n=1)

的余项

Simpson公式(n=2)

的余项

Cotes公式(n=4)

的余项67复合求积公式提高积分计算精度的常用两种方法用复合公式

用非等距节点将积分区间分割成多个小区间在每个小区间上使用低次牛顿－科特斯求积公式复合求积公式68复合梯形公式将[a,b]分成n等分[xi,xi+1]

，其中(i=0,1,…,n)复合梯形公式余项69复合Simpson公式复合Simpson公式余项性质：复合梯形公式和复合Simpson公式都是收敛的，也都是稳定的。70举例解：例：设，利用下表中的数据分别用复合梯形公式和复合simpson公式计算定积分，并估计误差。

xi01/82/83/84/85/86/87/81.0f(xi)10.9970.9900.9770.9540.9360.9090.8770.84171举例误差估计72第五章

解线性方程组的直接方法73Gauss消去法例：直接法解线性方程组解：74Gauss消去法高斯消去法的主要思路：将系数矩阵A化为上三角矩阵，然后回代求解。考虑n阶线性方程组：矩阵形式=75计算LU分解利用矩阵乘法直接计算LU分解LU=A比较等式两边的第一行得：u1j=a1j比较等式两边的第一列得：比较等式两边的第二行得：比较等式两边的第二列得：(j=1,…,n)(i=2,…,n)(j=2,…,n)(i=3,…,n)U

的第一行L

的第一列U

的第二行L

的第二列76计算LU分解第k

步：此时U

的前k-1行和

L

的前k-1列已经求出比较等式两边的第k行得：比较等式两边的第k列得：直到第n

步，便可求出矩阵L

和U

的所有元素。(j=k,…,n

)(i=k+1,…,n

)77LU分解算法算法：(LU分解

)fork=1tonendj=k,…,ni=k+1,…,nMatlab程序参见：ex51.m运算量：(n3-n)/3为了节省存储空间，通常用A

的绝对下三角部分来存放L(对角线元素无需存储)，用

A

的上三角部分来存放U

78例求下列矩阵的LU分解解:设LU分解算法79LU分解算法80LU分解算法81Ax=b(i=n,…,1

)(i=1,…,n)两次回代过程求出方程组的解：运算量:

n2加LU分解总运算量：

LU分解求解线性方程组82对称正定矩阵的三角分解－－Cholesky

分解定理：设A

是对称矩阵，若A

的所有顺序主子式都不为0，则A

可唯一分解为其中L

为单位下三角阵，D

为对角矩阵A=LDLT定理：（Cholesky分解）若A

对称正定，则A

可唯一分解为其中L

为下三角实矩阵，且对角元素都大于0A=LLT对称正定矩阵的Cholesky分解83计算Cholesky分解

Cholesky

分解的计算直接比较等式两边的元素

计算公式84Cholesky分解算法for

j=1tonendi=j+1,…,n算法：(Cholesky分解

)运算量:n3/6

+n2/2+n/3

85Cholesky分解算法例对矩阵作Cholesky分解解86Cholesky分解算法87向量范数常见的向量范数③无穷范数（最大范数）②2-范数①1-范数88范数性质范数的性质(1)连续性设f是Rn上的任意一个范数，则f关于x

的每个分量是连续的(2)等价性设||·||s

和||·||t

是Rn上的任意两个范数，则存在常数c1和

c2，使得对任意的xRn有证明：板书89范数性质(3)Cauchy-Schwarz不等式(4)向量序列的收敛性矩阵的谱：(A)={

A

的所有特征值

}矩阵的谱半径：90矩阵范数常见的矩阵范数(1)F-范数(Frobenious范数)(2)算子范数(从属范数、诱导范数)其中||·||是Rn上的任意一个范数91算子范数常见的算子范数③无穷范数（行范数）②2-范数（谱范数）①1-范数（列范数）证明：③②板书，①为练习例：设计算92矩阵范数性质矩阵范数的性质(1)连续性：设f是Rnn上的任一矩阵范数，则f关于A

的每个分量是连续的(2)等价性：设||·||s

和||·||t

是Rnn上的任意两个矩阵范数，则存在常数c1和

c2，使得对任意的ARnn有(3)若A

是对称矩阵，则93定理：设||·||

是Rn上的任一向量范数，其对应的算子范数也记为||·||

，则有算子范数性质算子范数的性质定理：设||·||

是任一算子范数，则定理：对任意>0,总存在一算子范数||·||

，使得

||·||(A)+94稳定性理论分析

理论分析：设又(1)由于右端项的扰动而引起的解的变化(2)由于系数矩阵的扰动而引起的解的变化设Ax=b

的条件数矩阵A

的条件数95稳定性理论分析定理：考虑线性方程组Ax=b，设b

是精确的，A

有微小的变化A，此时的解为x+

x

，则证明：当A充分小时，不等式右端约为设结论96矩阵条件数条件数与范数有关，常用的有无穷范数和2-范数

Cond(A)2

称为谱条件数，当A

对称时有97举例例：

计算Cond(A)和Cond(A)2解：Cond(A)=||A-1||||A||4104Cond(A)2=max/min

4104A

对称，且98第六章

线性方程组的迭代解法99矩阵分裂迭代法矩阵分裂迭代法基本思想Ax=bk=0,1,2,…给定一个初始向量x(0)，可得迭代格式其中

B=M-1N

称为迭代矩阵

A=M-NMx=Nx

+

bM非奇异A

的一个矩阵分裂100收敛性分析定理：对任意初始向量x(0)，上述迭代格式收敛的充要条件是证明：板书定理：若存在算子范数||·

||，使得||B||<1，对任意的初始向量x(0)，上述迭代格式收敛。例：考虑迭代法x(k+1)=Bx(k)+f

的收敛性，其中基本收敛定理充分条件101Jacobi迭代考虑线性方程组Ax=b其中A=(aij)nn

非奇异，且对角线元素全不为0。将A

分裂成A=D-L-

U，

其中102Jacobi迭代k=0,1,2,…令M=D，N

=L

+U，可得雅可比(Jacobi)迭代方法Jacobi迭代迭代矩阵记为：分量形式：i=1,2,…,

n，k=0,1,2,…103Gauss-Seidel迭代在计算时，如果用代替，则可能会得到更好的收敛效果。104Gauss-Seidel迭代写成矩阵形式:此迭代方法称为高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代法k=0,1,2,…可得迭代矩阵记为：105SOR迭代为了得到更好的收敛效果，可在修正项前乘以一个松弛因子，于是可得迭代格式在G-S迭代中106SOR迭代写成矩阵形式:可得——SOR(SuccessiveOver-Relaxation)迭代方法迭代矩阵记为：

SOR的优点：通过选取合适的，可获得更快的收敛速度

SOR的缺点：最优参数的选取比较困难107Jacobi迭代收敛的充要条件(J)<1

G-S迭代收敛的充要条件(G)<1

SOR迭代收敛的充要条件(L)<1收敛性收敛性定理Jacobi迭代收敛的充分条件||J||<1

G-S迭代收敛的充分条件||G||<1

SOR迭代收敛的充分条件||L||<1108Jacobi、G-S收敛性定理：若A严格对角占优或不可约弱对角占优，则A非奇异定理：若A严格对角占优或不可约弱对角占优，则Jacobi迭代和G-S迭代均收敛定理：若A对称，且对角线元素均大于0，则Jacobi迭代收敛的充要条件是A与2D-A均正定；G-S迭代收敛的充要条件是A正定。109SOR收敛性定理：若SOR迭代收敛，则0<<2。SOR收敛的必要条件定理：若A

对称正定，且0<<2，则SOR迭代收敛。SOR收敛的充分条件定理：若A

严格对角占优或不可弱约对角占优，且0<1，则SOR迭代收敛。110举例例：设，给出Jacobi和G-S收敛的充要条件解：A对称，且对角线元素均大于0，故(1)Jacobi收敛的充要条件是A和2D-A均正定(2)G-S收敛的充要条件是A正定A

正定2D-A

正定Jacobi收敛的充要条件是：-0.5<a<0.5G-S收敛的充要条件是：-0.5<a<1111举例解法二：Jacobi的迭代矩阵为设是J

的特征值，则由det(I-

J)=0可得(-

a)2(

+2a)=0Jacobi收敛的充要条件是(J)<1||<1，即

-0.5<a<0.5112收敛速度定义：迭代格式x(k+1)=Bx(k)+f

的平均收敛速度为渐进收敛速度为

(B)

越小，收敛越快113第七章

非线性方程(组)的数值解法114不动点迭代基本思想构造

f(x)=0

的一个等价方程：

(x)

的不动点f(x)=0x=(x)等价变换f(x)

的零点115不动点迭代具体过程任取一个迭代初始值x0，计算得到一个迭代序列：x0，x1，x2，...，xn，...

k=0,1,2,......几何含义：求曲线y=(x)与直线y=x

的交点116连续性分析设(x)

连续，若收敛，即，则即收敛性分析性质：若，则不动点迭代收敛，且x*是f(x)=0的解；否则迭代法发散。117解的存在唯一性定理：设(x)C[a,b]且满足证明：板书对任意的x[a,b]有(x)[a,b]存在常数0<L<1，使得任意的x,y[a,b]有则(x)

在[a,b]上存在唯一的不动点

x*解的存在唯一性118收敛性分析定理：设(x)C[a,b]且满足证明：板书对任意的x[a,b]有(x)[a,b]存在常数0<L<1，使得任意的x,y[a,b]有则对任意初始值x0[a,b]，不动点迭代xk+1=(xk)收敛，且不动点迭代的收敛性119收敛性分析不动点迭代的收敛性若(x)C1[a,b]且对任意x[a,b]有

|’(x)|L<1则上述定理中的结论成立。收敛性结论表明：收敛性与初始值的选取无关全局收敛120举例例：求f(x)=x3–x–1=0

在区间[1,2]

中的根(1)(2)ex71.m121局部收敛定义：设x*是(x)的不动点，若存在x*的某个-邻域U(x*)

=[x*-,x*+]，对任意

x0