计算方法第六章

近似计算§1Newton-Cotes公式思路利用插值多项式

则积分易算。

在[a,b]上取ax0<x1<…<xn

b，做f的

n

次插值多项式，即得到Ak由决定，与无关。节点

f(x)插值型积分公式/*interpolatory

quadrature*/误差第六章数值积分利用数值方法计算积分的近似值1若某个求积公式所对应的误差R[f]满足：R[Pk

]=0对任意

k

n阶的多项式成立，且R[Pn+1

]0对某个

n+1阶多项式成立，则称此求积公式的代数精度为

n

。定义例：对于[a,b]上1次插值，有f(x)abf(a)f(b)梯形公式/*trapezoidalrule*/解：逐次检查公式是否精确成立代入P0=1：=代入P1=x：=代入P2=x2：代数精度=1考察其代数精度。2例如，有积分公式:求该积分公式的代数精确度。对于任意一个一次多项式，求积公式都是精确成立的；至少存在一个二次多项式使求积公式不精确成立；故该求积公式的代数精确度为1。解：取f(x)=1，取f(x)=x，取f(x)=x2

，==3用直线代替y=f(x)精度不高，若用抛物线代替，即采用二次插值多项式来代替被积函数，并等分[a,b]区间，使h=x2-x1=x1-x0=(b-a)/2，其中，a=x0,b=x2，得到：考察其精度。解：逐次检查公式是否精确成立代入P0=1：代入P1=x：代入P2=x2：===4形如的求积公式至少有n

次代数精度

该公式为插值型（即：）代入P3=x3：=代入P4=x4：代数精度=3从某种意义上说，代数精度越高，求积分公式就越精确。为了提高代数精度，可以提高插值多项式的次数。小结：1、2、5当节点等距分布时：令Cotes系数注：Cotes系数仅取决于n

和i，与f(x)及区间[a,b]均无关。6n=1:梯形公式代数精度=1注：梯形公式是用直线代替y=f(x)，然后再求积分而得，并且梯形公式只对线性函数积分精确。7n=2:辛普森公式代数精度=3注：辛普森公式使用抛物线代替y=f(x)，即采用二次插值多项式来代替被积函数，并且辛普森公式对不高于三次的多项式积分是精确的。8n=3:n=4:第二辛普森公式代数精度=3科茨公式代数精度=5注：第二辛普森公式虽然比辛普森公式的计算量大，但是代数精度并没有提高。当n为偶数的时候，相对来说代数精度还是比较高的。9科茨系数表10误差公式n为偶数（奇数个节点）n为奇数（偶数个节点）注：从误差公式可知，当n为偶数时，求积公式有n+1次代数精度，而n为奇数时，求积公式只有n次代数精度。11例：用辛普森公式求积分，并估计误差。解：12例：已知函数表，试用牛顿-科茨公式计算积分。x1.82.02.22.42.6f(x)3.120144.425696.042418.0301410.46675解：根据已知条件可得：代入函数表中的数据可得：13牛顿-科茨公式的讨论：科茨系数仅与插值次数n及k有关，与f(x)无关。令f(x)=1，由于积分公式至少有n次代数精度，对1积分总是精确的，即因此，如果f(xk)的近似值为fk，舍入误差不超过ε，有14当均为正数时，即可见，积分公式是稳定的。但当n≥8时，中出现负数，使无法控制在较小的范围内，积分公式不稳定，因此，高次积分至多用到7次。15高次插值有Runge现象，故采用分段低次插值分段低次合成Newton-Cotes

复合求积公式。复合梯形公式：在每个上用梯形公式：=

Tn§2复合求积中值定理16复化Simpson公式：44444=

Sn注：为方便编程，可采用另一记法：令n’=2n为偶数，这时，有17xi

f(xi)0

1

1/8 0.9973978671/4 0.9896158373/8 0.9767267441/2 0.9588510775/8 0.9361556373/4 0.908851687/8 0.8771925741 0.841470985精确解：0.946083118若一个积分公式的误差满足且C0，则称该公式是p

阶收敛的。定义收敛速度与误差估计：例：计算解：其中=3.138988494其中=3.141592502运算量基本相同可见，当h趋近于0的时候，Sn比Tn的收敛速度要快！19Q:给定精度，如何取n?例如：要求，如何判断n=？?上例中若要求，则即：取n=409通常采取将区间不断对分的方法，即取n=2k上例中2k

409k=9

时，T512=3.14159202S4=3.141592502根据定积分的几何意义：20例：用复合梯形公式求