解直角三角形

湘教版SHUXUE九年级上本课内容本节内容4.3解直角三角形知识回顾

在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角），其中∠C=90°，那么其余五个元素之间有怎样的关系呢？a2+b2=c2∠A+∠B=90°(1)三边之间的关系：(2)锐角之间的关系：勾股定理：两锐角互余。(3)边与特殊锐角之间的关系：若∠A=30°，则AB=2BC，sinA=_____，cosA=_____，tanA=_____。(4)边角之间的关系：α30°45°60°sinαcosαtanα212√22√3√31特殊角的三角函数值：锐角三角函数:abbcac2√32√2213√3(5)面积：h21S=ab=ch21讨论：在一个直角三角形中，除直角外有5个元素（3条边、2个锐角），要知道其中的几个元素就可以求出其余的元素？

在直角三角形中，除直角外有5个元素（即3条边、2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素.我们把在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形.解直角三角形的依据是什么？直角三角形的边、角关系、公式。探究交流注意：已知的2个元素中，至少有1个是边才可以.例1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，a=5，求∠B，b，c.解：∠B=900-∠A=900-300=600∴

b=a∙tanB=5tan60°=5√3本题就是在直角三角形中已知2个元素，求直角外的其余3个元素。实际上是解直角三角形。应用举例又∵tanB=ba∵

sinA=ac∴

c====10asinA5sin300512还可以用勾股定理求c.CBA解：∵∠C=90°，cosA

=

31解得：x1=，x2=-(舍去）4√2154√2154√215∴AB的长是例2、

如图，在Rt△ABC

中，∠C=90°，cosA

=

，BC=5，试求AB的长.31∴ACAB=31设AB=x，则AC=x.31【点评】在直角三角形中，已知一边和另两边的关系，常用勾股定理、方程思想解决.又AC2+BC2=AB2，即：(x)2+25=x231例3

在Rt△ABC中，∠C=90°，a=15.60cm，b=8.50cm，求c，∠A，∠B(长度精确到0.01cm，角度精确到1′).

解:由于因此从而【点评】在解直角三角形中，不是特殊角的计算，可借助计算器计算，注意结果的精确度。例4

在四边形ABCD中，∠A=60°，AB⊥BC，AD⊥DC，AB=20，CD=10，求AD，BC的长.EBACD201060°30°分析：已知角和线段都不在直角三角形中，所以需分别延AD、BC,交于点E，从而解30°的直角三角形ABE即可.AD=40-10√3BC=20√3-20解：延长AD，BC交于点E，得：∠E=30°在Rt△AEB中，AE=2AB=40在Rt△CDE中，CE=2CD=20由勾股定理，得：BE=20√3由勾股定理，得：DE=10√3例5.如图，根据图中已知数据，求△ABC其余各边的长，各角的度数和△ABC的面积.ABC450300

4BC=BD+DC=2(√2+√6)，作AD⊥BC，垂足为D,D∠A=105°在Rt

△ABD中，AD=BD由勾股定理，得：BD=AD=2√2AC=4√2，在Rt

△ACD中，∠C=30°，

AC=2AD由勾股定理，得：DC=2√6S△ABC=BC·AD=×

×2√221212(√2+√6)=4+4√31、

在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边.(1)已知a=3，b=3，则∠A=

；(2).已知c=8，b=4，则a=

，∠A=

；(3).已知c=8，∠A=45°，则a=

，b=

.62、如图，△ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=，则AC的长是_______。43ACB一、填空题：45°60°4√34√24√2随堂练习53．如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=4，cosB=，则AC=____.54ABCD4、如图，从点C测得树的顶角为33º，BC=20米，则树高AB=

米（用计算器计算，精确到0.1米）13.0C二、选择题：1.在Rt△ABC中，若AC=2BC，则sinA的值是（）A.；B.2；C.；D.；215√52√5B

2．在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB为()A.B.C.D.54344353543、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，tanA=，CD⊥AB，则CD的长是（）A.5B.12C.D.43512125DA4、若菱形的一个内角为60，较短对角线长是6，这个菱形的面积是（）A.18√3B.24√3C.36√3D.72√3三、解答题：1、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c.根据下列条件解直角三角形：(角度精确到1′，长度精确到

0.01cm).(3).∠A

=30°，c=15.68cm，(1).∠B

=45°，b=3cm，(2).a=√6，b=√2，分清未知元素。∠A

=45°,a=3cm,c=4.24cmc=2√2，∠A

=60°,∠B

=30°,∠B

=60°,a=7.84cm，b=2.80cm2、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形。若AB=2，求△ABC的周长。（结果保留根号）解：在等边△ABD中，∠B=60°∵∠BAC=90°

∴∠C=30°∵sinC=

ABBC

∴BC=4.∴AC=BC·cosC=2√3

∴△ABC的周长是6+2√3

.变式训练：已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=√3．点D为BC边上一点，且BD=2AD，∠ADC=60°求△ABC的周长和面积（结果保留根号）ACBC∵cosC=我们应当掌握：1、掌握直角三角形的五个元素，已知两个元素（至少有个是边），能求出其余三个元素；2、能把数学问题转化成