第九章能量方法

第九章能量方法§9-1

杆件的应变能§9-2

卡氏第二定理§9-3

莫尔定理和图乘法§9-4

用能量法求解超静定问题1§9-1

杆件的应变能第九章能量方法一、能量原理固体力学中将与功与能的有关定理统称为能量原理。能量原理主要用于：杆件的变形计算、超静定结构的求解、计算力学等方面。在加载过程中构件处于准静态，外力作功W将全部转换为固体的应变能V。在弹性范围内W与V可以相互转化，若超过弹性范围，则过程不可逆。本章研究的是线弹性结构的应变能。2第九章能量方法二、杆件的应变能1.轴向拉伸或压缩3第九章能量方法2.圆轴扭转4第九章能量方法3.弯曲a)纯弯曲b)平面弯曲一般不考虑剪力引起的应变能，所以平面弯曲的应变能计算与纯弯曲相同c)斜弯曲54.组合变形若杆件各段的内力方程不相同，则M(x)

—只产生弯曲转角FN

(x)

—只产生轴向线位移T(x)—只产生扭转角第九章能量方法6第九章能量方法三、应变能的特点1.应变能不能用叠加原理计算

由于应变能是外力（内力）或位移的二次齐次式，所以产生同一种基本变形形式的一组外力在杆内产生的应变能，不等于各力单独作用时产生的应变能之和。小变形时，产生不同变形形式的一组外力在杆内产生的应变能等于各力单独作用时产生的应变能之和。EAF2F1abF1F2Me7第九章能量方法2应变能的大小与加载顺序无关，由力与位移的最终值决定（能量守恒）

F

和Me

同时作用在梁上，并按同一比例由零逐渐增加到最终值——简单加载。

在线性弹性范围时，力和位移成正比，位移将按和力相同的比例，由零逐渐增加到最终值。上图中CwCFEIABMel/2l/2qA,(a)8第九章能量方法

先加F,再加Me

(图

b，c)式中，为力F在由Me产生的C点处的挠度上作功，所以无

系数。(b)CwC,FFEIABl/2l/2qA,F,cFEIABMel/2l/2wC,F

(c),9第九章能量方法四、克拉贝依隆公式1.构件上有两个广义力共同作用令F=F1

,wC=D1

,Me=F2

,qA=D2

,则（）（）

CwCFEIABMel/2l/2qA,10第九章能量方法2.构件上有n个广义力共同作用克拉贝依隆公式11第九章能量方法例1-1

求图示平面曲杆的应变能，并利用能量原理求力F在作用方向上的位移。解：1.求任意截面的内力2.求杆件的应变能3.根据能量原理有AA即：12§9-2

卡氏第二定理第九章能量方法一、卡氏第二定理整个线弹性结构的应变能对作用在该结构上的任一载荷的偏导数等于载荷作用处沿载荷方向的位移。1.简要证明卡氏第二定理整个线弹性结构的应变能对作用在该结构上的任一载荷的变化率等于该载荷作用点处沿载荷方向的位移(载荷相应的位移)。13第九章能量方法

图示为线性弹性杆，Fi为广义力，Di为对应广义位移。各力按简单加载方式作用在梁上。设加载过程中各位移和相应力的瞬时值分别为di，fi。梁的应变能为

表明14第九章能量方法令

得

设第

i个力Fi有一个增量dFi，其余各力均保持不变，各位移均不变。功和应变能的改变量分别是15第九章能量方法2.关于卡氏第二定理的几个注意事项1.卡氏第二定理只适用于线弹性结构，表示整个结构的应变能；3.若求出的结果为正，则表示广义位移的方向与广义力的方向相同，否则相反；

4.若所求广义位移处无相应的广义力，则可先虚设一对应的广义力，求完偏导后令即可；16第九章能量方法5.卡氏第二定理的一般形式(1)一般形式(2)特殊形式梁：平面刚架：桁架：17第九章能量方法

例1-1

悬臂梁受力如图所示，在两力F共同作用下，1,2两截面的挠度分别为w1

和

w2。试证明：w11FF2w2

证明：设作用在1,2两截面的外力分别为F1和

F2，且

F1

=F

,F2＝F，则梁的应变能为Ve=Ve(F1,F2)。根据复合函数求导法则，有18第九章能量方法因此，若结构上有几个外力的字符相同时，在利用卡氏第二定理求其中某一力的作用点沿该力方向的位移时，应将该力与其它力区分开。w11FF2w219第九章能量方法

例1－2

图示梁的材料为线弹性体，弯曲刚度为EI，不计剪力对位移的影响。试用卡氏第二定理求梁A端的挠度wA。

解：因为A截面处无与wA相应的集中力，不能直接利用卡氏第二定理，可在A截面上虚加一个与wA相应的集中力F，利用卡氏第二定理后，令F=0,即20第九章能量方法

梁的弯矩方程以及对F的偏导数分别为

利用卡氏第二定理，得（和假设的F的指向一致）这种虚加F力的方法，也称为附加力法。(↓)这是因为

为n个独立广义力的二次齐次式,其中

也可以作为一个广义力。21第九章能量方法

例1-3

图示刚架各杆的弯曲刚度均为EI，不计剪力和轴力对位移的影响。试用卡氏第二定理求

A截面的铅垂位移DAy。

解：由于刚架上

A,C

截面的外力均为F，求A截面的铅垂位移时，应将A处的力F和C处的力F区别开（图b），在应用卡氏第二定理后，令FA=F。

(a)FABll/2l/2FCD(FA=F)

(b)xFAABCDFy1y222第九章能量方法即

AB段（0≤x≤l）

M(x)=−FAx,各段的弯矩方程及其对

FA的偏导数分别为

BC段（0≤y1≤l/2）

M(y1)=−FAl,(FA=F)

(b)xFAABCDFy1y223第九章能量方法

CD段（0≤y2≤l/2）

M(y2)=−FAl−Fy2,令以上各弯矩方程中的FA=F，由卡氏第二定理得24第九章能量方法作业：P971；P972;P98625第九章能量方法

例1－4

图a所示为一等截面开口圆环，弯曲刚度为EI，材料为线弹性。用卡氏第二定理求圆环开口处的张开量D。不计剪力和轴力的影响。圆环开口处的张量就是和两个F力相对应的相对线位移，即（←→）解：

弯矩方程及其对F的偏导数分别为26第九章能量方法结果为正，表示广义位移方向和广义力的指向一致。（）←→利用对称性，由卡氏第二定理，得27第九章能量方法

例1－5

图

a所示梁的材料为线弹性体，弯曲刚度为EI。用卡氏第二定理求中间铰B两侧截面的相对转角。不计剪力对位移的影响。28第九章能量方法

在中间铰B两侧截面处各加一个外力偶矩

MB

，并求出在一对外力偶

MB及

q共同作用下梁的支反力（图

b）。解：B截面两侧的相对转角，就是与一对外力偶

MB

相应的相对角位位移，即29第九章能量方法（0<x≤l）梁的弯矩方程及其对MB的偏导数分别为AB段:30第九章能量方法中间铰B两侧截面的相对转角

为结果为正，表示广义位移的转向和MB的转向一致。（0≤x≤

l），()BC段:31§9-3

莫尔定理和图乘法第九章能量方法一、莫尔定理（单位力法）

表示与所求位移对应的单位力引起的内力，

表示外载荷作用时横截面上的内力。桁架结构：32第九章能量方法

在C截面处施加单位力（图b），由荷载及单位力引起的弯矩方程分别为(0≤x≤l)

(a)

例1－6

梁的弯曲刚度为EI，不计剪力对位移的影响。试用单位力法求。(0≤x≤l/2)

(b)解：1.求33第九章能量方法因为

均关于C截面对称的，故C截面的挠度为（和单位力方向一致）（↓）34第九章能量方法A截面处的转角为（）（和单位力偶的转向相反）

在

A截面处加单位力偶（图c），单位力偶引起的弯矩方程为(0≤x≤l)(c)2.求35第九章能量方法

例1－7

平面刚架中两杆弯曲刚度为EI，不计剪力和轴力对位移的影响。试用莫尔积分法求刚架C截面的水平位移。AaBCF＝qaaq解：1.求外载荷下的内力方程36第九章能量方法AaBCa12.求单位载荷作用下的内力方程3.利用莫尔积分法求解37第九章能量方法FRAB

例1－8

平面曲杆的弯曲刚度为EI，不计剪力和轴力对位移的影响。试用莫尔积分法求其A截面的水平位移和竖直位移。解：1.求外载荷下的内力方程2.求单位载荷作用下的内力方程1RAB1RAB38第九章能量方法3.利用莫尔积分法求解39第九章能量方法二、图乘法(自学)40第九章能量方法作业：P973；P10015;41§9-4用能量法求解超静定问题第九章能量方法一、超静定的基本概念

1.静定结构和超静定结构2.多于约束、多于约束力3.超静定次数1)外力超静定结构2)内力超静定结构F(b)FFAB(a)FCaa/2ABa/2(c)aaDABCF(d)一次超静定二次超静定一次超静定一次超静定42第九章能量方法DABCF(f)FDABCF(e)F二次超静定

2+3-3=2三次超静定

3+3-3=34.基本静定系和相当系统CAB(c)FCAB(c)基本静定系相当系统变形协调条件43第九章能量方法

1.判断超静定次数，建立相当系统，作受力分析图，列平衡方程；2.找变形协调条件；3.利用能量方法求相应变形，建立补充方程；4.联立平衡方程和补充方程求解。二、解超静定问题的步骤44第九章能量方法

用卡氏第二定理来解超静定问题，仍以多余未知力为基本未知量，以荷载及选定的多余未知力作为基本静定系上独立的外力，应变能只能为荷载及选定的多余未知力的函数，即变形几何关系为，Di为和

的相应位移，它是和约束情况有关的已知量。45第九章能量方法FABC例题1-9

：已知梁的EI,F,AB=2a,BC=a,求梁的约束力。FABCFB解：1.一次超静定2.变形协调条件：3.用能量法求46第九章能量方法根据卡氏第二定理有补充方程：4.联立式(1)、(2)、(3)解得作梁的内力图？47第九章能量方法

例1-10

刚架各杆的弯曲刚度均为EI，不计剪力和轴力对位移的影响，用卡氏第二定理求约束力。CABqll(a)48第九章能量方法解：1.该题为一次超静定。以铰链C的铅垂支反力X为多余未知力，建立相当系统如图（b）

所示。CABqll(a)l(b)yFCxxXFAxFAyCABql49第九章能量方法CB,AB段的弯矩方程及其对X的偏导数分别为

，

由，得l(b)yFCxxXFAxFAyCABql50第九章能量方法l(b)yFCxxXFAxFAyCABql（↑）（←）（←）