第七章+波导与谐振腔(大连海事PPT)

第七章波导与谐振腔2023/2/11第七章波导与谐振腔

§7-1导波系统及其电磁场方程一、导波系统及其种类导波系统（或称为传输线）：传导电磁波的系统。（a）平行双线

（b）同轴线

（c）微带线

（d）矩形波导

（e）圆波导

（f）光纤

2023/2/12均匀导波系统：沿传播方向导波装置横截面不发生变化。传输线类型：TEM波传输线，如双导线、同轴线、微带等；波导传输线，如矩形波导、圆形波导等；表面波传输线，如介质波导等。二、导波系统的电磁场方程无限大空间向+z方向传播均匀平面波

理想介质中：

导电媒质中：

可以统一写为：

1．导波系统中电磁波的形式第七章波导与谐振腔2023/2/13导波系统沿z方向是均匀且无限延伸，则场与z无关，即

=

j为导波系统传播常数，为衰减常数，

为相位常数。

和表示t=0时、z=0处导波系统的场量。

2．导波系统中的波动方程导波系统为无源区域，并假设其内部填充理想介质，则

(7-1-6)

第七章波导与谐振腔将导波系统的电磁波表达式代入，有

2023/2/14第七章波导与谐振腔忽略导波系统的衰减，

=0，

=j，则有：

(7-1-8)

(7-1-9)

h称为特征值，是待定的常数。用、代表、(7-1-10)

分解成标量方程，即

2023/2/15(7-1-11)

其中→

第七章波导与谐振腔→

2023/2/16可得

约去ej(t－z)(7-1-13)

第七章波导与谐振腔2023/2/17联立式(7-1-13)中的各式，可求得

求出电场、磁场的纵向分量Ez和Hz，即可求得其它横向分量。(7-1-14)

第七章波导与谐振腔结论(7-1-11)

如何求出纵向分量Ez和Hz？根据（7-1-11）式求解。2023/2/18第七章波导与谐振腔§7-2矩形波导中的电磁场结论：传播方向存在电场Ez分量。因此空心波导不能传TEM波。

空心波导中能否传输TEM波呢？假设它能够传TEM波。在波导任意横截面上作闭合环路L，沿L对磁场进行环路积分。TEM波只有横向场分量Ex，Ey和Hx，Hy。横截面上磁场线是闭合曲线，因此沿任意闭合回路L磁场强度的环路积分(即环量值)H不为零，为传导电流与位移电流之和，即等式右边第1项代表传导电流，波导管为空心金属管，无内导体不可能有传导电流；右边第2项位移电流不为零说明沿传播方向存在纵向分量电场。2023/2/19一、矩形波导中电磁场的求解

1．分离变量法求解波动方程思路：先求电场、磁场纵向分量Ez和Hz，然后求其它横向分量。第七章波导与谐振腔由式(7-1-11)：(7-2-1)

仅是(x,y)的二元函数，假设它们可以写成

(7-2-2)

波动方程改写为

2023/2/110第七章波导与谐振腔二元二阶微分方程化成两个相互独立的一元二阶微分方程

(7-2-6)

特征方程：

求得通解：

(7-2-7)

，

(7-2-4)

等式左边第1项与第2项之间彼此独立，等式右边为常数h2，说明式中等号左边的两项分别等于两个互相独立的常数，即：

把上式代入式(7-2-2)，可得

(7-2-8a)

(7-2-8b)

(7-2-5)2023/2/111第七章波导与谐振腔2．矩形波导中的TM波(E波)TM

(E)波磁场的纵向分量Hz=0，电场的纵向分量Ez

0，可通过Ez

分量求场的其他分量。根据边界条件，可得2023/2/112注意：m和n不能为零，否则电场Ez分量恒为零，TM波就不存在了。Bmn

是与激励源有关的常数。(7-2-11)

第七章波导与谐振腔有了Ez和Hz就可以求其他分量，利用式(7-1-14)：

(7-1-14)

2023/2/113(7-2-12)

第七章波导与谐振腔注意：选择一组m和n值，式(7-2-11)和(7-2-12)就是TM波(E波)的一组解，特征值就确定了，因此把“m”和“n”作为特征值的下标。

2023/2/114由式(7-2-5)（p5）可得：

(7-2-13)

由(7-1-9)式：

可得：若矩形波导中TM波(E波)能无衰减地沿＋z传播，传播常数mn必须是纯虚数mn=jmn，mn必须是实数。

(7-2-15)

第七章波导与谐振腔2023/2/115讨论①m和n的选取必须使；②存在着许多组m和n使相位常数mn是实数，因此也就存在着许多种TM波(E波)，记为TMmn模或Emn模。③可以求得TMmn模瞬时值形式的场表达式，再给定时刻，即可确定电磁场的分布，如图7-2-2。④TMmn模下标“m”是波导内壁宽边上场量最大值出现的次数(或半驻波数)；第2个下标“n”是波导内壁窄边上场量最大值出现的次数(或半驻波数)。

第七章波导与谐振腔2023/2/116矩形波导TMmn模的电磁场分布

第七章波导与谐振腔2023/2/1173．矩形波导中的TE波(H波)TE波(H波)的电场Ez=0，磁场Hz

0，利用电场切向边界条件：通过式(7-1-14)：可得：由此可求得：2023/2/118m和n只能一个为零，否则Hz

为常数，使其他场分量都为零。

由(7-1-14)(7-2-19)

2023/2/119hmn和mn的计算与TM波完全相同，Amn

=C2D2

与激励源有关。

③TEmn模下标“m”、“n”与TMmn模下标“m”、“n”含义相同。

①存在着许多种TE波(H波)，记为TEmn模或Hmn模。

②由TEmn模场强瞬时值形式可确定电磁场的分布，如图所示。

讨论：第七章波导与谐振腔2023/2/120TEmn模的电磁场分布

第七章波导与谐振腔2023/2/121二、矩形波导中两种波型的电气参数

1．截止频率(截止波长)和相位常数mn为实数→TMmn和TEmn模在波导中以行波方式无衰减传输；截止频率：使k=hmn的TMmn或TEmn模电磁波频率，记作fc(mn)。

由式(7-2-15)，可得：

(7-2-20)

若矩形波导填充空气，则(7-2-21)

mn

=–j

→TMmn模或TEmn模处于衰减状态，沿波导衰减；mn=0→TMmn和TEmn模处于临界状态，不能沿波导传输。

2023/2/122(7-2-22)

截止波长：使k=hmn无限大介质中TEM波的波长，记作c(mn)

①矩形波导的TMmn模或TEmn模的截止频率fc(mn)与波导填充的介质、波导的几何尺寸以及m和n的选取有关；而截止波长c(mn)仅与波导的几何尺寸以及m和n的选取有关。

②只有f>fc(mn)或者

<

c(mn)

，矩形波导才存在TMmn模或TEmn模；用工作波长0判断，只有当，矩形波导中才能存在以行波方式传播的TMmn模或TEmn模。讨论：(7-2-24)

2023/2/123波导波长：在波导中，相位差为2的两个等相位面之间的距离。

第七章波导与谐振腔2．波导波长、相速和群速,

说明：①对于不同m和n的TMmn模或TEmn模有不同的波导波长。②是TEM波在矩形波导所填充介质中的波长。

③电磁波的频率f越高，矩形波导中可能出现的波型模式就越多。

④介质填充使波导中出现的波型多于空气填充。

(7-2-25)

2023/2/124第七章波导与谐振腔相速：TMmn模或TEmn模的动态等相位面的运动速度。

说明：矩形波导中不同m和n的TMmn模或TEmn模有不同的相速。(7-2-28)

②当矩形波导内由空气填充时，

=0，vp

=c。③矩形波导是色散系统。④TMmn或TEmn模的相速vp(mn)大于相同介质中TEM波的相速vp，对于不填充介质的情形，TMmn或TEmn模的相速vp(mn)将大于自由空间的光速c。

2023/2/125第七章波导与谐振腔群速(7-2-29)

说明：矩形波导中不同m和n的TMmn模或TEmn模有不同的群速。TMmn或TEmn模群速vg(mn)是电磁波能量(信号)运动的速度，不大于相同介质中TEM波相速vp，也不会大于自由空间光速c。

E-H简并现象：若矩形波导中TMmn模和TEmn模有相同的m和n(m≥0,n

≥0)

，则两种模的c(mn)、mn、g(mn)、vp(mn)和vg(mn)也相同，这样的两种波型模式将会在矩形波导中同时出现。

2023/2/126第七章波导与谐振腔3．TMmn模或TEmn模的波阻抗由式(7-2-12)和式(7-2-19)可求得TMmn模或TEmn模的波阻抗：

对TMmn模，可通过波阻抗由电场求磁场，但反之不成立；对TEmn模，可通过波阻抗由磁场求电场，反之不成立。注意：当TMmn和TEmn模有相同的“m，n”时，两种模式的截止波长c(mn)和其他各对应参数彼此相同，但波阻抗是不相同的。(7-2-32)

(7-2-35)

2023/2/127第七章波导与谐振腔例7-2-1矩形波导横截面尺寸为ab=2.2861.016(cm2)，波导填充空气(0,0)，波导传输信号的频率为f=31010Hz。求：E11模和H11模的截止频率fc(11)，截止波长c(11)，波导波长g(11)，两种模式的波阻抗和。解：E11模和H11模的截止频率、截止波长和波导波长相同，即

2023/2/128第七章波导与谐振腔2023/2/129第七章波导与谐振腔

fc(m,n)>f

c(m-1,n)(

或

f

c(m,,n-1))>f

c(m-1,n-1)

c(m,n)<

c(m-1,n)(

或

c(m,,n-1))<c(m-1,n-1)

<c(m-1,n-1)→波导中存在TEm-1,n-1、TMm-1,n-1、……

<c(m,n)→波导中存在TEm,n、TMm,n、TEm-1,n-1、TMm-1,n-1

……

§7-3矩形波导中的TE10模(H10模)频率f越大或波长越小，波导中存在的工作模式越多。

显然有：2023/2/130第七章波导与谐振腔一、矩形波导的单模传输条件为了防止信息失真，要求波导内只存在单一的工作模式。高次模或高次型波：截止频率高的工作模式；

低次模或低次型波：截止频率低的工作模式。

常见的截止波长有：

规定：矩形波导横截面尺寸a>b。

最低次模：TE10波，截止频率最低，截止波长最大，称作主模。单模传输条件：(7-3-3)

2023/2/131第七章波导与谐振腔通常矩形波导横截面宽边尺寸a是窄边尺寸b的2倍略多一点。模式分布图2023/2/132第七章波导与谐振腔a

b=2.3cm

1.0cm标准矩形波导的截止波长分布图2023/2/133第七章波导与谐振腔如果波导中填充介质，则：单模传输条件改为填充介质相当于波导矩形横截面长度和宽度都扩大了倍

对于非铁磁媒质例7-3-1矩形波导横截面尺寸a

b=7cm

3cm，填充r=1，r=4介质。问：f=3.75

109Hz的信号在波导中有几种模式？解：频率为f=3.75

109Hz的信号在真空中的波长为(7-3-5)

2023/2/134第七章波导与谐振腔下面依次求出若干个模式的截止波长，再逐个判断。介质中的TEM波波长为2023/2/135第七章波导与谐振腔存在：TE10，TE20，TE01，TE11，TM11，TE30，TE21和TM21波。例7-3-2

矩形波导中填充r=1，r=4介质。f=3.75

109Hz的信号以H10模单模传输，求该矩形波导横截面尺寸a

b

。解：由式(6-1-34)

由单模传输条件式(7-3-3)：

可得：因此可以选择：a

b=2.850cm

1.262cm

如果这个矩形波导不填充介质，就只能传输TE10模。

填充r=4的非铁磁理想介质，相当于把波导横截面的长度和宽度都扩大2倍，由单模传输状态转变为多模传输状态。

2023/2/136第七章波导与谐振腔例7-3-3矩形波导横截面尺寸a

b=7cm

3cm。问：(1)当波导内填充空气时，工作波长为0=28cm的信号能否以TE10模(H10模)传输？(2)实现TE10模(H10模)单模传输，所填充介质的相对磁导率r和相对介电常数r应满足怎样的关系式？

解：(1)由式(7-2-22)：

不能以TE10模传输(2)由式(7-3-5)可知，填充介质的r和r应满足：

解之，可得4<rr

16

若所选择的介质为非铁磁介质，则有4<

r

16

矩形波导中填充介质后，可由截止状态变为单模传输状态。若r和r较大，还可变为多模传输状态。2023/2/137第七章波导与谐振腔二、矩形波导TE10模(H10模)的场结构

1．电磁场结构TEmn（或Hmn）模的场表达式：

(7-2-18)

(7-2-19)

2023/2/138第七章波导与谐振腔加入指数因子后TE10模场表达式：

讨论：

①电磁场沿y方向没有变化；

②Ey、Hx在x=0和x=a两个波导壁为零，在宽壁中心线上最大；Hz在两个波导壁最大，在宽壁中心线上为零。场图:某固定时刻用电力线和磁力线表示电磁场分布的图形。③磁场线都是平行于宽面的闭合曲线；磁场曲线族沿z方向长度为半波导波长；相邻曲线族环绕方向相反。

2023/2/139第七章波导与谐振腔2023/2/1402．电流与电荷的分布理想导体表面上面电流密度矢量为：

TE10模的场:矩形波导y=0平面：

；

y=b平面：

TE10

(H10)模在上下两宽壁的磁场：

宽边内壁上下两侧对应点处电流密度矢量：

矩形波导x=0平面：

；

x=a平面：

TE10模在上下两窄壁的磁场：Hz(a,y,z)=

Hz(0,y,z)

窄边内壁左右两侧对应点处电流密度矢量:

2023/2/141第七章波导与谐振腔由(1-5-3)式知，理想导体表面上面电荷与电场强度矢量关系为：

矩形波导x=0平面和

x=a平面上：表面电荷密度S=0；

矩形波导y=0平面：

；

y=b平面：

矩形波导宽壁内表面上、下两侧的对应点处表面电荷密度:

S(x,b,z)=

S(x,

0,z)

作业：7-1，7-3，7-4，7-62023/2/142第七章波导与谐振腔四、TE10（H10）模的传输功率（行波状态下单模传输的功率）

，

根据(7-3-8)式，令

(7-3-29a)

2023/2/143第七章波导与谐振腔(7-3-31)

在波导任意横截面上通过的平均功率为：2023/2/144第七章波导与谐振腔(7-3-32,33,34)

2023/2/145§7-4圆形波导中的电磁波第七章波导与谐振腔一、圆形波导内的电磁场方程忽略衰减，

=j。圆形波导的电磁场矢量可写成：(7-4-2)

圆形波导存在衰减:

=

j

(7-4-3)

2023/2/146第七章波导与谐振腔波导管内部无传导电流，故由麦克斯伟方程(5-1-14)可得：

，

根据附录五圆柱坐标系的旋度公式可得：

同理可以写出磁场的旋度运算的行列式，由此可得六个标量方程。

(7-4-5)

2023/2/147

第七章波导与谐振腔(7-4-6)

用纵向分量Ez和Hz来表示其他坐标分量，即

(7-4-7)

2023/2/148第七章波导与谐振腔可推导出Ez和Hz两个坐标分量在圆柱坐标系中的波动方程为：

(7-4-12)

h称为特征值，根据电磁场边界条件及波型模式来确定。

(7-4-13)

其中2023/2/149第七章波导与谐振腔二、圆波导的分离变量法消除式(7-4-12)中的指数因子，可得：(7-4-14)

(7-4-15)

设：带入(7-4-14),整理得：(7-4-16)

ρ和Φ是各自独立的变量,因此等式等于一个常数，令其为m2。由此可得到两个二阶微分方程：2023/2/150第七章波导与谐振腔二、贝赛尔函数简介贝赛尔函数分为第1类贝赛尔函数和第2类贝赛尔函数。第1类贝赛尔函数是一个收敛的无穷幂级数。(7-4-17)

(7-4-21)

两个方程的解分别为：(7-4-18)

(7-4-22)

其中为第1类m阶贝塞尔函数。2023/2/151第七章波导与谐振腔m阶第1类贝赛尔函数(以下简称m阶贝赛尔函数)为式中自变量x

0。贝赛尔函数的阶数可以取m=0,1,2,3,···。m=0时，称为0阶贝赛尔函数，即

使Jm(x)=0的x值称为m阶贝赛尔函数Jm(x)的根。记作pmn，n=1，2，3，…，是根pmn由小到大排列的的序号。图7-4-2给出了0～3阶贝赛尔函数随x的变化曲线，表7-4-1给出了0～3阶贝赛尔函数的前4个根。2023/2/152第七章波导与谐振腔图7-4-2

J0(x)，J1(x)，J2(x)

和J3(x)

的变化规律2023/2/153第七章波导与谐振腔m阶贝赛尔函数的导数叫作m阶贝赛尔导函数

(7-4-30)

使Jm(x)=0的自变量x值称作m阶贝赛尔导函数Jm(x)的根，记作pmn，n=1,2,3,…，是根pmn由小到大排列的序号。图7-4-3给出贝赛尔导函数变化曲线。表7-4-2给出贝赛尔导函数的前4个根。

n

m123402.4055.5208.65411.79213.8327.01610.17313.32425.1367.21711.62014.79636.3809.76113.01516.223表7-4-1

Jm(x)的前4个根pmn

2023/2/154第七章波导与谐振腔图7-4-3贝塞尔导函数曲线

2023/2/155第七章波导与谐振腔n

m123403.8327.01610.17313.32411.8415.3317.33611.70623.0546.7069.97013.17034.2018.01511.34414.586表7-4-2贝赛尔导函数Jm(x)的前4个根pmn

2023/2/156第七章波导与谐振腔n

m123403.8327.01610.17313.32411.8415.3317.33611.70623.0546.7069.97013.17034.2018.01511.34414.586表7-4-2J

m(x)的前4个根pmn

比较表7-4-1与表7-4-2

nm123402.4055.5208.65411.79213.8327.01610.17313.32425.1367.21711.62014.79636.3809.76113.01516.223表7-4-1

Jm(x)的前4个根pmn

比较的结果：结论：一阶贝塞尔函数的根与零阶贝塞尔导函数的根相同。2023/2/157第七章波导与谐振腔三、圆形波导中电磁场求解及有关参数1．圆形波导中的TM波(E波)由边界条件可以求得TMmn模(Emn模)相应的特征值为

(7-4-34)

(7-4-36)

a为圆波导半径，将式(7-4-36)带入式(7-4-34)，Ez为

由分离变量法可得圆波导TMmn(Emn)模电场纵向分量Ez为

(7-4-37)

将上式代入式(7-4-7)并考虑Hz=0，可得圆波导四个横向分量。2023/2/158第七章波导与谐振腔(7-4-38)

讨论：

①如果m=0，则

90。②在波导壁内表面

=a上，E

=0；H

=0，符合边界条件

2023/2/159第七章波导与谐振腔TMmn模(Emn模)的截止波长

当波在波导中截止时β=0，则：

(7-4-40)

vp是介质中TEM波的相速，相应的截止波长为

TMmn模(Emn模)的截止波长与内部填充的介质无关，仅取决于贝塞尔函数的根pmn和圆波导半径a，而截止频率还与填充的介质有关。

讨论：2023/2/160第七章波导与谐振腔圆波导TMmn模(Emn模)的其它参数圆波导TMmn

(Emn)模场分布中，m代表横截面上沿圆周方向磁场切向分量变化的周期数（或半圆周上最大值出现次数）；n代表横截面上沿半径方向磁场线最密集数（最大值数)。

例如，TM01模沿圆周方向场量没有任何变化，对应m=0；沿半径方向磁场线最密集出现1次，对应n=1。

，，2023/2/161第七章波导与谐振腔圆波导TM01模(E01模)场结构分布图

2023/2/162第七章波导与谐振腔2．圆形波导中TE波(H波)由分离变量法可得：

圆形波导TE(H)模的特征值为

(7-4-46)

(7-4-48)

由式(7-4-7)可得：(7-4-45)

由电场切向分量连续的边界条件可得：(7-4-47)

2023/2/163第七章波导与谐振腔(7-4-50)

将式(7-4-49)

代入式(7-4-45)并考虑Ez=0，可得：(7-4-49)

将特征值带入式（7-4-46）可得：2023/2/164第七章波导与谐振腔圆形波导TEmn(Hmn)模的截止频率为：

圆形波导TEmn(Hmn)模的截止波长为：

圆形波导TEmn(Hmn)模的波阻抗为：

(7-4-55)

(7-4-52)

(7-4-54)

2023/2/165第七章波导与谐振腔圆形波导TEmn(Hmn)模的其他参数

(7-4-54)

说明：T