第6章储能元件(播放版)魏

第六章储能元件前五章介绍的电路分析技术或方法也可以应用于包含电感和电容的电路。后续章节均包含电感和电容的内容，应先掌握其VCR，然后再用KCL和KVL来描述与其它基本元件之间的互连关系。再介绍两个电路元件：电感元件和电容元件。内容提要1.电容元件和电感元件的特性；2.电容、电感的串并联等效。

重点与难点

与其它章节的联系2/1/20231§6―1电容元件电容器：在外电源作用下，正负电极上分别带上等量异号电荷，撤去电源，电极上的电荷仍可长久地聚集下去，是一种储存电能的部件。

注意：电导体由绝缘材料分开就可以产生电容。+q-qU实际电容器的绝缘材料很多，例如：云母、陶瓷、聚丙稀、聚苯乙稀、涤纶、玻璃膜、玻璃釉、聚碳酸脂、金属化纸介、空气、铝电解、钽电解、合金电解等。2/1/20232各种类型的电容器(1)高压瓷片电容器高压复合介质电容器电压范围：2～30kV2/1/20233各种类型的电容器(2)钽电解电容器独石电容器铝电解电容器(有极性)无极性电解电容器2/1/20234各种类型的电容器(3)法拉电容0.1-1000F高频感应加热机振荡电容金属化聚丙烯薄膜电容器簿膜电容器2/1/20235各种贴片系列的电容器各种类型的电容器(4)2/1/20236各种类型的电容器(5)聚苯乙烯可变电容器空气式可变电容器片状陶瓷微调电容器微调电容器2/1/202371.

电容元件是表征产生电场、储存电场能量的两端元件。电容元件是实际电容器的理想化模型。线性电容元件的图形符号：文字符号或元件参数：

C

其它类型线性电容元件的图形符号：有极性的电解电容同轴双连可变电容微调电容+可变电容2/1/202382.电容元件的定义

任何时刻其储存的电荷q

与其两端的电压u能用q～u

平面上的一条曲线来描述，称库伏特性。C是一个正实常数，单位是F(法)、q=Cuouq+-u-q+qC库伏特性曲线是过原点的直线。若库伏特性不是通过原点的直线，则称为非线性如变容二极管，其容量随电压而变。C电容元件。库伏特性对于线性时不变电容元件，任何时刻，电容元件极板上的电荷q与电压u成正比：mF、pF等。2/1/202393.伏安关系电容有“隔直通交”的作用；i=dqdt=d(Cu)dti=dudtC当C为常数时有：+-uiC

q=Cu若C的i、u取关联参考方向，则有：①

i

的大小取决于u

的变化率，与u

的大小无关！

③实际电路中通过电容的电流i为有限值，则电容电容是动态元件；②当u

为常数(直流)时，i=0。电容相当于开路。电压u不能跃变，必是时间的连续函数。该式表明：2/1/202310伏安关系的积分形式q(t)

=∫t-∞i(x)dx

=∫t0-∞i(x)dx+∫tt0i(x)dx以t0为计时起点q(t)

=

q(t0)

+∫tt0i(x)dx将q=Cu代入得i=dqdt由得u(t)

=

u(t0)

+∫tt0i(x)dxC1表明某一时刻的电容电压值与-到该时刻的所有电流值有关，即电容元件有记忆电流的作用，故称电容元件为记忆元件。研究某一初始时刻t0以后的电容电压，需要知道t0时刻开始作用的电流i和t0时刻的电压u(t0)。2/1/202311还需要指出两点：①当u，i为非关联参考方向时，上述微分和积分表达式前要冠以负号；②上式中u(t0)称为电容电压的初始值，它反映电容初始时刻的储能状况，也称为初始状态。+-uiC

q=Cui=dudtCu(t)

=u(t0)

+∫tt0i(x)dxC1u，i为关联参考方向2/1/2023123.功率/电场能量p=ui=

uCdudtu和i采用关联参考方向时+-uiC当电容充电，当电容放电，电容能在一段时间内吸收外部供给的能量转化为电场能量储存起来，在另一段时间内又把能量释放回电路，因此，电容元件是储能元件，它本身不消耗能量。p＞0，电容吸收功率。dudt＞0，(1)功率p＜0，电容发出功率。dudt＜0，2/1/202313(2)电场能量t从-∞到任意时刻吸收的电场能量wc=∫-∞t

Cu(x)du(x)dtdtwc=21Cu2(t)-21Cu2(-∞)电容处于未充电状态时，第二项为0，等于它所吸收的能量。因此，电容元件在任何时刻所储存的电场能量将积分结果为从t1～t2时间，电容元件吸收的能量为Wc=21Cu2(t2)-21Cu2(t1)=

Wc

(t2)-Wc

(t1)2/1/202314最后注意：电容释放的能量≤吸收的能量，所以是无源元件。表明wc=21Cu2(t)≥0电容的储能只与当时的电压值有关，电容电压不能跃变，反映了储能不能跃变；②电容储存的能量一定大于或等于零。2/1/202315线性电容元件总结图形符号：文字符号或元件参数：C(元件约束)伏安特性：

单位：1F=106mF

=1012pF

i=Cdudt库伏特性：q=Cu或u=∫t-∞i

dtC1储能的计算：wc(t)=21Cu2(t)其它特征：不耗能、无源、有记忆、双向元件+-uiC2/1/202316解题指导：已知如图，求电流i、功率p(t)和储能w(t)。解：uS(t)的函数表示式为uS(t)=0，t≤00，t≥2s2t，0≤t≤1s-2t+4，1≤t≤2si(t)=CduSdt=0，t≤01，0≤t≤1s-1，1≤t≤2s0，t≥2sp(t)=uS(t)i(t)，w(t)=21CuS

(t)+-uSC0.5Fi012t/(s)1-1i(t)/(A)2012t/s21uS/V2/1/202317吸收uS(t)=0，t≤00，t≥2s2t，0≤t≤1s-2t+4，1≤t≤2si(t)=0，t≤01，0≤t≤1s-1，1≤t≤2s0，t≥2s+-uSC0.5Fip(t)=uS(t)i(t)=0，t≤00，t≥2s2t，0≤t≤1s2t-4，1≤t≤2s012t/s21uS/V012t/s21p/W-1-2放出2/1/202318uS(t)=0，t≤00，t≥2s2t，0≤t≤1s-2t+4，1≤t≤2s+-uSC0.5Fi012t/s21uS/Vw(t)=21CuS

(t)=20，t≤00，t≥2st2，0≤t≤1s(2-t)2，1≤t≤2s012t/s21w/J2/1/202319§6―2电感元件电感线圈把金属导线绕在一骨架上构成一实际电感线圈，当电流通过线圈时，将产生磁通，是一种抵抗电流变化、储存磁能的部件。LLABi线圈通以电流i后将产生磁通L,若L与N匝线圈交链，则磁通链L=NL

L和L都是由线圈本身的电流产生的，自感磁通链。L与i的参考方向成右手螺旋关系。LL叫做自感磁通和2/1/202320电感两端电压的大小与磁通的变化率成正比。

则有u=dLdt电感元件是实际线圈的理想化模型，反映了电流产生磁通和存储磁场能量这一物理现象。+-uLLiAB当磁通随时间变化时，线圈两端就会产生感应电压。若u与L取关联参考方向，

u与L的参考方向成右手螺旋关系时为关联。2/1/202321实际的电感线圈(1)带铁心的电抗器串联空心电抗器在低频电路中使用的电感线圈，如电抗器、变压器、电磁铁等，都采用带铁心的线圈。电抗器2/1/202322实际的电感线圈(2)工字型电感绕线电感、穿芯磁珠空芯电感带磁芯(环)电感2/1/202323实际的电感线圈(3)色环电感贴片电感可调电感在高频电路中，常用空心或带有铁氧体磁心的线圈。各种类型的电感2/1/2023241.电感元件的定义是产生磁场，储存磁能的两端元件。任何时刻，其特性可用～i平面上的一条曲线来描述，称韦安特性。0i2.线性时不变电感元件任何时刻，通过电感元件的电流i与其磁链成正比。

~i特性为过原点的直线。=f(i)(t)

=Li(t)

L是一个正实常数，即电感或自感系数。(1)韦安特性：韦安特性2/1/202325(2)单位(3)线性电感元件的图形符号Y的单位用Wb，i的单位用A，L的单位就是H。(t)

=Li(t)

常用mH，mH表示：1H=103mH=106mH。空心电感磁心电感磁心连续可调带固定抽头步进移动触点文字符号或元件参数：L2/1/2023263.伏安关系i与u为关联参考方向，i与L把YL=Li代入u=dLdtu=Ldidt成右手螺旋关系。①电感电压u的大小取决于i的变化率，与i的大小无关，电感是动态元件；②当i为常数(直流)时，u=0，电感相当于短路；③实际电路中电感的电压u为有限值，则电感电流i不能跃变，必定是时间的连续函数。

该式表明：i+-uL电感元件VCR的微分关系。2/1/202327电感元件伏安关系的积分形式i=L1∫-∞tudx=L1∫-∞t0u

dx+L1∫t0tudxi=

i(t0)+L1∫t0tudx某一时刻的电感电流值与-到该时刻的所有电压值有关，即电感元件有记忆电压的作用，电感元件也是记忆元件。研究某一初始时刻t0以后的电感电流，不需要了解t0以前的电流，只需知道t0时刻开始作用的电压u和t0时刻的电流i(t0)。积分形式为：表明：i+-uL2/1/202328需要指出的是：当u，i为非关联方向时，上述微分和积分表达式前要冠以负号；u=-Ldidt②积分表达式中的i(t0)称为电感电流的初始值，它反映电感初始时刻的储能状况，也称为初始状态。积分表达式YL

=YL(t0)+∫t0tudxi=

i(t0)+L1∫t0tudx两边乘以L得用磁链表示的伏安关系i=

i(t0)

-L1∫t0tudx

2/1/2023294.功率与磁场能量=Ldidt(1)吸收的功率为：p=

uii电感能在一段时间内吸收外部供给的能量转化为磁场能量储存起来，在另一段时间内又把能量释放回电路，因此电感元件是储能元件，它本身不消耗能量。i+-uL当电流增大，p＞0，电感吸收功率。当电流减小，p＜0，电感发出功率。释放的能量≤吸收的能量，是无源元件。表明：2/1/202330(2)储存的磁场能量在-t这段时间内，电感吸收的能量为：wL

=∫-∞t

Li(x)di(x)dtdt=

L∫i(-∞)i(t)i(x)di(x)wL=12Li2(t)-12Li2(-∞)电感的储能只与当时的电流值有关，电感电流不能跃变，反映了储能不能跃变。若t=-时，i(-)=0，即电感无初始能量，wL=12Li2(t)表明：则有②电感储存的能量一定大于或等于零。2/1/202331如果电感元件的韦安特性不是通过原点的直线，则称为非线性电感元件，其韦安特性为：例如带铁心的线圈。从时间t1～t2，电感元件吸收的磁场能量为：WL=21Li2(t2)-21Li2(t1)=WL(t2)-WL(t1)|i|增加时，WL＞0，电感元件吸收能量；

|i|减小时，WL＜0，电感元件释放能量。YL=f(i)或i=h(YL)2/1/202332元件约束线性电感元件总结图形符号：文字符号或元件参数：L伏安特性：

单位：1H=103m

H

=106mH

储能的计算：其它特征：不耗能、无源、有记忆、双向元件u=LdidtwL(t)=21Li2(t)韦安特性：YL=Lii=∫t-∞u

dtL1或2/1/202333实际电容器和电感线圈的模型CR直流、低频下的模型CRL高频下的模型C理想化模型1.实际电容器的模型2/1/2023342.实际电感线圈的模型高频下的模型CLRL理想模型LR低频下的模型2/1/202335习题6-4：L=4H，且i(0)=0。试求当t=1s，t=2s，t=3s和t=4s时的电感电流i。Li+-u023t/s10-10u/V145i=

i(t0)

+L1∫t0tudx解：电感VCR的积分形式为各时段电感电压的表达式为u(t)=10V，2s≥t≥010t-40，4s≥t＞3s

0，3s≥t＞2s所以，当t=1s时有i(1)

=

0

+41∫0110

dt=410t01=[2.5(1-0)]=2.5A2/1/202336i(1)=2.5A。Li+-ui(2)

=

2.5

+41∫1210

dt=5Ai(2)

=

0

+41∫0210

dt=410t02=[2.5(2-0)]=5A或者当t=3s时有：i(3)

=

5

+41∫230

dt=5A当t=4s时有：i(4)

=

5

+41∫34(10t-40)

dt=5+41(5t2-40t)

34=3.75A当t=2s时有：023t/s10-10u/V1452/1/202337§6―3电容、电感元件的串联与并联+-uiC1C2+-u1+-u2u1=u1(t0)+∫ti(x)dxC11t0u2=u2(t0)+∫ti(x)dxC21t0u=u1+u2=u1(t0)+u2(t0)+(C11+C21)∫tt0ti(x)dx=u(t0)+∫C1t0i(x)dxu(t0)=u1(t0)+u2(t0)C1=C11+C211.电容的串联(1)等效电容电容的VCR和KVL+-uiC2/1/202338n

个电容的串联+-uiC1C2Cn+-u1+-u2+-un等效电容为+-uiCequ(t0)=u1(t0)+u2(t0)+Ceq1C11=++…+Cn1…+

un(t0)等效初始条件为如果各电容都无初始电压(电荷)，则u(t0)=0。C212/1/202339(2)串联电容的分压①÷③得+-uiC1C2+-u1+-u2+-uiCu1=∫ti(x)dxC11-∞uu1=C1Cu1=C1Cu=C1+C2C2uC1+C2C1C2C=……①u2=∫ti(x)dxC21-∞……②u=∫ti(x)dxC1-∞……③同理u2=C2Cu=C1+C2C1u2/1/2023402.电容的并联i1

=C1