工程制图基础-点、直线、平面的投影

第二章点、直线、平面的投影

投影法

物体的三视图

物体上点的投影

物体上直线的投影

物体上面的投影投影法

投影法的概念

投影法的分类

平行投影法的基本性质一、投影法的概念

投射线通过物体向选定的投影面投射，并在该投影面上得到投影的方法称为投影法。

投射中心投射线物体投影投影面二、投影法的分类中心投影法：投射线都通过投射中心

平行投影法：投射线互相平行

正投影法斜投影法正投影法斜投影法中心投影法三、平行投影法的基本性质

点的投影仍为点，直线的投影仍为直线，平面的投影为原平面图形的类似形。

直线的类似性平面的类似性1.类似性

当直线或平面图形平行于投影面时，其投影反映实长或实形。三、平行投影法的基本性质直线的实形性平面的实形性2.实形性

当直线或平面图形垂直于投影面时，其投影积聚成一点或一直线。

三、平行投影法的基本性质积聚性3.积聚性

三面投影体系的建立物体的三视图

三视图的形成

三视图的投影规律一、三面投影体系的建立1.单面投影体系点在单投影面上的投影HHAAaaB

空间点A在投影面上有唯一的投影a而已知空间点A在投影的投影a，不能唯一确定点A的位置。点的一个投影不能确定空间点A的位置解决：增加投影面怎么办？一、三面投影体系的建立2.两面投影体系点在两投影面上的投影

已知点A的两个投影a和a’

可以唯一确定空间点A的位置

对于复杂的物体仅有两投影面上的投影也是不能确定物体的形状，仍需增加投影面一、三面投影体系的建立3.三面投影体系

三个互相垂直的投影面组成三投影面体系。正立的投影面称为正立投影面，用V表示；水平的投影面称为水平投影面，用H表示；侧立的投影面称为侧立投影面，用W表示。这三个互相垂直的平面把空间分为八个分角，习惯上采用第一分角画法。二、三视图的形成

将物体放在三投影面体系的第一分角，分别向三个投影面进行投影，在三个投影面上得到的图形即为三视图。在V面上得到的投影称为主视图主视图在H面上得到的投影称为俯视图俯视图在W面上得到的投影称为左视图左视图二、三视图的形成

为了把三个视图画在一张图纸上，国家标准规定：V面不动，将H面绕OX轴向下旋转90°,W面绕OZ轴向后旋转90°，使其与V面处在同一平面，然后去掉边框和投影轴就得到物体的三视图。主视图俯视图左视图向下旋转90°向右旋转90°三、三视图的投影规律三视图的位置关系

：左右左右主、俯视图反映左右即物体的长主、左视图反映上下即物体的高俯、左视图反映前后即物体的宽上下上下后前后前三、三视图的投影规律左右左右主、俯视图长对正主、左视图高平齐俯、左视图宽相等上下上下后前后前

点在三面投影体系中的投影物体上点的投影

点的直角坐标和三面投影的关系

三面投影体系中点的投影规律

两点的相对位置

重影点一、点在三面投影体系中的投影空间点用大写字母A表示在H面上的投影称水平投影，用小写字母a表示。在V面上的投影称正面投影，用a′表示。在W面上的投影称侧面投影，用a″表示。二、点的直角坐标和三面投影的关系坐标值xA、yA、zA分别为A点到投影面W、V、H的离。

已知空间点A（x,y,z）的坐标,在三投影面体系中点A有唯一的一组投影(a、a′、a″）

a由A点的x、y两坐标确定；xya′由A点的x、z两坐标确定；a＂由A点的y、z两坐标确定；xzyz二、点的直角坐标和三面投影的关系a由A点的x、y两坐标确定；a′由A点的x、z两坐标确定；

a＂由A点的y、z两坐标确定。

即点的任意两个投影就能包含点的三个坐标。点的两面投影能唯一确定点的空间位置三、三面投影体系中点的投影规律a′和a都反映空间点A的X坐标，a′a⊥OX

。a′和a″反映空间点A的Z坐标，a′a″⊥OZ

。a和a″都反映空间点A的Y坐标，aax=a″az

。以上三条即为点的投影规律。四、两点的相对位置

空间两点的相对位置可由它们的坐标确定，那由点的投影图怎么判断它们的相对位置呢？

在投影图上，可以通过两点的坐标来判断它们的相对位置。投影也可以反映点的坐标

四、两点的相对位置通过两点同面投影的坐标差来判断它们的相对位置:Δx=xA-xB

,若Δx>0A点在B点的左方，反之，A点在B点的右方Δy=yA-yB

,若Δy>0A点在B点的前方，反之，A点在B点的后方Δz=zA-zB

,若Δz>0A点在B点的上方，反之，A点在B点的下方

四、两点的相对位置A点在B点的右方、后方、下方。五、重影点

当空间两点处于同一投射线上，则两点在与此射线垂直的投影面上的投影重合为一点，称此两点为对该投影面的重影点。

如图点A和点C是相对于V面的重影点。五、重影点

重影点的重合投影有“上遮下”、“前遮后”、“左遮右”的关系，重影点要在所重合的投影面上判别可见性,被遮挡点的投影符号要用（）括起来。

点A和点C在V面上的投影重合，两点相对V面存在遮挡关系。在V面上判别可见性总结：五、重影点

判别可见性的方法：

比较两点不相同的那个坐标，坐标值大的可见，另一个不可见。

图A点在C点的前方，所以相对V面，A点可见C点不可见,c′用（）括起。例1.已知点A(30,15,20)，试作其三投影。10203010201020aa’a’’1020例题例2.已知点的两个投影，求作第三投影。a’’bc’例题

直线的投影物体上直线的投影

各种位置直线的投影特性

两直线的相对位置

直线上的点

直角投影定理一、直线的投影怎么求直线的投影？

直线的投影就是直线上两个端点的同面投影的连线。

我们知道空间一直线是由其上的两点决定aa’’a’bb’’b’二、直线的分类根据直线相对投影面的位置不同，将直线分为以下三类

一般位置直线—与三个投影面都倾斜的直线，也称投影面倾斜线；投影面平行线—平行于某一投影面，且与另两个投影面倾斜的直线；投影面垂直线—垂直于某一投影面与另两个投影面平行的直线。二、各种位置直线的投影特性一般位置直线投影特性1.三个投影都与投影轴倾斜，且投影的长度均小于该直线的实长；

2.任何一个投影与投影轴的夹角均不反映空间直线与投影面间的倾角。

二、各种位置直线的投影特性投影面平行线根据所平行的投影面的不同又分为：正平线—平行于V面且倾斜于H、W面的直线；

水平线—平行于H面且倾斜于V、W面的直线；侧平线—平行于W面且倾斜于H、V面的直线。

正平线（∥V面）投影特性1.在V面上的投影a′b′反映实长，并且映、；2.在其它面上的投影：ab∥OX,a″b″∥OZ,且都小于实长。

a′b′=AB二、各种位置直线的投影特性投影面平行线的投影特性:总结投影面平行线的投影特性1.在所平行的投影面上的投影反映实长，并且反映空间直线与投影轴的倾角；2.在其它两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴且都小于实长。

二、各种位置直线的投影特性二、各种位置直线的投影特性投影面垂直线根据所垂直的投影面的不同又分为：正垂线—垂直于V面平行于H、W面的直线；

铅垂线—垂直于H面平行于V、W面的直线；

侧垂线—垂直于W面平行于H、V面的直线。

正垂线（⊥V面）投影特性在V面上的投影a′b′积聚为一点；在其它面上的投影：ab⊥OX,a″b″=

⊥OZ,且ab=a″b″=

ABa′b′积聚成点二、各种位置直线的投影特性投影面垂直线的投影特性总结投影面垂直线的投影特性1.在所垂直的投影面上的投影积聚为一点；2.在其它两个投影面上的投影分别垂直于相应的投影轴，且反映实长。二、各种位置直线的投影特性三、直线上的点1.从属性

若点在直线上，则点的投影必然在直线的同面投影上，且符合点的投影规律；

反之，若点的投影在直线的同面投影上，且符合点的投影特性，则空间点必然在直线上。三、直线上的点2.定比性

点在直线上，则点分线段之比等于点的投影分线段的同面投影之比。AC:CB＝ac:cb＝a＇c＇:c＇b＇=a＂c＂:c＂b＂cc’例1:已知点C分线段AB的比为3：2，试作点C的投影。例题四、两直线的相对位置空间两直线的相对位置有三种：平行、相交、交叉。CD与EF是平行关系AB和AE是相交关系AB和CD是交叉关系平行两直线平行两直线的投影特性满足平行性和定比性平行两直线的同面投影必定平行

同面投影长度之比都等于其实长之比四、两直线的相对位置反之，两直线的投影满足平行性和定比性则两直线平行。四、两直线的相对位置相交两直线

反之，两直线各组同面投影相交，且交点符合点的投影规律，则空间两直线相交。交点符合点的投影规律即投影的交点为交点的投影

同面投影必相交交叉两直线

两直线既不符合平行两直线的投影特性也不符合相交两直线的投影特性，那么这两直线为交叉两直线。四、两直线的相对位置例1：判别两直线AB、CD的空间相对位置。

交叉两直线可能有一组或两组同面投影平行，但不可能三组同面投影都平行；四、两直线的相对位置方法一：做出直线AB、CD的第三投影，若在W面上的投影也平行则两直线平行，否则两直线交叉。a’’b’’c’’d’’方法二：判别直线AB、CD在两个投影面上投影的方向是否一致。方法一：做出直线AB、CD的第三投影，若在W面上的投影相交且交点符合点的投影规律则两直线相交，否则两直线交叉。

交叉二直线也可能在三个投影面上的投影都相交，可交点必定不符合点的投影规律，此时投影的交点是两直线上点对投影面的重影点。四、两直线的相对位置例2：判别两直线AB、CD的空间相对位置。

交点不符合点的投影规律a’’b’’c’’d’’方法二：判别点分线段是否成比例。若成比例说明投影的交点是同一个点（交点）的投影。四、两直线的相对位置例2：判别两直线AB、CD的空间相对位置。b1ab1=a’b’k’k1ak1=a’k’kkk1∥bb1H面上交点的投影不重合，∴直线AB、CD为交叉两直线。e’f’e(f)g’(h’)g’h’四、两直线的相对位置例3：找出交叉两直线AB、CD的重影点。五、直角投影定理

互相垂直的两直线（垂直相交或垂直交叉），若其中一条直线平行于某一投影面，则两直线在该投影面上的投影必定互相垂直。

反之，相交或交叉的两直线在某一投影面上的投影互相垂直，且其中有一直线是该投影面的平行线，则两直线在空间必定互相垂。

AB为水平线且AB⊥AC则ab⊥AC,而ab⊥Aa∴ab⊥面ACca,∴ab⊥ac例：判断以下两直线是否垂直。垂直五、直角投影定理

平面的表示法物体上平面的投影

各种位置平面的投影特性

平面上的点和线直线与平面、平面与平面的相对位置一、平面的表示法

平面通常可用确定该平面的点、直线或平面图形等几何元素表示。

平面的这些表示形式是可以互相转化的。二、各种位置平面的投影特性根据平面对投影面的相对位置的不同将平面分为三类：一般位置平面—与三个投影面都倾斜的平面；投影面平行面—平行于某一投影面，与另两个投影面垂直的平面；投影面垂直面—垂直于某一投影面且与另两个投影面倾斜的平面。一般位置平面投影特性1.三个投影都是原平面的类似形，都不反映平面的实形；

2.任何一个投影与投影轴的夹角均不反映平面与投影面间的倾角。

二、各种位置平面的投影特性原平面的类似形投影面垂直面根据所垂直的投影面的不同又分为：正垂面—垂直于V面且倾斜于H、W面的平面；

铅垂面—垂直于H面且倾斜于V、W面的平面；侧垂面—垂直于W面且倾斜于H、V面的平面。

二、各种位置平面的投影特性正垂面（⊥V面）投影特性1.在V面上的投影积聚为一直线，并反映空间直线对投影面的倾角α、γ;2.在其它投影面上的投影为原平面图形的类似形。投影积聚成线二、各种位置平面的投影特性投影面垂直面的投影特性总结投影面垂直面的投影特性:1.在所垂直的投影面上的投影积聚为直线,并反映平面与投影面的倾角；2.在其它投影面上的投影为原平面图形的类似形。二、各种位置平面的投影特性投影面平行面根据所平行的投影面的不同又分为：正平面—平行于V面垂直于H、W面的平面；

水平面—平行于H面垂直于V、W面的平面；侧平面—平行于W面垂直于H、V面的平面。

二、各种位置平面的投影特性正平面（∥V面）投影特性1.在V面上的投影反映实形;2.在其它两个投影面上的投影积聚成直线,且水平投影∥OX轴,侧面投影∥OZ轴。投影积聚成线投影积聚成线实形二、各种位置平面的投影特性投影面平行面的投影特性总结投影面平行面的投影特性:1.在所平行的投影面上的投影反映实形；2.在其它两个投影面上的投影积聚成直线,且投影平行于相应的投影轴。二、各种位置平面的投影特性

点在平面上的几何条件是：点在该平面内的一条直线上，则此点一定在该平面上。

面上取点先取线三、平面上的点和线直线在平面上的几何条件是：1.若直线通过平面上的两个点，则此直线一定在该平面

上。

面上取线先取线上