第9章 弯曲变形mc

第9章

梁的弯曲变形与刚度计算

§9–2梁的挠曲线近似微分方程§9-3积分法计算梁的变形§9-5梁的刚度计算及提高梁刚度的措施第9章梁的弯曲变形与刚度计算

§9-1工程中的弯曲变形问题§9-6简单超静定梁§9-7梁的弯曲应变能§9-4叠加法计算梁的变形弯曲构件除了要满足强度条件外,还需满足刚度条件。如车床主轴的过大弯曲引起加工零件的误差。1.工程中的弯曲变形问题第一节工程中的弯曲变形问题7-19.1工程实际中的弯曲变形问题度量梁变形后横截面位移的两个基本量:挠度和转角挠度(w):横截面形心(即轴线上的点)在垂直于x轴方向的线位移,称为该截面的挠度(Deflection)

。yxABCw(挠度)C1转角():横截面绕中性轴(即Z轴)转过的角度（或角位移）,称为该截面的转角(Sloperotationangle)

。q(转角)取梁的左端点为坐标原点,梁变形前的轴线为x轴,横截面的铅垂对称轴为y轴,xy平面为纵向对称平面。F第二节挠曲线的近似微分方程挠度和转角符号的规定：挠度：在图示坐标系中,向上为正,向下为负。转角：

逆时针转向为正,顺时针转向为负。yxABCw(挠度)C1q(转角)F挠曲线：梁变形后的轴线称为挠曲线。挠曲线方程:式中,x为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w为该点的挠度。yxABCw(挠度)C1q(转角)挠曲线F挠度与转角的关系：yxABCw(挠度)C1qq(转角)F横力弯曲时,M和都是x的函数。略去剪力对梁的位移的影响,则纯弯曲时曲率与弯矩的关系为由数学关系知,平面曲线的曲率可写作由于挠曲线是一条非常平坦的曲线,w'2远比1小,可以略去不计,于是上式可写成此式称为梁的挠曲线近似微分方程。(Approximatelydifferentialequationofthedeflectioncurve)称为近似的原因:(1)略去了剪力的影响;(2)略去了w'2项。曲线向上凸时：w’’<0,M＜0因此,M与w’’的正负号相同。MMM＜0w’’<0OxyM＞0w’’>0MM曲线向下凸时：w’’>0,M＞0Oxy再积分一次,得挠度方程上式积分一次得转角方程若为等截面直梁,其抗弯刚度EI为一常量,上式可改写成式中：积分常数C1、C2可通过梁挠曲线的边界条件和变形的连续性条件来确定。第三节积分法求弯曲变形简支梁悬臂梁边界条件(boundarycondition)ABwA＝0wB＝0ABwA＝0qA＝0ABAB连续性条件(Continuitycondition)在挠曲线的任一点上,有唯一的挠度和转角。如:不可能不可能c例1：图示一抗弯刚度为EI的悬臂梁,在自由端受一集中力F作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大挠度wmax和最大转角max。ABlxxy解：以梁左端A为原点,取直角坐标系,令x轴向右,y轴向上为正。(1)列弯矩方程F(2)列挠曲线近似微分方程并积分

(3)确定积分常数代入式(a)和(b),得：C1＝0,C2＝0ABlxxyF在x＝0处,w＝0

在x＝0处,q＝0

ABlxxyF(4)建立转角方程和挠度方程

将求得的积分常数C1和C2代入式(a)和(b),得梁的转角方程和挠度方程分别为：(5)求最大转角和最大挠度

自由端B处的转角和挠度绝对值最大。wmaxqmax所得的挠度为负值,说明B点向下移动;转角为负值,说明横截面B沿顺时针转向转动。xlABqFAFB例2:图示一抗弯刚度为EI的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大挠度wmax和最大转角max。xy解:

由对称性可知,梁的两个支反力为梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为积分两次xlABqFAFBxy简支梁的边界条件是在x＝0处,w＝0

在x＝l处,w＝0

代入(c)、(d)式确定出积分常数xlABqFAFBxyABqxyqAqBwmaxl/2由对称性可知,在两端支座x＝0和x＝l处,转角的绝对值相等且都是最大值在梁跨中点l/2处有最大挠度值例3：图示一抗弯刚度为EI的简支梁,在D点处受一集中力F的作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并求其最大挠度和最大转角。xlABFabFAFBD解:

求出梁的支反力为将梁分为I和II两段,其弯矩方程分别为III梁段I(0x

a)梁段II(a

x

l)两段梁的挠曲线方程分别为积分一次得转角方程再积分一次得挠曲线方程挠曲线方程注意：在对梁段II进行积分运算时,对含有(x-a)的弯矩项不要展开,而以(x-a)作为自变量进行积分,这样可使下面确定积分常数的工作得到简化。D点的连续条件：在x=a处,q1＝q2,w1＝w2边界条件:在x=0处,w1＝0在x=l处,w2＝0代入方程可解得:xlABFabFAFBDIII梁段I(0x

a)梁段II(a

x

l)将积分常数代入得转角方程挠曲线方程将x=0和x=l分别代入转角方程左右两支座处截面的转角当a>b时,右支座处截面的转角绝对值为最大xlABFabFAFBDIII简支梁的最大挠度应在w'＝0处。研究第一段梁,令w'1＝0得当a>b时,x1<a,最大挠度确实在第一段梁中xlABFabFAFBDIII在极端情况下,当b非常小,以致b2与l2项相比可以略去不计时讨论1:上例中，梁中点挠度与最大挠度的关系？xlABFabFAFBDIII则：当F从梁中点位置向B支座移动时，b值减小时，x从0.5L向0.577L趋近（F接近B点时）；此时最大挠度的位置离梁中点最远，梁中点挠度与最大挠度应该差距较大。梁中点C处的挠度为结论:在简支梁中,不论它受什么荷载作用,只要挠曲线上无拐点,其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替,其精确度是能满足工程要求的。略去b2项,得讨论2:BD段上有无θ=0的点？xlABFabFAFBDIII条件：由于梁的变形微小,梁变形后其跨长的改变可略去不计,且梁的材料在线弹性范围内工作,因而,梁的挠度和转角均与作用在梁上的载荷成线性关系。在这种情况下,梁在几项载荷(如集中力、集中力偶或分布力)同时作用下某一横截面的挠度和转角,就分别等于每项载荷单独作用下该截面的挠度和转角的叠加。此即为叠加原理。第四节按叠加原理计算梁的挠度和转角例1：一抗弯刚度为EI的简支梁受荷载如图所示。试按叠加原理求梁跨中点的挠度wC

和支座处横截面的转角A

,B。BAqlMeC解：将梁上荷载分为两项简单的荷载。例2:试利用叠加法,求图示抗弯刚度为EI的简支梁跨中点的挠度wC。Bql/2ACl/2Bq/2ACBACq/2q/2解：该梁上荷载可视为正对称载荷与反称对载荷两种情况的叠加。(1)正对称载荷作用下(2)反对称荷载作用下在跨中C截面处,挠度wC2等于零。BACq/2q/2(3)将相应的位移进行叠加,即得（）例3用叠加法求梁中点处的挠度。设b＜l/2。l/2lABqbxdx解：将均布荷载看作许多微集中力dF组成dF=qdxdFC当b=l/2时,结果与例2一致.例4

叠加法（逐段刚化法)抗弯刚度为EI，求B处的挠度与转角、C处的转角。=+PL1L2ABCBCPL2w1w2等价等价PL1L2ABC刚化AC段PL1L2ABC刚化BC段PL1L2ABCMw2PL1L2ABCMPL1L2ABCBCPL2w1一、梁的刚度条件：、校核刚度：、设计载荷。其中[]称为许用转角；[w]称为许用挠度。通常依此条件进行如下三种刚度计算：、设计截面尺寸；第五节梁的刚度计算例1（类似教材P159例题9-5）下图为一空心圆梁，内外径分别为：d=40mm，D=80mm，梁的E=210GPa，工程规定C点的[w]=0.00001m，B点的[]=0.001弧度，试校核此梁的刚度。=+解：结构变换，查表求简单载荷变形(P2的计算可利用上节例4的结果)。叠加求复杂载荷下的变形校核刚度所以刚度是足够的。内外径分别为：d=40mm，D=80mm讨论：强度校核问题二、提高梁的刚度的措施由梁的位移表(表9-3)可见,梁的变形(挠度和转角)除了与梁的支承和荷载情况有关外,还取决于以下三个因素,即材料——梁的变形与材料的弹性模量E成反比；截面——梁的变形与截面的惯性矩I成反比；跨长——梁的变形与跨长l的n次幂成正比(在各种不同荷载形式下,n分别等于1,2,3或4)。由此可见,为了减小梁的位移,可以采取下列措施：1.增大梁的弯曲刚度EI对于钢材来说,采用高强度钢可以显著提高梁的强度,但对刚度的改善并不明显,因高强度钢与普通低碳钢的E值是相近的。因此,为增大梁的刚度,应设法增大I值。在截面面积不变的情况下,采用适当形状的截面使截面面积分布在距中性轴较远处,以增大截面的惯性矩I,这样不仅可降低应力,而且能增大梁的弯曲刚度以减小位移。所以工程上常采用工字形、箱形等截面。截面形状截面面积(cm2)

截面尺寸(cm)I(cm4)圆形35.5D=6.72101.3矩形35.5B=4.21H=8.43210.56工字形35.520a23702．调整跨长和改变结构lABq要求解如图所示的超静定梁，可以以B端的活动铰支座为多余约束，将其撤除后而形成的悬臂梁即为原超静定梁的基本静定梁。ABqFB为使基本静定梁的受力及变形情况与原静不定梁完全一致，还要求基本静定梁满足一定的变形协调条件。第六节简单超静定梁lABqABqFB由于原静不定梁在B端有活动铰支座的约束，因此，还要求基本静定梁在B端的挠度为零，即此即应满足的变形协调条件(或变形相容条件)ABq建立补充方程ABFBwBFwBqABqFB由图可见，B端的挠度为零，可将其视为均布载荷引起的挠度wBq与未知支座反力FB引起的挠度wBF的叠加结果，即:ABqABFBwBFwBq由表9.3查得力与变形间的物理关系：将其代入前式得：