第6章 梁的变形

材料力学第6章梁的变形姓名：鲁晓俊单位：武昌理工学院第6章梁的变形6.1梁的挠度和转角6.2直梁挠曲线近似微分方程6.3用积分法求梁的变形6.4用叠加方法求梁的变形6.5梁的刚度条件6.1.1研究梁变形的目的6.1梁的挠度和转角研究范围：梁在平面弯曲时的位移（绕度和转角）计算。研究目的：⑴对梁作刚度校核

⑵解超静定梁（变形协调条件作为补充方程）

⑶为研究压杆稳定问题提供必要的理论基础

挠曲轴是一条连续、光滑曲线对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线

对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计,

因而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交变弯后的梁轴，称为挠曲轴研究弯曲变形的目的，进行梁的刚度计算，分析静不定梁，为研究压杆稳定问题提供有关基础6.1梁的挠度和转角6.1.2挠度和转角－挠度—转角挠度与转角的关系挠度－横截面形心在垂直于梁轴方向的位移－挠曲轴方程转角－横截面的角位移－转角方程（rad）（小变形）正负号与坐标的正负号相同顺为正，逆为负6.1梁的挠度和转角（纯弯）（推广到非纯弯）

y－弯矩引起的挠度

smax

<sp－挠曲轴微分方程6.2直梁挠曲线近似微分方程小变形时：－挠曲轴近似微分方程

小变形

坐标轴y向下应用条件：6.2直梁挠曲线近似微分方程根据挠曲线的近似微分方程：约束处位移应满足的条件梁段交接处位移应满足的条件－位移边界条件－位移连续条件利用位移边界条件与连续条件确定积分常数6.3用积分法求梁的变形例题6.1有一受均布荷载作用的简支梁如图所示，EI为常数。试求此梁的最大挠度ymax（通常用符号f表示）以及两端截面的转角qA和qB。解（1）列梁挠曲线近似微分方程弯矩方程：

即得梁的挠曲线近似微分方程支座反力：6.3用积分法求梁的变形（2）积分将上式连续积分两次，可分别得到（3）确定积分常数边界条件为：和

（1）

（2）

当x=0时，y=0；可得当x=l时，y=0。6.3用积分法求梁的变形转角方程为挠度方程为(4)求ymax、qA、qB：即处挠度最大（3）（4）

（1）

（2）

正号表示ymax的方向与y轴正方向相同，即向下。6.3用积分法求梁的变形将x=0代入式（3），得代入式（3），得负号表示qB为反时针转向。转角方程为挠度方程为（3）（4）

正号表示为顺时针转向。6.3用积分法求梁的变形例题6.2承受集中荷载P的简支梁如图所示，EI为常数，试求此梁的挠度方程和转角方程，并求最大挠度ymax（f）。解（1）求转角方程和挠度方程AC段：CB段：6.3用积分法求梁的变形（2）确定积分常数利用边界条件x1=0，y1=0；x2=l，y2=0变形连续条件6.3用积分法求梁的变形(3)求最大挠度设

;当x1=0时，；当时x1=a时，故在AC段内必存在的位置，即最大挠度f的位置。最大挠度6.3用积分法求梁的变形[讨论]当集中力P的作用点越靠近B支座，即b值越小或时，在这种极端情况下，最大挠度位置x1为：中点的挠度当集中力P作用于跨度中点时，

6.3用积分法求梁的变形（2）积分常数的物理意义上式表明，对于等截面梁（其抗弯刚度EI=常量），积分常数C等于梁坐标原点处的转角与抗弯刚度EI的乘积的负值。在x=0处

同理在x=0处积分式恒为零积分常数D等于梁在坐标原点处挠度与抗弯刚度EI乘积的负值。6.3用积分法求梁的变形由于坐标原点经常取在梁左端，故当左端为固定端时，恒有对于两端铰支或只有右端外伸的外伸梁，恒有6.3用积分法求梁的变形分为n段，则有：关于对挠曲线近似微分方程积分，若弯矩方程(1)将坐标原点取在梁的左端，各段梁的弯矩方程均由截面左端梁段的外力列出；(2)M(x)方程所含因子（x-a）的各项没有展开，而将（x-a）作自变量进行积分，则所得两段的积分常数必然对应相等，C1=C2，

D1=D2。同理，若弯矩方程分为n段，则挠曲线方程也相应地分为n段，这时出现的2n个积分常数，也必然存在······这样只需利用边界条件确定两个积分常数就可以了。6.3用积分法求梁的变形方法分解载荷分别计算位移求位移之和当梁上作用几个载荷时，任一横截面的总位移，等于各载荷单独作用时在该截面引起的位移的代数和或矢量和6.4用叠加方法求梁的变形理论依据上述微分方程的解，为下列微分方程解的组合（小变形,比例极限内）（小变形）叠加法适用条件：小变形，比例极限内6.4用叠加方法求梁的变形分解梁分别计算各梁段的变形在需求位移处引起的位移求总位移在分析某梁段的变形在需求位移处引起的位移时，其余梁段视为刚体6.4用叠加方法求梁的变形例

1q(x)=q0cos(px/2l)，利用叠加法求yB=?解：()()6.4用叠加方法求梁的变形例题6-3试按叠加法求出图所示梁中点C的挠度和支座处截面的转角。

6.4用叠加方法求梁的变形例

2解：()()()6.4用叠加方法求梁的变形例

3图示组合梁，EI=常数，求

yB

与qA()()解：6.4用叠加方法求梁的变形例

4图示刚架，求截面

C的铅垂位移解：6.4用叠加方法求梁的变形例题6-5图所示一个二跨连续梁（超静定梁）ABC，受均布荷载作用，试作它的剪力Q图和弯矩M图。变形协调条件为yB=0，建立补充方程6.4用叠加方法求梁的变形最大位移控制土建工程方面:机械制造工程方面，对主要的轴:6.5梁的刚度条件一、梁的刚度条件使用较小的截面面积

A，获得较大惯性矩

I

的截面形状。例如工字形与盒形等薄壁截面。横截面形状的合理选择梁的抗弯刚度：EI其中：I—惯性矩6.5梁的刚度条件二、梁的合理刚度设计对比计算：例：令矩形截面宽b=20cm，h=34cm，求当工字形截面与矩形截面具有相同惯性矩时，两者面积比。矩形：工字形：查型钢表选56a热轧工字钢，则即：节省80%材料6.5梁的刚度条件对比计算：例：令矩形截面宽b=40mm，h=77mm，若当工字形截面与矩形截面面积相同，比较两者的惯性矩。矩形：工字形：选18号热轧工字钢，则即：工字形截面I是矩形截面I的10.9倍6.5梁的刚度条件材料的合理选择为提高梁的抗弯刚度，宜选用E较高的材料注意：各种钢材（或各种铝合金）的

E

基本相同梁的抗弯刚度：EI其中：E—弹性模量6.5梁的刚度条件

梁跨度的合理选取跨度微小改变，将导致挠度显著改变例如:l

缩短

20％，ymax

将减少

48.8%6.5梁的刚度条件合理安排约束与加载方式q=F/l6.5梁的刚度条件例题6-6有一长度l=4m的悬臂梁，在自由端承受集中力P＝10kN（如图），试按强度条件及刚度条件从型钢表中选择一工字形截面。已知，。解（1）按强度条件选择截面选用20a号工字