第5章全同粒子及二次量子化

第5章全同粒子及二次量子化1§5.1全同粒子量子力学的特征之一是不能区分亚原子范围内的全同粒子.将一群具有相同质量、相同电荷、相同自旋,且在相同物理条件下具有相同物理行为的粒子称为全同粒子.2O图1:在质心系中观察粒子在O原子核上的散射D1D2(假设能量足够低!)3O图1a几率振幅f()D1D2令f()表示探测器放在角度上粒子散射到其中的几率振幅:4图1b几率振幅eif()OD1D2f()表示粒子散射到

()

角度上其中的几率振幅,或探测器在角度上探测到O原子的振幅.5若所用探测器既能对粒子也能对O原子做出反应,则在D1中探测到某种粒子的概率=|f()|2+|f()|26如果发生相互作用的是两个全同粒子,将会如何呢?7首先,这时,a,b两图的过程将不能分别;8其次,当我们交换两个粒子时,我们必须在振幅上乘以某个相位因子ei,而如果把两个粒子再交换一次,应该回到了第一个过程,故而ei=+1

或1即两个全同粒子交换前后的振幅要么具有相同的符号,要么具有相反的符号.这两种情况在自然界确实都存在!9原理5：描写全同粒子系统的态矢量,对于任意一对粒子的对调,是对称的或反对称的.服从前者的粒子称为玻色子,服从后者的粒子称为费米子.玻色子:如光子、介子和引力子;费米子:如电子、子、中微子、核子.10图2:在质心系中观察粒子对粒子的散射D1D211粒子到达D1的概率=|f()

+f()|2因为,此时(以粒子替代O原子),我们无法再区分图1a和图1b,且粒子对于置换是对称的,故而应为几率幅相加.He3+He4?复合粒子呢?12图3:在质心系中观察电子对电子的散射eeD1D213电子到达D1的概率=|f()

f()|2因为,电子对于置换是反对称的.14图4:在质心系中观察电子对电子的散射eeD1D215ee图4aD1D2ee16ee图4bD1D2ee17电子到达D1的概率=|f()|2

+

|f()|2图418§5.2N个全同粒子的状态在N个有自旋的粒子体系中,体系的波函数是4N个坐标的函数(3N个空间和N个自旋坐标):(1)19用Pij表示粒子i与粒子j间的置换算符,由于粒子全同,交换使得系统物理状态不变,即(2)其中,是任意常数因子.20如果对二个粒子再交换一次,则恢复到原有状态,故而(3)21(3)式意味着可以有两种粒子体系,对称波函数:(4)或者反对称波函数:(5)22交换简并考虑N个全同粒子,体系的Schrodinger

方程为(6)其中Hi(ri,si)作用于粒子i上.23如果粒子k的本征函数为(rk,sk),即单粒子本征值问题是(7)则(6)式的解是单粒子波函数之积(8)24如果有ni个粒子在态i中,则总能量的本征值为(9)由于粒子不可区分,不能指明某个粒子具体处于何态,故有种由单粒子波函数乘积形成的具有相同能量值E的(8)式.这就是所谓的交换简并.25对称波函数与反对称波函数对于玻色子,对称波函数由(8)式中全部可能的N!种单粒子波函数变量交换后的和构成,即(10)其中P为对换算符,这里假定单粒子波函数正交.26反对称波函数最好的表示形式是行列式---Slater行列式---它由N个单粒子波函数组成(11)27§5.3产生和湮灭算符上述有关全同粒子的对称性假设将不同种类的粒子的态限制为对称、或者反对称.这极大地简化了多粒子态理论,从而允许我们引进一种包含产生和湮灭算符的更简洁的理论形式,即所谓的二次量子化.这种形式将不限制于固定粒子数的系统,而是将粒子数作为一动力学变量处理.进而,这种理论形式可以较容易的推广到描述高能情况下粒子的产生和湮灭.28新的理论形式中,态空间(称之为Fock

空间)的正交基矢包括:真空或无粒子态；单粒子态的完备集,{

:(=1,2,3…)}；双粒子态的完备集{

}；三粒子态的完备集{

}；……这些完备集皆具有正确的置换对称性.29在坐标表象中,这些矢量将为:30一、费米子首先,由下列关系定义产生算符:(12)31这些矢量在置换时是反对称的,因此下面为了方便我们将称函数x为一轨道,而对于矢量则说被占据,同时其他轨道未被占据.如果轨道未被占据,则表示为:32方程(12)的无穷序列可总结为下述表达式(13)当然如果轨道已被占据,则因此Pauli不相容原理自动得到满足.于是(14)33产生算符C+由(13)、(14)式而完全被定义,而且其伴随算符C=(C+)+的性质也可从中推出：从(14)式,我们有(15c)(15a)(15b)34从(15)的三个关系式可以分别得到(16)(17)(18)(17),(18)(18),(16)(17),(18)35若令,从(17)及(18)式我们可以看出C|0与任意基矢正交,故而(19)36另外,由(18)令,可得C与任意轨道被占据的态正交;同时,由(16)C与,除了C=1,任意轨道未被占据的其它态正交.因此(20)37又由(16),(21)若在(17),(18)中(~),则知(22)38因此我们看到C的作用效果是:

如果

轨道被占据,则清空

轨道；如果

轨道未被占据,则结果为零.故而C被称作湮灭算符.综上,我们看到产生算符C†增加一个粒子于

轨道(如果它是空的),而湮灭算符从

轨道(如果它被占据)移走一个粒子;否则,结果为零.39算符方程对任意成立(23)(24)1.考虑算符C†

C†,402.考虑算符C†

C†+C†

C†,(25)(26)41考虑算符C

C†+C†

C

:3.若,则当轨道空、或

轨道已被占据,则上述算符作用结果必定为0.因此只需考虑其作用于~形式的态矢情况42若=,则分别考虑轨道被占据或空的情况:43(27)44容易验证,所有Fock基矢皆为算符C†

C的本征矢,更严格地,为其本征值为0(轨道空)、或为1(轨道被占据)的本征矢,因此C†

C的功能相当于轨道的占有数算符;而总粒子数算符是:(28)45基的变换上面已经对一特定的单粒子基函数的集合,C†(对应于函数x)定义了产生和湮灭算符.46现若作一基变换,则需要考虑新的产生和湮灭算符与原有的算符之间的关系.设bj†和bj为相应于基函数fjx的产生和湮灭算符,这里bj†j,fjx=xj.47两组函数集合{x}和{fjx}都既是完备的又是正交的,于是或等价的48新的产生和湮灭算符当然也必须(25),(26)及(27)式.上述要求经下面的线性变换都将得到满足:49作为例子,我们考虑如下的一组产生位置本征矢的算符应用上述结果,有50其中x=

x正是原有基函数在坐标表象中的表示,因此这些在空间某点产生和湮灭的新算符被称之为场算符(fieldoperators).积†(x)(x)称为数密度算符,而类似于(28)式的总粒子数算符等于51二、玻色子玻色子的Fock空间的基矢构建与费米子有诸多共同之处,只是现在多粒子态须是粒子置换下的对称态.这意味着轨道的多重占据是可能的了，如可以为三粒子的一对称态.因此,与在费米子情况中仅需指明被占据轨道相比,在玻色子情况中则还需指明占有度.52如果单粒子基矢由集合{:(=1,2,3…)}组成,则多玻色子态可表示为|n1,n2,n3,…,其中n

.53产生算符可根据下列性质定义:(29)54既然态矢是对称的,必定有:a†a†=a†

a†

.55利用在有关费米子的论述中相似的方法,可以知道,a=(a†)†

的作用相当于一湮灭算符,并有下述性质:(30)56类似地,定义轨道的数算符为a†

a

,因此,由关系(31)(32)57现在方程(29)中的正比因子可以确定如下,首先(33)作用以a并注意到(32)式,我们得再作用以a†

得(34)58另一方面上一方程的左边还可表示为:(35)比较(34)与(35),得59因此最终有(36)60从(32)、(36)我们导出以下对易关系(37)前已述及的另一关系式为(38)61与(25)、(26)及(27)式比较,我们看到费米子的产生、湮灭算符满足反对易关系,而玻色子的相应算符满足对易关系.62§5.4算符的二次量子化形式对于玻色子和费米子来说,用产生算符、湮灭算符表示动力学变量的形式在本质上是相同的,这里采用费米子来引入这一形式,因为它的反对易关系需要更加注意+、号.63n个全同粒子系统的力学量有几种类型,一种可以写成n个单体力学量Ri之和,如:动量动能外势一般的(39)64另一种类型可以写成n(n1)个双体力学量之和,如一对粒子的相互作用势能(xi,xj)等.当然更复杂的还有三体力学量,等.65上述的单体可相加算符可以利用产生、湮灭算符表示为(40)它的优点是无需涉及虚拟的粒子下标,也不依赖于粒子数.66下面证明(39)、(40)之间的等价性,这可通过它们对于任意一对n-体态矢具有相同矩阵元而得证:67首先,我们证明(40)对于基矢的变换不变,比如考虑另一基矢表示的相似的算符为利用前述基变换的相关结果我们得68既然(40)不依赖于基,则我们就可选择任意方便的基来证明(39)、(40)之间的等价性.这里我们选择新的基函数{|fk},它使得单粒子算符R1对角化:R1|fk=rk|fk,从而得在这个基中,算符R的对角矩阵元等于k(rknk),这里nk为轨道fk

的占有数,而非对角矩阵元为0.这显然与(39)的矩阵元相一致(假定粒子数确定knk=n)69下一个须要考虑的动力学变量形如:(41)70上述算符