第3部分三角函数与平面向量-专题六

【答案】 ∵α为第四象限角且sinα＝－5∴cos∴tanα＝sinα＝－5cos 1．(2014·课标Ⅰ，2，易)若tanα>0，则( A．sinα>0 B．cosα>0C．sin D．cossin【答案】 ∵tancos

即sinαcos∴2sinαcosα＝sin2α>0．－2．(2012·辽宁，6，易)已知sinα－cosα＝2，α∈(0，π)，则sin2α＝( 2．－2C.2

【答案】 ∵sinα－cosα＝∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcos∴2sinα·cosα＝－1，∴sin3．(2012·大纲，4，易)已知α为第二象限角，sin

3＝5

sin 【答案】

α＝－5，则sin2α＝2sinαcos ，14，易)已知

tanα＝2，则cos 2 【解析】α∈π，2及tanα＝2 sinα＝2cos5又sin2α＋cos2α＝1，∴cosα＝－5— 5—π5．(2014·陕西，13，中)0<θ2a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(1，－cosθ)a·b＝0tan 【解析】∵a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(1，－cosθ)∴sin∴2sinθcosπ∵0<θ<2∴cos∴2sinθ＝cos2∴tan2【答案】2考向 三角函数的有关概念及应 αα在内，可构成一个集合(1)360°＝2πrad；(2)180°＝ππ

rad；(4)1

＝π (2)

1＝1 l为扇形弧长，α为圆心角，rα是一个任意角，αP(与原点不重合)的坐标为(x，y)sinRcosRtan (1)(2014·大纲，2)已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos (2)(2012·山东，16)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆P 【解析】(1)∵角α的终边经过点(－4，3)，即 （－4）2＋32＝5，∴cosx＝－4 (2)如图，由题意知︵＝OB＝2π∴∠BAP＝2，故∠DAP＝2－2 ∴DA＝APcos2－2＝sin DP＝APsin2－2＝－cos ∴OC＝2－sin2，PC＝1－cos∴P＝(2－sin【答案】 (2)(2－sin2，1－cos【点拨】解题(1)的关键是正确理解三角函数的定义；解题(2)利用三角函数的定义求三角函数值的方法点的横坐标x；②纵坐标y；③该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终(2011·江西，14)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－255，则y＝ 【解析】P(4，y)是角θ终边上一点，由三角函数的定义知sin ，又sinθ＝－2 ＝－25

【答案】

考向 同角三角函数基本关系式及应(1)(2)商数关系：tanα＝sinα kπ，k∈Z α2 Z(1)(2013·大纲，2)已知α是第二象限角，sin

＝13

cos

(2)(2013·课标Ⅱ，15)设θ为第二象限角， sinθ＋cos tanθ＋4＝2， 【解析】(1)∵α为第二象限角，∴cos 1－sin2α＝－12，故选(2)方法一：tan

ππ

θ＋4－4 ∴sinθ＝－1cosθ，将其代入sin2θ＋cos2θ＝1，得 2θ＝1，∴cos2θ＝9，易知cos3∴cosθ＝－

9 10，sinθ＝10，故sinθ＋cosθ＝－

51＋tan 方法二：∵tanθ＋4 1－tan∴tan∵θ为第二象限角∴sinθ＝10，cosθ＝－3 5∴sinθ＋cosθ＝－5—【答案】 —【点拨】解题(1)α是第二象限角，而错选D；解题(2)的关键是通过变角求出tan同角三角函数基本关系式的应用技巧弦切互化法：主要利用公式tan

sin

cos和积转换法：如利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ

1＋

sin2α＋cos2α

tanα的值等于 02

＝422

2323 (2)(2012·

sinα＋cos若sinα－cos

＝2

tan 【答案】 方法一：∵sin2α＋cos

1又 0，2 ∴cos＝2∴sinα＝1－cos2α＝2sin∴tanα＝cosα＝方法二：∵sin2α＋cos

1 ∴cos2α＝

sinα＋cos

1＋tan又

tanα＝0，2 sinα＋cos【答案】

tan 21sinα－cosα＝tanα－＝212tanα∴tanα＝－3，∴tan 44

＝α考向 诱导公式及应—二三四五六角π2π2sin－sin－sinsincoscoscos－coscos－cossin－sintantan －tanπ

2的奇数倍和偶数倍π222的奇数倍 、余弦互变，如 2 α 0°～0°～360° ，4)已知

cos

2

π(2)(2014·江苏，5)y＝cosxy＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)3点，则φ的值 析】(1)因为 ＋α＝sin2π＋ 21 2n＋α＝cosα＝ π

(2)x＝3sin23＋φ＝2，解得3π＋φ＝6＋2kπ(k∈Z)或3π＋φ＝6 (k∈Z)φ＝－2＋2kπ(k∈Z)φ＝6＋2kπ(k∈Z)0≤φ<πφ＝6π【答案】 (2)【点拨】解题(1)的关键是熟记诱导公式；解题(2)φ利用诱导公式化简三角函数的思路和要求(2014·山东济南质检，13)设f(α)

1＋sin2α＋cos2＋α－sin22

－6（－2sinα）（－cosα）＋cos【解析】1＋sin2α＋sin2sinαcosα＋cos＝

cosα（1＋2sin1 12sin2α＋sin

sinα（1＋2sin tan -∴f-

6 --

6 ＝1＝

【答案

1．(2015·山东潍坊二模，5)集合αkπ＋4≤α≤kπ＋2 中的角所表示的范围(阴影部分)是 【答案】 当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋4≤α≤2nπ＋2，此时α表示的范围与4≤α≤2表 k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋4≤α≤2nπ＋π＋2α表示的范围与π4πα≤π＋22．(2015·云 模拟，4)已知 sinα

tan ∈2

＝5 【答案】 sinα2 ∴cos

tan 2tan

α∴tan α

32＝－7

3．(2015·福建福州一模，5)α是第二象限角，P(x，4)cos

【答案】 因为α是第二象限角，所以cos

1＜0x＜0.又cos

.－3，所以tanα

＝x＝－3 2 2

【答案】 设此扇形的半径为r，弧长为l，则2r＋l＝4，面积

1

－(r－1)2＋1，故当r＝1时S最大，这时l＝4－2r＝2.从而 5．(2015·湖南长沙联考)若sinα＋cosα＝7(0＜α＜π)，则tan

B. 【答案】 ∵sinα＋cosα＝71＋2sinαcosα＝49得sinαcosα＝－600＜α＜π，∴sinα＞0，cos∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcos∴sinα－cos∴sin cosα＝－5 5故tan5 【答案】 由题意知sinα

cos

sin

cos

cos(α＋β)＝cos

cosβ－sinαsin7．(2015·郑州一模，6)已知θ为第二象限角，sinθ，cosθ是关于x的方程2x2＋(m＝0(m∈R)的两根，则sinθ－cosθ等于 1－ 1＋ 3 D．－3【答案】 ∵sinθ，cosθ是方程2x2＋(3－1)x＋m＝0(m∈R)的两根1－ ∴sinθ＋cos sinθcos 2可得(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ，即2－

＝2∴m＝－2∵θ为第二象限角，∴sinθ＞0，cosθ＜0，即sinθ－cos3—∵(sinθ－cosθ)2＝(sinθ＋cosθ)2－4sinθ·cosθ＝4－2 3＋33—

2＋

＝ 2＋ 1＋∴sinθ－cos

＝ 1－1－2思路点拨：利用根与系数的关系表示出sinθ＋cos

，sinθcosθ＝2m的值，再利用完全平方公式求出sinθ－cosθ＋α8．(2015·河北石家庄一模，14)已知α为第二象限角，则cosα·1＋tan2α＋sin 1 ＋α ＝cosα ＋sinα αsinα＞0，cos|cos |sin所以cos ＋sinα cos

|cossin

|sin －cos sin【答案】

9．(2014·黄石质检，14)已知tanα＝2，

2 2的值

2

－sinα－cos

－tan

sinα－cosα

tanα－1

cos2 【答案】a≠0，a∈R.(1)m，n的值(a表示(2)βxOyOxA(m－1，n＋3)，求 β6 解：(1)f(x)＝－(x－1)2＋1＋a0≤x≤3，所以m＝f(1)＝1＋a，n＝f(3)＝a－3.(2)由题意知，角β终边经过点A(a，a)，当a>0时，r＝ a2＋a2＝2a，则sinβ＝a＝2，cosβ＝

＝

22＋2＋4所以sinβ＋6＝sinβcos6＋cosβ·sin6 -2当a<0时，r＝ a2＋a2＝－2a，则sinβ＝ ＝－2，-2-2cos -22＋4 2＋4所以sinβ＋6＝sinβcos6＋cosβ·sin6 2＋422＋42＋4综上所述，sinβ＋6 1．(2015·山东，4，易)要得到函数 －π的图象，只需将函数y＝sin4x的图象 3 3 A．向左平移12个单位B．向右平移12 C3个单位D3【答案】 因为

sin 3＝4－12 πy＝sin4x的图象向右平移126 6 【解析】y＝3sin6 当sin6x＋φ＝－1 ∴当sin6x＋φ＝1 【答案】π ，18，12分，易)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|2)0π2πxπ3050π(2)y＝f(x)6y＝g(x)y＝g(x)Oπ解：(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－6.数据补全如下表0π2πxππ30500 f(x)＝5sin2x6

，因此

－6

6 y＝sinx的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.2x＋6＝kπx＝2

y＝g(x)的图象的对称中心为2－12，0，k∈ZO最近的对称中心为 1．(2014·，3，易)为了得到函数y＝sin(x＋1)的图象，只需把函数y＝sinx的图象上所有的 1【答案】Ay＝sinx1个y＝sin(x＋1)的图象．π2．(2014·福建，7，易)y＝sinx2y＝f(x) πy＝f(x)x＝2y＝f(x)的图象关于点 －2

【答案】 将函数y＝sinx的图象向左平移2个单位后，得到函数y＝f(x)＝sin(x＋2)的图象f(x)＝cosx．由余弦函数的图象与性质知，f(x)2π，

π＋kπ，(k∈Z)0对称，关于点 03．(2013·课标Ⅰ，9，中)函数f(x)＝(1－cosx)sinx在[－π，π]的图象大致为 Cx∈(－π，0)时，sinx＜0，1－cosx＞0，f(x)＜0排除Asin(－π)＝0，sin0＝0sinπ＝01－cos0＝0f(x)的零点为－π0πf′(x)＝sin2x－cos2x＋cosf′(π)＝－2f(x)x＝π处切线的斜率为－2，排除DC.方法点拨：4．(2013·，6，中)将函数y＝3cosx＋sinx(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得ym的最小值是() B. D.π【答案】 由y＝3cosx＋sinx，得y＝2sin(x＋ ，其图象向左平移m(m>0)个单位后关于 x3＋m＝x＋kπ＋2，k∈Z，∴m＝kπ＋6π∴m65．(2012·浙江，6，中)把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( 【答案】 把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得＝cosx＋11y2＝cos(x＋1)＋11y3＝cos(x＋1)．令x＝0y3＞0.x＝2－1y3＝0.观察图象知，A6．(2013·福建，9，中)将函数f(x)＝sin(2x＋

φ(φ＞0)θ)2 200

，

φ的值可以是

2A. B. C. D.【答案】 由f(x)过点P，3，得sinθ＝02 02 ∵－2＜θ＜2，∴θ＝3

3 3平移后 3

3＝

π

k∈Z.验证选项知B3

2，∴3

π＋33

π＋3 7．(2011·江苏，9，中)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是 【解析】A＝2，4＝12－3＝4 又ω＝T，∴ω＝ππ2×333 φ＝3f(x)＝2sin2x ∴f(0)＝ 3＝【答案】2考向 利用三角函数图象求解析用五点法画x— 2ω－π—ω3π—2ω2πω－0π2π0A00y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈[0，＋∞))的物理意y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈[0，＋∞))表示一个振动量时，A叫作振幅

＝ω叫作周期，叫作频率，ωx＋φ叫作相位，φ叫作初相，ω ，5)y＝2sin(ωx＋φ)0 2 φ的值分别是 ππππ(2)(2014·重庆，13)将函数

0 2 π的一半，纵坐标不变，再向右平移y＝sinx

6 【解析】(1)由4T＝12＋3＝4得T＝πω＝π，即 又图象过点12，22sin212 ∴2×12＋φ＝2π∴φ＝－3 ∵－2<φ<2，∴φ＝－3π

(2)y＝sinx的图象向左平移6y＝sinx6y＝sinx6 2f(x)＝sinx＋22 22

6∴f＝sin6

＋＝sin4 62【答案】 (2)2【点拨】解题(1)的关键是求φ，把点的坐标代入解析式求出即可，注意φ本身的取值范围；解题(2)y＝sinxf(x)＝sin(ωx＋φ)已知图象求解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的方法 求A，B，已知函数的最大值M和最小值m，则A＝ ，B＝ 求ωTω＝Tφ(此时要注意交点在上升区间还是下降区间 “第一点”(即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的π“谷点”)ωx＋φ＝2φφ

0,

，y＝f(x)2 f 3A．2＋ 33C.3

D．2－【答案】 由图象可知

28－ 2∴2×8＋φ＝2 又|φ|2，∴φ＝4πf(0)＝1，∴Atan4

4 4∴f ＋＝tan3＝3 4

考向 三角函数的图象变换及其应y＝sinxy＝Asin(ωx＋φ)AA倍，简称为振幅变换；ω所起1倍，简称为周期变换；φω将函数图象左右平移ω(1)(2014·浙江，4)y＝sin3x＋cos3xy＝2cos3x象 A．向右平移12个单位B4 C．向左平移12个单位D4(2)(2014·，7)若将函数f(x)＝sin2x＋cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是( A. B. C. D.

【解析】(1)∵y＝sin3x＋cos3x＝2cos3x4 π＝ (2)f(x)＝sin2x＋cos2x＝2sin2x4φ y＝2sin2（x－φ）＋4 ＝2sin2x－2φ＋4 y轴对称，所以－2φ4＝2＋kπ，k∈Zφ＝－82，k∈Z，k＝－1时，φ小正值为8【答案】 【点拨】f(x)＝Asin(ωx＋φ)(1)

xy＝f(x)y＝f(x＋φ)φ>0，左移；φ<0yy＝f(x)y＝f(x)＋kk>0，上移；k<0(2)xy＝f(x)y＝f(ωx)时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的1yy＝f(x)y＝Af(x)时，点的横坐标不变，纵坐标变为原来的|A|π数 ＋π的图象重合，则 3 3 ，16，12分)f(x)＝sin

x3 x3 f(x)f(x)xy＝f(x)y＝sinxπ(1)【解析】y＝f(x)＝cos(2x＋φ)，将其向右平移2 fx－2＝cos2x－2 π π ＝sin2x＋φ－2 y＝sin2x3φ－2＝3＋2kπ(k∈Z)，φ＝2kπ＋6(k∈Z) φ＝6【答案 (2)解：①f(x)＝sin

＋

＋

2sin

2cos

2sin

2cos＝3sinx＋ x6＝－2＋2kπx＝－3＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取最小值－x x|x＝－3 y＝sinx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)y＝3sinxπy＝3sinx的图象上所有的点向左平移6y＝f(x)π1．(2015·山东师大附中一模，3)y＝sin(2x3)y＝sinx(x∈R)上所有的点 3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的2πB32 6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的2πD62π【答案】 y＝sinx向左平

x33个单位得 x31倍，纵坐标不变，得到函数 ＋π，故选3 32(2014·10)

【答案】

7π∵2＝12－12＝3 ∴T＝3，∴ω＝T

x＝12是函数单调增区间中的一个零点，∴312πφ＝－4

2

4 4由f 22＝－3A＝3 2

4＝3 4 2

＝3·cos－4 π 毫州一模，9)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，|φ|2)为了得到g(x)＝sin2x的图象，则只需将f(x)的图象 π6π向右平移12π6π向左平移12【答案】 由图象知

π

T＝π.

ω＝2.，4＝12－3＝4，所 ω＝π，所

φ)＝－1，即sin7π＋12

12

所以

6 6 π

6＋＝2 φ＝3＋2kπ，k∈Z，又因为|φ|<2φ＝3

3 3g(x)＝sin

2x－3＋3＝sin

2x63f(x)＝sin2x36g(x)＝sin2x π

A0,0,

22y＝f(x)的图象向右平移6个单位后，得到的图象的解析式为 A．y＝sin B．y＝cos

3

6【答案】 由图象知6

T＝π，∴ω＝2，由

12－6＝4

2×6π

|φ|23＋φ＝2⇒φ＝6⇒f(x)＝sin2x66 y＝sin －π，故选2－6＋6 6x x5．(2015·洛阳二模，8)已知

＋π，g(x)＝cos－π，则f(x)的图象 22 g(x22 g(x)yπ

2g(x)π2g(x)【答案】 因为g(x)＝cos－π＝cos(π－x)＝sinx，所以f(x)向右平移

x22 x22

4 4 4 4

x8 x8 2＋16 【答案】

5π

由图象可知2＝88＝2T＝ω＝π，所以

2，所以 8 2×8＋

π

4＋φ＝2＋2kπ，k∈Zφ＝4＋2kπ，y＝2sin2x4，故选 7．(2015·湖南衡阳调研，8)位置P(x，y)．若初始位置为P

P(t＝0)Py02，2，当秒针从 时间t的函数关系式为 6 －60t－6 －30t＋6 －30t－3 【答案】 设y＝sin(ωt＋φ)，由题意可得，sin

＝2

φ＝6，排除B，D.

ω sin8．(2014·江西宜春三模，8)定义行列式运算

＝a1a4－a2a3，将函数

向左平移n(n>0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为

cos A. B. C. D.【答案】 由题意可知f(x)＝3cosx－sinx＝2cos

f(x)n(n>0)x 6xxx

n＋

6为偶函数

f(x)据偶函数的性质确定n的值． ＋π在y轴右侧依次的三个交2 2的横坐标成等比数列，则b的值 【解析】213213 x2＝3b＝f3 —【答案 —210．(2015·福建漳州二模，17，12分)f(x)＝Acosωx(A＞0，ω＞0)π中△PQR为等腰直角三角形，∠PQR＝2，PR＝1.(1)f(x)(2)

x∈[0，10]解：(1)∴T＝2＝ω∵△PQR∴Qx轴的距离为 2∴f(x)＝1cos2(2)f(x)－1＝0，得cos ∴x＝2k＋1x＝2k＋5 x∈[0，10] 3 3 【答案】 由图象可知f(x)＝cos(ωx＋φ)的周期为2，所以ω＝2，解得ω＝π.由图象可知 最小值 【解析】f(x)＝sin2x＋sinxcos1－cos ＋2sin 2sin2x－2cos＝ 2sin(2x－43－3－2∴T＝2 【答案】

3－23．(2015·湖南，15，难)已知ω>0，在函数y＝2sinωx与y＝2cosωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝ 【解析】y＝2sinωxy＝2cosωxM，Ny轴，x轴的平行线交于点P.Rt△MNP中，|MN|＝2|MP|＝|yM－yN|＝2而

＝2【答案】24．(2015·，16，12分，中)已知函数f(x)＝(sinx＋cosx)2＋cos(1)f(x)(2)

在区间02 解：(1)f(x)＝sinx＋cosx＋2sinxcosx＋cos2x＝1＋sin2x＋cos2x＝2sin2x f(x)T＝2(2)由(1) f(x)＝2sin2x＋

x∈02时，2x＋4∈4，4 y＝sinx在4，4 2x4＝2x＝8时，f(x)取最大值 2x4＝4x＝2时，f(x)π综上，f(x)在[0，2]上的最大值为2＋1 ，15，13分，中)已知函数f(x)＝sin (1)f(x)

23sin(2)

解：(1)f(x)＝sinx＋3cosx－ ＝2sinx＋3－ f(x) (2)0≤x3，所以3≤x＋3 x3＝πx＝3时，f(x) f(x)在区间0，3

＝－3 1．(2014·陕西，2，易)函数f(x)＝cos πA. B．π

【答案】 π，故选＝2周期为6π，且当x＝2时，f(x)取得最大值，则 【答案】 由已知得ω∴ω

＝3.∵2sin×

1.又6 6 π∴φ＝3 3＋3 π

2≤3＋0，得f(x)的增区间为

π＋2π而

π－2

π＋2－2，2

22

y＝

－π4最小正周期为π的所有函数为 4A．①②③B．①③④C．②④

6

【答案】 对①，∵y＝cos|2x|＝cos对于②，∵y＝cosx∴y＝|cosx|的最小正周期为

2＝π，∴y＝cos|2x|的最小正周期为对于 ＋π的最小正周期为6 6

2

－π的最小正周期为 4 ＝4综上，①②③的最小周期为π，

＋π，则

4 4

4＋x

在02单调递增，其图象关于直线＝4 在02单调递增，其图象关于直线＝2 在02单调递减，其图象关于直线＝4 在02单调递减，其图象关于直线＝2 【答案】

4 44＝ ＋π＝2cos4

2 2所以 在0，2单调递减，其图象关于直 2对称 5．(2014·大纲，14，易)函数y＝cos2x＋2sinx的最大值 【解析】y＝1－2sin2x＋2sin ∵－1≤sin∴当sinx＝1 【答案】2＝2＝2

3sin2ωx－sinωxcosωx(ω＞0)，且y＝f(x)图象4ω

22解：(1)f(x)＝3－3sin2ωx－sinωxcos2＝3－3·1－cos2ωx－1sin ＝ 2cos2ωx－2sin ＝－sin2ωx－3 π∵图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4 又ω＞0，∴2ω＝4×4 知 当π≤x2时，3≤2x33 ∴－2≤sin2x－ ≤2≤2 3f(x)在区间π，2上的最大值和最小值分别为2 思路点拨：(1)先将f(x)化简为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，再利用“ ＝πω(2) x f(t)＝10－(1)求这一天上午8时的温度(2)求这一天的最大温差 解：(1)f(8)＝10－

＝10－3cos3－sin＝10－3×－1－ 故上午8时的温度为

π

(2)f(t)＝10－22cos12t＋ π0≤t<24，所以3≤12t＋3<3

3 t＝2 t＝14 f(t)在[0，24)12故这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4

考向 三角函数的单调y＝siny＝cosy＝tan在 －2＋2kπ，2 2 22kπ](k∈Z)上递 πkπ，在2＋ 2正切函数的图象是由直线x

2kπ(k∈Z隔开的无穷多支曲线组成，单调增区间是

π

4tan4

4 (1)(2012·课

4在2，π的取值范围是

(2)(2014·福建，18，12分)f(x)＝2cosx(sinx＋cos

4 4 f(x) 【思路导引 题(1)求出f(x)＝sinωx＋4的单调减区间，根据2，π是单调区间的子集求解； (2)x＝4代入函数f(x)中，即可求其函数值；②利用二倍角与辅助角公式化简函数后①x＝4代入求值；②

【解析】(1)由2＜x＜π，ω＞0，得2＋4＜ωx4＜ωπ4y＝sinx在2，2 2＋4≥2以 ωπ＋4≤2解得 2≤ω≤4，故选

(2)

4

4sin4＋cos4 ＝－2cos4 f(x)＝2sinxcos＝sin2x＋cos ＝2sin2x＋ T＝2＝π.2kπ2≤2x＋4≤2kπ2 kπ－8≤x≤kπ8 f(x)的单调递增区间为kπ－8，kπ 方法二：f(x)＝2sinxcos＝sin2x＋cos ＝2sin2x＋ ①f ＝4

4 π＝2sin4②T＝2 2kπ2≤2x＋4≤2kπ2 kπ－8≤x≤kπ8 f(x)的单调递增区间为kπ－8，kπ 1.三角函数单调区间的求法y＝Asin(ωx＋φ)y＝Acos(ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)y＝sinx＝cosxω③A＞0(A＜0)y＝sinx(x∈R)，y＝cosx(x∈R)的单调区间对应的不等式方π对于y＝Atan(ωxφ)(Aωφ为常数，其周期T＝|ω|，单调区间利用ωx ∈2＋kπ，2＋kπ，k∈Zx x2．ωω是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷． 函数 在区间 12在区间 12在区间 63 在区间 63 ，16，12分)f(x)＝4cos

x4(ω＞0)的最小正周期为ω

在区间

2【答案】 将函数 ＋π的图象向右平移

)33π

2π

2＋2kπ≤2x－32＋2kπ，k∈Z，所以12＋kπ≤x12即函数 －2π的单调递增区间为

3间

12

解：①f(x)＝4cosωx·sinωx4 ＝22sinωx·cosωx＋2＝2(sin2ωx＋cos2ωx)＋ ＝2sin2ωx＋4＋ f(x)的最小正周期为π

＝π ②由①知，f(x)＝2sin2x4＋ 0≤x2，则4≤2x＋44 当4≤2x＋4≤20≤x8时，f(x) 当2≤2x＋44，即8≤x≤2f(x) 综上可知，f(x)在08上单调递增，在8，2

考向 三角函数的值域及最y＝sinπx＝2＋2kπ(k∈Z)x＝2＋2kπ(k∈Z)y＝cosy＝tan ∈－2＋kπ，2 ∈－2 2＋ (1)(2014·课标Ⅱ，14)函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sinφcosx的最大值 ，16，13分)函数 ＋π的部分图象如图所示6 3sin2x 6f(x)x0，y0②求f(x)在区间 2 【思路导引】题(1)化简三角函数关系式，再根据正弦函数的有界性求最值；题(2)π的周期公式求出最小正周期，结合图象和解析式确定x0，y0，再由x的范围确定2x6f(x)【解析】(1)f(x)＝sinxcosφ＋cosxsinφ－2sinφcosx＝sinxcosφ－sinφcosx＝sin(x－φ)(2)①f(x)的最小正周期为x0＝6 π ②因为x∈－ ，所以2x＋6

2x6＝0x＝－12时，f(x) 2x6＝－2x＝－3时，f(x)求三角函数的值域(最值)的常见类型及方法y＝asinx＋bcosx＋cy＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝tt的二次函数求值域(最值y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋ct＝sinx±cosxt的二次函cosy＝sinx＋b(1)(2013·，6)函数

－π在区间 4 02．－ ．－

C.

(2)(2013·课标Ⅰ，16)设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cos π【答案】 ∵0≤x≤2 22∴－4≤2x－4≤422 由正弦函数y＝sinx图象可知，当 f(x)取得最小值为

4＝－4

－4＝－ 【解析】f(x)＝其中cosφ＝5，sinφ＝2 ∴f(θ)＝5，即π故θ－φ＝2π∴θ＝2 cosθ＝cos2＋2kπ＋φ＝－sin 5＝－25—【答案 2—5考向 三角函数的奇偶性、周期性、对称y＝siny＝cosy＝tan kπ＋2 Z 2 性πx＝kπ＋2π正(余)xx轴kπ kπ 函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝ω－ kπ

kπ

—，k∈Z，对称中心为ω

kπ

(1)(2012·大纲，3)若函数

3(φ∈[0，2π])是偶函数，则 A. B. C. D.

(2)(2012·课 ，9)已知ω>0，0<φ<π，直线x＝4和条相邻的对称轴，则

4f(x)＝sin(ωx＋φ) A. B. C. D.(3)(2014·，8)已知函数f(x)＝3sinωx＋cosωx(ω＞0)，x∈R.在曲线y＝f(x)与直线y＝1的π点中，若相邻交点距离的最小值为3，则f(x)的最小正周期为 A. B. C．π【思路导引】解题(1)的方法：f(x)＝sin(ωx＋φ) φ＝kπ2即可；解题(2)x＝4x＝4之间的距离是半个周期；解题(3)πy＝1y＝0ωx6ω

【解析】(1)2π]φ＝2

33＝kπ＋2φ＝3kπ＋2(k∈Z) (2)ω＝24－4

∴f4＝sin4＋φ＝±1.∵0＜φ＜π，∴4＜φ＋4＜4，∴φ＋4＝2，∴φ＝4

由题意得函数f(x)＝2sinωx6(ω＞0)，又曲线y＝f(x)与直线y＝1相邻交点距离的最小值是3

由正弦函数的图象知，ωx＋6＝6和ωx＋6＝6对应的x的值相差3， ＝3，解得ω＝2，所以的最小正周期是T＝ω【答案】 三角函数的奇偶数、周期性、对称性的处理方法πf(x)＝Asin(ωx＋φ)φ＝kπ(k∈Z)x＝0 ||＋φ)的形式，再应用公式T＝|ω|，T＝|ω|，T＝ω分别求解||＝Ain(＋φ)＝0或点(00f(0)的值进行判断．＋2cos(1)(2013·浙江，6)函数f(x)＝sinxcos＋2cos

的最小正周期和振幅分别是 (2)(2012·福建，8)

4 ＋2cos【答案】 ∵f(x)＝sinxcos＋2cos 3

＝2sin2x＋2cos2x＝sin2x＋3 ∴f(x)的最小正周期和振幅分别是π，1.【答案】 x4＝kπ＋2x＝－4

4，k∈Z.π方法二(验证法)：x＝4

0，不合题意，排除

2222 4

2

24＝，不合题意，排除

2 2

4＝－1，符合题意，Cx＝－

—4＝－

意，故D 东城二模，5)函数 ＋ 3 —＝2sin—

2A．π C. D.【答案】

1＋cos 3 3

＝2sin2x＋ 2＝2sin2x2cos2x＝sin2x3 T＝ω＝2＝π，故选 周口调研，5)函数 π(0≤x≤9)的最大值与最小值之差为 6－3A．2＋ D．2－ 【答案】 因为0≤x≤9，所以－3≤6－3≤6，因为当6－3＝2时

6－3

63＝－3

6－3

－3 因此 π(0≤x≤9)的最大值与最小值之差为2＋3，选6－3π 淮南二模，6)f(x)＝2msinx－ncosxx＝3f(x)n轴，则 32A.3 32

C．－23π3

D.π【答案】 若x＝3是函数f(x)图象的一条对称轴，则x＝3是函数f(x)的极值点2mcosx＋nsinx

m＋3

23 3 3 2 ，所以m＝－3

sin

＝a1a4－a2a3.

π

cos 1向左平移6个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心的是 4 B.2 【答案】 根据行列式的定义可知，f(x)＝sin2x－3cos

3π36

g(x)＝2sin

2sin

π，2＋6－3

g2

2×2

5.(2014·江南十校联考，10)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数①最小正周期为πf(x)6④f

11

13

3其中正确的是 【答案】 由图象可知

T＝π，①，4＝12－3＝4 ∵ω＝T，∴ω＝2212＋φ＝2kπ＋2，∴φ＝2kπ＋3

33

x6 x6π

3＋3

3

12f(x)f

11

12

13

f(x))

＋π图象上任意一点，其关于对称中心

3 6，0的对称点 在函数 ＋π的图象上3 3即f 3

3

＞0)π

6点的横坐标之差为2，则函数在[0，2π]上的零点个数 【解析】由已知得f(x)＝cosωx＋6的周期为π， ＝π，得 f(x)＝0时，2x6＝2＋kπ(k∈Z)x＝2＋6x∈[0，2π]f(x)4【答案】7．(2015·湖南岳阳一模，17，12分)f(x)＝cos(2x－π＋2sin2x3 2xf(x)当

f(x)34 解 ＋ 2cos 2sin 32cos2x＋2sin ＝

f(x) 2x3＝kπ＋2，k∈Zx＝2 (2)因为－3≤x≤4 所以－3≤2x＋36， 8．(2015·山东济南二模，16，12分)

π＋·cosπ－－sinxcos x3x(1)f(x)x3x(2)f(x)

cos

解：(1)∵f(x)＝cos3＋xcos3－x)－2sin

3 cos sinx(2cosx＋2sinx)－2sin 4cosx－4sinx－2sin1＋cos

3－3cos －2sin2(cos2x－sin ＝2cos2x＋ 2f(x)T＝π，函数f(x)的最大值为2π(2)2kπ－π≤2x4 kπ－8≤x≤kπ8f(x) kπ－8，kπ－ 9．(2014·滁州一模，16，12分)已知函数

(1)f(x)

2(2)

＋πx x

x x解：(1) T＝212－12 ω＝T Asin212 即sin6 0＜φ＜2，所以6＜6＋φ＜3，从而6＋φ＝πφ＝6又点(0，1)πAsin6＝1 f(x)f(x)＝2sin2x6

π

π 2sin2x－12＋6

＋6

＝2sin2x－2sin2x＋3sin＝2sin2xsin

cos＋cos ＝sin2x－3cos 由－2＋2kπ≤2x3≤2

g(x)的单调递增区间是－12＋kπ，12 (时间：90分钟分数：120分一、选择题(10550分 A．2π C. D. 【答案】 根据正切函数的周期公式可知最小正周期为ω

＝22．(2012·，7)要得到函数y＝cos(2x＋1)的图象，只要将函数y＝cos2x的图象( A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位 ．向左平移2个单位D．向右平移2【答案】

的图象向左平移233．(2014·陕西西安三模，2)点P从(2，0)点出发，沿圆x2＋y2＝4按逆时针方向运动3点，则点Q的坐标为( A．(－1，3) B．(－3，－1)C．(－1，－ D．(－

【答案】 设圆心为O，以OP为x轴建立直角坐标系，则

2＝3Q为

2cos3

，即(－1，3)．364．(2011·山东，3)若点(a，9)在函数y＝3x的图象上，则 63 B.3

3【答案】 由题意得3 ∴tan6＝tan3＝5．(2015·福建一模，3)已知角α的终边经过点P(m，4)，且cos

＝－5

m等于 【答案】 ∵cos αm＜0，则cos

m＝－3m＝3(舍去55＝ 的图象与原图象重合，则ω的最小值等于 3 3π【答案】 将

的图象向右平移3个单位长度后得 cosω－3

x－π＝cosωx，则－πω＝2kπ，ω＝－6k(k∈Z)ω>0ω6

3

π0332则 2 2

3π3【答案】 方法一：由题意知f(x)的一条对称轴为x＝3，和它相邻的一个对称中心为原点， f(x)的周期 ω＝3，从 π 方法二函数f(x)＝sinωx(ω>0)在区间 ＝3即

＝28．(2015·福建十校联考，7)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象如图所示，则f(x)的解析式及S＝f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2015)的值分别为(

＝2sin2πx＋1，S＝2B．f(x)＝1sin 2C．f(x)＝1sin

2＋1