第6章力系的简化

第6章力系的简化6.1力的平移定理6.2一般力系向某点的简化6.3一般力系的最简形式6.4特殊力系的简化

6.4.1平面力系的简化

6.4.2平行力系的简化作业6.16.36.56.104学时1在工程实际中，一个刚体的受力往往是比较复杂的，为了便于了解力系对刚体总的作用效应，常常要用一个简单的与之等效的力系进行替换，称为力系的简化。本章主要内容第6章力系的简化学习本章的意义力系的简化在研究刚体在力系作用下的平衡条件或运动规律时具有十分重要的意义。2第6章力系的简化§6.1

力的平移定理问题的提出：作用于同一刚体上的力是一个滑移矢量；作用于同一刚体上的力偶的力偶矩是一个自由矢量；力偶矩矢量可以在同一刚体内作任意的平移，都不会影响力偶对刚体的作用效应。那么，力矢量能否随意地平移呢？若不能，则需要附加什么条件，才能保证力矢量平移后对刚体的作用效应保持不变呢？下面就来研究这一问题。3力的平移定理若将作用于刚体上的力平移至同一刚体上不在力的作用线上的其他点，则必须增加一个附加力偶，其力偶矩等于原力对平移点之矩，这样才能保证对刚体的作用效应相同。或者说，原来作用于点A的力可以分解为作用于同一刚体上点O的一个力和作用于这个刚体上的一个力偶，而且作用于点O的这个力的力矢与原作用于点A的力的力矢相等，作用于刚体上的这个力偶的力偶矩等于原力对点O的矩。显然，这个力偶的力偶矩垂直于由点O与原力的作用线所作出的平面。4力的平移定理的逆定理当作用于刚体上某点O的某个力与作用于同一刚体的某个力偶的力偶矩垂直时，该力和力偶可以合成为一个力。

的力矢与相同，其作用线需将的作用线平移，平移的垂直方向为平移的垂直方向为平移的垂直距离为即力和力偶矩为的力偶可以合成为一个作用线过点B，其大小和方向与相同的合力，且5力螺旋的概念方向一致方向一致右手力螺旋左手力螺旋6§6.2

一般力系向某点的简化一般力系向某点简化作用于同一刚体上点上点O为刚体上任一确定点，根据力的平移定理，将力系中各力均向点O平移，得到共点力系作用于点O力偶系(6.1)(6.2)结论：一般力系可简化为过点O的一个力和力偶矩为的一个力偶。通常，称点O为力系的简化中心，而将以上过程称为一般力系向点O的简化。7力系的第一不变量将一般力系分别向刚体上任意的不同的两个确定的点O、A简化，得到(6.3)上式表明：力系的主矢与简化中心无关，称为力系的第一不变量。力系的第二不变量将一般力系分别向刚体上任意的不同的两个确定的点O、A简化，得到(6.4)(6.5)由力系对不同两点的主矩关系知8则(6.6)上式表明：力系的主矢与主矩的点积是不随简化中心的不同而改变的（此时主矩的矩心一般不写），将称为力系的第二不变量。9固定端约束的约束力的表示方法作为一般力系向某点简化理论的应用，可以说明固定端约束的约束力的表示方法。当物体的一端受到另一物体的固结作用，不允许它们在约束处发生任何相对平移和转动时，称这种约束为固定端约束。(a)(b)(c)(d)10平面一般力系悬臂梁若物体的一端不受其他物体的任何约束，则称该端为自由端。在工程实际中，将一端为固定端，另一端为自由端的梁（会发生弯曲变形的杆件）称为悬臂梁。平面固定端约束11§6.3

一般力系的最简形式空间一般力系向任一点O简化：空间一般力系向任一点O简化得到一个力和一个力偶。力的作用线过简化中心，其力偶的力偶矩与该力系对简化中心的主矩，即和的不同情况可分为以下几种情形：(1)平衡力系：力系为零力系，即平衡力系；(2)合力偶：力系可简化为一个力偶——合力偶，其力偶矩为；(3)合力：力系可简化为一个过简化中心的合力，其力矢与力系主矢相同；12作用线过点B力矢与力系主矢相同的合力。①力系的第二不变量(4)有两种情况：力系可进一步简化为“合力”：建立直角坐标系Oxyz，设为作用线任一点，则合力作用线方程为(6.7)或由得到(6.8)13当与反向，即②力系的第二不变量此时又分为两种情况此时力系不能进一步简化了。(a)力螺旋该力系由一个力和在与该力垂直平面内的一个力偶所组成，通常称之为力螺旋。右手力螺旋：当与同向，即(a)(b)左手力螺旋：力螺旋中力的作用线称为力螺旋的中心轴。不难证明，力螺旋可以与两个大小相等的异面力等效。力螺旋的举例：在工程实际中的力螺旋有许多应用，手拧螺钉，右手螺旋；飞机螺旋桨，左手螺旋。14(a)(b)与不平行：（沿主矢方向的分量）（垂直于方向的分量）设

的量纲为长度，且，称

为力螺旋参数。力螺旋参数是一个完全由力系的第一不变量和第二不变量确定的量，称为力系的第三不变量。(b)15显然，和过点O的一个力（）可进一步简化为作用线过点B的一个力，其力矢与相同，于是，力系简化为由力与力偶矩为的力偶组成的力螺旋。建立直角坐标系Oxyz，则该力螺旋的中心轴[设为其上任一点]方程为(6.9)或由，而得到(6.10)16空间一般力系的最简形式：综上所述，可归纳如下：一般力系的简化的最简形式主矢主矩第二不变量力系最简形式平衡合力偶合力合力力螺旋表明：

和完全确定了力系简化的最简形式，它们是力系的两个极其重要的特征量。17一般力系的合力矩定理假设某个一般力系可合成为一个合力，其作用线通过点C，根据力系的简化理论(6.11)(6.12)(6.13)(6.14)(6.15)(6.16)18若一个一般力系存在合力，则其合力对任一点的矩等于此力系各分力对该点的矩的矢量和。存在合力的一般力系，其合力对某轴的矩等于此力系各分力对该轴的矩的代数和。上式表明：以上性质称为一般力系的合力矩定理。19§6.4

特殊力系的简化平面力系平面力系是各力作用线均在同一平面内的力系。平行力系平行力系是各力作用线均平行的力系。空间平行力系平面平行力系6.4.1平面力系的简化平面力系向其作用面内任一点O简化的结果，取决于平面力系的简化是一般力系的简化的一种特殊情况。（必在平面力系的作用面内）（必垂直于平面力系的作用面）力系的对简化中心O的主矩力系的主矢平面力系的第二不变量这说明平面力系简化的最简形式只有平衡，合力偶和合力三种情形。20平面力系的合力作用线：当平面力系的第一不变量时，力系存在合力的非平衡情形。合力的力矢合力的作用线可用如下方法求得：(1)平面力矩(2)平面力矩的转向规定根据右手螺旋法则，若规定某一转向所对应的方向为平面力矩的正方向，平面力系中各力对点O的矩恒垂直于平面力系的作用平面，称它们为平面力矩。则对点O的矩用一个代数量来表示，大小为表示其转向与规定的正转向一致；表示其转向与规定的正转向相反。转向为于是21且使由至的转向与平面力矩所规定的正转向一致，若在平面力系的作用面内以简化中心O为原点建立坐标系Oxy，(6.17)(3)平面力系的合力作用线方程则合力作用线方程为226.4.2平行力系的简化平行力系：力系各力作用线都相互平行的力系为平行力系。平行力系的简化是一般力系简化的另一种特殊情形。平行力系的最简形式平行力系的主矢平行力系对空间任一确定点O的主矩(6.18)(6.19)(6.20)(6.21)上式表明：平行力系的第二不变量为零，平行力系的最简形式只有平衡、合力偶和合力三种情形。23平行力系的简化与平行力系的中心(1)平行力系的合力(2)平行力系的合力矩当平行力系的主矢时，该力系必存在合力，合力的力矢平行力系各力作用点相对于点O的矢径；平行力系合力作用线上任意一点C相对于点O的矢径，根据平行力系的合力对其作用线上的点C的矩为零及由力系的等效性质知，平行力系的合力的矩等于各分力的矩的矢量和，有(6.22)24(3)平行力系的中心若取力作用线的某一指向为正向，其单位矢量为，则(6.23)将上式代入式(6.22)得到(6.24)当平行力系的各力大小和作用点保持不变，但各力的作用线绕同向轴转过任意相同的角度后（体现在方向的任意性上），由式(6.24)可确定一个唯一的固定不变的点C，满足(6.25)这个固定不变的点C称为平行力系的中心。平行力系的中心相对于点O的矢径公式25(4)平行力系的中心的坐标公式(5)结论若在点O建立直角坐标系Oxyz，则平行力系的中心的坐标公式为(6.26)只要求得平行力系的中心位置，则平行力系的合力作用线的位置也就确定了。总之，若平行力系的主矢，则平行力系存在合力，且合力必过平行力系的中心，其力矢与相同。266.4.3平行力系的简化理论在工程中的两个应用(1)物体的重心、质心和形心计算物体的重心是平行力系简化在工程中的一个具体应用。物体的重力系是同向的平行力系，显然其主矢不为零，一定存在合力。物体的重力系的合力称为物体的重力，物体重力的中心称为物体的重心。①物体的重心整个物体所受的重力可等效于全部都集中在其重心上。物体重心矢径公式物体重心坐标公式：假设：为某一物体的体积；为该物体微元体的体积；为物体的密度；为重力加速度的大小；则微元体的质量为，微元体受到的重力的大小为。27有限大小的物体，其上各点处的重力加速度可以认为是相等的。则由式(6.25)、(6.26)可得物体重心矢径和坐标公式为(6.27)(6.28)②物体的质心和物质的形心通常，有限大小的物体的重心位置与重力加速度无关，它只是反映物体质量分布特征的一个几何点。物体质量分布的中心称为物体的质心。在均匀重力场中，物体的重心与质心重合。应该指出，质心单纯地由质量分布所决定，而重心只在重力场中才有意义。28当，即物体是均质时，式(6.27)、(6.28)可写为(6.29)(6.30)以上两式表明，均质物体的重心位置完全由物体的几何形状所决定，物体几何形状的中心称为物体的形心，对均质物体，其重心和形心重合。均质平板的重心矢径公式和其重心坐标公式：对于面积为A的均质平板，其重心矢径和坐标公式可分别写为(6.31)(6.32)对于工程中常见的等厚、均质薄壳，其厚度可看成趋于零，可用式(6.31)、(6.32)求重心的矢径和坐标。29均质细长杆的重心矢径公式和其重心坐标公式：对于长度为l的均质细长杆，其重心矢径和坐标公式可分别写为(6.33)(6.34)对于工程中常见的等截面均质细长线条物体，其横截面积可看成趋于零，可用式(6.33)、(6.34)求重心的矢径和坐标。工程中求均质物体重心的常用方法：任何物体的重心均可利用重心的积分公式求得。但在很多情况下，其积分运算比较麻烦，甚至是相当困难的。下面介绍工程中求均质物体重心的常用方法。①查表法工程中许多物体都具有简单的几何形状，其重心可通过工程手册直接查得。在本教材的P335~338的附录II列出了几种常见规则几何形状的均质物体的重心公式。30②对称性法凡是具有质量对称面、对称轴或对称点的物体，其重心必在对称