第3章 线性系统的时域分析partB

第3章

线性系统的时域分析广西大学电气工程学院内容提要1.什么是时域分析2.典型输入信号3.时域响应4.稳定性5.性能指标----暂态和稳态6.一阶系统、二阶系统7.高阶系统及其降阶

8.线性系统的稳态性能

9.根轨迹法10.零、极点分布对系统性能的影响稳态性能指标由于存在惯性，系统在外作用下要经历一段暂态过程。稳定的系统经过一段时间后就会进入稳态。控制系统的稳态精度是其重要的技术指标。稳态误差必须在允许范围之内，控制系统才有使用价值。在控制理论中，稳态误差是指由于系统结构造成的稳态响应的期望值与实际值之差，而不考虑元件因素造成的误差。稳态误差的定义一般定义误差为E(s)=R(s)–H(s)Y(s)。由于输入包括期望值和扰动，稳态误差可以分为给定稳态误差和扰动稳态误差两部分。一般不考虑噪声和扰动时，稳态误差就是指给定稳态误差。稳态误差的定义给定稳态误差传递函数扰动稳态误差传递函数其中稳态误差的定义计算稳态误差一般采用拉普拉斯变换的终值定理。总的稳态误差为其中没有扰动时的误差为扰动造成的误差为关于反馈环节再解释反馈的作用：在控制过程中对输出不断测量，并与给定进行比较，利用放大后的偏差产生控制作用，以减小或消除误差。为使反馈信号能准确地反映被控制量，应该只用比例环节作为反馈通道，通常为单位反馈或进行标度变换的转换函数。但有时为了将输出量的噪声抑制到输入端可接受的水平，则需在反馈通道中加入一定带宽的滤波器。系统类型开环传递函数事不过三，三次没办成的事情已超出了自己的能力。

系统分别称为0型、Ⅰ型、Ⅱ型系统。给定稳态误差对开环传递函数在没有扰动时，利用终值定理得误差为可见，系统的稳态误差取决于开环传递函数积分环节的个数、开环增益K、输入信号。终值定理成定的条件条件：sE(s)的收敛域包含s平面的整个右半平面，即sE(s)的极点除坐标原点外均位于s平面的左半平面。若不满足这个条件表明e(t)是不收敛的。例：开环传递函数是,输入是求稳态误差。不符合条件。实际上：0输入为单位阶跃信号时给定稳态误差输入为单位阶跃信号时，对于0型系统对于Ⅰ型系统对于Ⅱ型系统要减小/消除稳态误差，应增加开环积分环节和增加开环增益，但会降低系统的稳定性。输入为单位斜坡信号时给定稳态误差输入为单位斜坡信号时，对于0型系统对于Ⅰ型系统对于Ⅱ型系统要减小/消除稳态误差，应增加开环积分环节和增加开环增益，但会降低系统的稳定性。输入为单位抛物线信号时给定稳态误差输入为单位抛物线信号时，对于0型系统对于Ⅰ型系统对于Ⅱ型系统要减小/消除稳态误差，应增加开环积分环节和增加开环增益，但会降低系统的稳定性。课堂练习一下已知单位反馈系统的开环传递函数如下，求系统单位阶跃响应和单位斜坡响应的稳态误差。扰动稳态误差设且没有s=0的零点，即则输入为0时，扰动造成的稳态误差为扰动稳态误差如果扰动为单位阶跃信号，则如果控制器中含积分环节，则可见，必须在控制器中设置积分环节才可能消除扰动稳态误差。如果扰动为斜坡信号和加速度信号时又如何？例：求系统扰动稳态误差并比较比较下面两题的结果：a.设单位反馈系统中控制器和被控对象的传递函数分别为

b.设单位反馈系统中控制器和被控对象的传递函数分别为如扰动n(t)是单位阶跃函数和斜坡函数，试求系统扰动稳态误差。例：求系统扰动稳态误差并比较两种情况下开环传函一样但误差传递函数不一样扰动n(t)是单位阶跃函数时当扰动n(t)是斜坡函数时由此看出，如要使系统在承受斜坡形式扰动时的稳态误差为常量，控制器中必须有一个串联积分，仅在被控对象中有串联积分环节是达不到目的的。减小或消除稳态误差的措施闭环控制优于开环控制增大控制器开环增益，但要注意稳定性控制器设置积分环节，但不能太多采用串联控制抑制内回路扰动采用复合控制闭环控制优于开环控制(对象参数有变)开环系统闭环系统稳态误差在r(t)=1(t)时K=10，设Kp=1/KK=10，设Kp=100/K△K=1，△K/K=10%MATLAB数值结果Open_close_loop_compare.mdl增大控制器开环增益，但要注意稳定性r(t)=1.(t)时K=１时输入端定义的稳态误差K=0.1时K=100时输出端定义的稳态误差增大控制器开环增益，但要注意稳定性K=0.1,1和100时系统的仿真图如下K_enlarge.mdl控制器设置积分环节，但不能太多不加积分加一个积分加二个积分稳定稳定不稳定考虑无给定R是液阻、C是液槽横截面积仿真yewei.mdl采用串联控制抑制内回路扰动某串级直流电机控制系统方框图如图，分别是主、副调控器，为电机传递函数。等效变换采用串联控制抑制内回路扰动抑制扰动的能力可表示为主副均采用比例调节，增益分别为Kp1

和Kp2则主副总增益越大，则串级控制的抗干扰能力越强。一般Kp2>1,所以Kp1.Kp2>Kp1于是仿真比较cascade_control.mdl采用复合控制按照扰动补偿的复合控制系统：扰动作用下的输出为误差为E(s)=-Y(s),如果选择Gd1(s)=Gd2(s)/Gc(s),可使Y(s)=0,实现了对扰误差的全补偿。

仿真例fuhekz.mdl内容提要1.什么是时域分析2.典型输入信号3.时域响应4.稳定性5.性能指标----暂态和稳态6.一阶系统、二阶系统7.高阶系统及其降阶

8.线性系统的稳态性能

9.根轨迹法10.零、极点分布对系统性能的影响什么是根轨迹？控制系统的性能取决于系统闭环传递函数的零、极点。根轨迹法是根据开环传递函数的零、极点求解闭环传递函数极点的一种图解方法。例如，求如下系统的闭环传递函数极点：什么是根轨迹？闭环传递函数为极点为当K接近0时，S1=0，S2=-1，即开环极点。随着K的增大，S1减小，S2增大。当K增大到0.25时，S1=S2=－0.5。随着K增大，S1和S2变为共轭虚根，并且实部保持为－0.5。对于给定的K值，由根轨迹图可以大略估计闭环系统极点的位置，从而分析闭环系统的性能。什么是根轨迹？根轨迹是当开环系统某一参数（一般是根轨迹增益K1）从零变化到无穷大时，闭环系统特征方程的根在s平面上移动的轨迹。根轨迹方程反映了闭环零、极点与开环零、极点之间的关系。根轨迹增益根轨迹方程闭环特征方程为1+L(s)=0，即：上式可以用幅值条件和相角条件来表示：

如何绘制根轨迹相角条件用于确定s平面上一点是否在根轨迹上，是绘制根轨迹的依据。幅值条件用于计算根轨迹上的点所对应的K1值。K1>0是180˚根轨迹：根轨迹增益变化时，闭环系统特征根在s平面变化的轨迹称为常规根轨迹K1<0是0˚根轨迹。如何绘制180度根轨迹规则一：根轨迹有n条连续分支规则二：根轨迹始于开环极点，止于开环零点,有(n-m)条根轨迹终止于无穷远处规则三：根轨迹对称于实轴(利用这一规则，可只求一半)规则四：实轴上的某一段，若其右边的开环零点和开环极点总数为奇数，则该段实轴是根轨迹的一部分。为什么？如何绘制180度根轨迹续规则五：两支根轨迹在实轴或在平面上某处的交点方程为，sd为交点。利用该式可以进行近似计算将得到的根代入1+L(s)=0能够使K1>0便是分离点。除了确定分离点外，还有分离角,l是分支数如何绘制180度根轨迹续规则六：根轨迹与虚轴的交点可由代入特征方程求出或利用Routh判据求出规则七：当系统开环传递函数L(s)的分子、分母阶次差时，系统闭环极点之和等于系统开环极点之和且为常数。根轨迹向左和向右移动的总量和为0。为何？规则八：趋向无穷远处的(n-m)条根轨迹的渐近线与实轴的交角为渐近线汇交于实轴上的坐标为如何绘制180度根轨迹续规则九：根轨迹的出射角和入射角：其共轭极点的出射角为，其共轭零点的入射角为例：单位负反馈系统开环传递函数如下，试绘制系统根轨迹。例：单位负反馈系统开环传递函数如下，试绘制系统根轨迹。解：（1）有3条根轨迹分支。起点为极点0，-1，-2，终点为无穷远处。（2）实轴上的根轨迹为(-∞,-2]，[-1,0]。（3）根轨迹的交点满足以下方程由于交点在[-1,0]，因此sd=-0.42。例：单位负反馈系统开环传递函数如下，试绘制系统根轨迹。（4）与虚轴的交点。方法1：系统闭环特征方程为s3+3s2+2s+K1=0令s=i，则

-i3-

32+i2+K1=0令实部虚部分别为0，得到与虚轴的交点为例：单位负反馈系统开环传递函数如下，试绘制系统根轨迹。方法2：用Routh稳定判据。系统闭环特征方程为s3+3s2+2s+K1=0列出

Routh表

临界稳定状态时K1=6。辅助方程例：单位负反馈系统开环传递函数如下，试绘制系统根轨迹。（5）根轨迹的渐近线与实轴的交点为交角为用MATLAB实现根轨迹绘制draw_root_locus.m例：分离点没在坐标轴上的情况clfg=tf([1],[11060240720163228803840384025601023]);rlocus(g)手工绘制常规根轨迹的九条规则简记1.根轨迹的数量2.对称性和连续性3.根轨迹的起点和终点4.实轴上的根轨迹5.根轨迹的交点6.根轨迹与虚轴的交点7.根之和8.根轨迹的渐近线9.根轨迹的出射角与入射角(一般可以不用)你能画出开环传递函数为K1/s的闭环系统根轨迹吗？开环传递函数为K1/s的闭环系统根轨迹手画开环传递函数为K1/s的闭环系统根轨迹开环传递函数为K(S+1)/(s-2)2的闭环系统根轨迹手画开环传递函数为K(S+1)/(s-2)2的闭环系统根轨迹如何绘制0度根轨迹规则一、二、三同180度情况规则四：实轴上的某一段，若其右边的开环零点和开环极点总数为偶数，则该段实轴是根轨迹的一部分规则五同180度情况规则六同180度情况，但应注意此时的闭环特征方程与180度不一样规则七同180度情况如何绘制0度根轨迹续规则八：趋向无穷远处的(n-m)条根轨迹的渐近线与实轴的交角为交于实轴上的坐标为规则九：根轨迹的出射角和入射角：共轭出射角为共轭入射角为参数根轨迹根轨迹增益K1从零变化到无穷大时绘制的根轨迹称为常规根轨迹。除根轨迹增益K1以外的其它参量从零变化到无穷大时绘制的根轨迹，称为参数根轨迹。绘制参数根轨迹的方法是将系统闭环特征方程转换为常规根轨迹方程的形式。参数根轨迹【步骤】设变化参数为A，（1）列出闭环特征方程：1+L(s)=0；（2）解出参数A；（3）并进一步变换为；

（4）作出等效单位反馈系统的常规根轨迹。等效的开环传递函数为：例：绘制参数根轨迹解：闭环特征方程为

s3+2s2+s+b=0

变换为

b=-(s3+2s2+s)构造等效开环传递函数

单位反馈系统开环传递函数试概略绘制b=0∞时的根轨迹（1）系统有3条根轨迹，始于3个开环极点：0，-1，-1，均趋于无穷远处。

例：绘制参数根轨迹---续（3）解方程1/s+1/(s+1)+1/(s+1)=0，得到根轨迹的交点sd=-1/3。由幅值条件得到对应的b=4/27。（4）与虚轴交点。令s=i，代入系统闭环特征方程，即-i3-22+i+b=0（2）实轴上的根轨迹：[-∞,-1]，[-1,0]。（5）渐近线：例：绘制参数根轨迹---续（1）当0<b≤4/27时，闭环极点落在实轴上，系统阶跃响应为单调过程。（2）当4/27<b≤2时，一对复数闭环极点逐渐向虚轴靠近，系统阶跃响应为振荡收敛过程。（3）当b>2时，有闭环极点落在右半s平面，系统不稳定，阶跃响应振荡发散。滞后系统根轨迹单位负反馈的开环传递函数为特征多项式为幅值条件：

相角条件：幅值条件多了一因子沿纵轴而变化，且有无穷多条根轨迹。(这与时滞为无穷阶系统是一致的)

根灵敏度参数从标称值发生变化时，根轨迹的位置对参数变化的灵敏度。在量值上可以用隐式函数求导方式得到：内容提要1.什么是时域分析2.典型输入信号3.时域响应4.稳定性5.性能指标----暂态和稳态6.一阶系统、二阶系统7.高阶系统及其降阶

8.线性系统的稳态性能

9.根轨迹法10.零、极点分布对系统性能的影响闭环零、极点分布对系统性能的影响由对高阶系统的响应的分析，我们可以知：a.系统的稳定性只取决于闭环极点的位置。若闭环极点位于s平面的左半部分，则系统的暂态响应呈收敛性，系统必稳定，b.如果系统的极点均为负实数，而且无零点，则系统的暂态响应一定为非振荡的，响应时间主要取决于距离虚轴最近的极点。若其他极点距虚轴的距离比最近的极点大5倍以上，可以忽略前者对暂态过程的影响。闭环零、极点分布对系统性能的影响c.如果系统具有一对共轭复数主导极点(这一点必须事先确认是否符合主导极点存在条件)，则系统的暂态响应呈振荡性质，其超调量取决于主导极点的衰减指数，并与其他零极点接近原点或相互接近的程度有关，而调节时间主要取决于主导极点实部。d.如果系统中存在距离非常接近的闭环极点和零点，其相互距离比其本身的模小一个数量级以上，则把这一对闭环零、极点近似为偶极子。一般情况下，近似偶极子对系统暂态响应的影响可以忽略。但如果近似的偶极子位置接近坐标原点，其影响往往应考虑。但它们并不会影响主导极点的地位。闭环零、极点分布对系统性能的影响e.在有共轭复极点为主导极点的情况下，附加极点大小对系统的影响你能总结一下吗？增加一个极点（如图）其他极点的存在会增大系统阻尼，使响应速度减慢(峰值时间迟后)，超调量减少，调节时间减小；极点离虚轴越近,阻尼越大，超调量越小。事实上，将原系统传递函数附加的极点写成时间常数形式，将其看成一个惯性环节，时间常数越大，相当于增加了阻尼，极点离虚轴越近，从而从物理上得到解释。

闭环零、极点分布对系统性能的影响f.在有共轭复极点为主导极点的情况下,附加零点大小对系统的影响过阻尼欠阻尼其他零点的存在减小系统的阻尼，使响应速度加快(峰值时间提前)，超调量增加，调节时间也增加；零点离虚轴越近，阻尼越小，超调量越大。即使是过阻尼的系统，加入零点后，也可能有超调。

开环零、极点分布对根轨迹的影响与闭环系统性能附加开环极点对根轨迹的影响附加开环零点对根轨迹的影响附加开环偶极子对闭环根轨迹的影响出现开环零极点相消时的根轨迹分析需注意的问题附加开环极点对根轨迹的影响附加开环极点改变了实轴上根轨迹。开环极点的引入使根轨迹向右移动对系统的稳定性不利，系统的快速性变差，加入的极点越靠近原点，这种作用越强。附加开环零点对根轨迹的影响开环零点的引入使根轨迹向左移动，对系统的稳定性有利，零点越靠近原点，这种作用越强。若增加的开环零点和某个极点重合或距离很近时，构成偶极子，则二者作用相互抵消。可以通过加入开环零点的方法，抵消有损于系统性能的极点。课后MATLAB作业分析开环传递函数增加一个开环零点后,分几种情况讨论根轨迹的变化，得出相关结论。

附加开环偶极子对闭环根轨迹的影响由于开环偶极子中的零点zc与极点pc重合或相近，所以对s平面上某点提供的幅值与幅角相等或相近，即

开环偶极子不影响远处根轨迹形状以及相应点处的根增益,但可能影响根轨迹上各点开环比例系数(从上面的关系可以看出)，由此，原点附近的开环偶极子将影响系统的稳态误差，可以将选择zc/pc>5以上，改善稳态性能。出现开环零极点相消时的根轨迹分析需注意的问题分析两个闭环系统例子，一个H(s)在前向通道中，一个在反馈通道中：两者的开环传递函数经约分后相同，进行根轨迹分析，结论是什么？手工分析在K>0时均是稳定的

你求一下它们的闭环传递函数，如何？

出现开环零极点相消时的根轨迹分析需注意的问题—续开环存在开环零、极点对消的情况下，绘制系统根轨迹以及利用根轨迹判断系统稳定性的几点结论：当系统开环传递函数存在一对相等的开环零、极点时,在s平面存在点状根轨迹，不应将这一对开环零、极点对消掉。系统将始终存在一个不随参数变化而变化的闭环极点。若可对消的开环零极点分别是G(s)的极点与H(s)的零点，系统必不具有与点状根轨迹对应的闭环极点相对消的闭环零点，此时对系统判稳必须考虑点状根轨迹的影响．其他情况可以不考虑点状根轨迹。由于存在闭环零、极点对消时闭环传递函数不再是系统的完全描述，故此时系统的外部稳定性与内部稳定性可能是不一致的。系统时域分析综合例题根轨迹与性能指标主导极点与偶极子确定开环增益与闭环传递函数开环零极点增加与变化对闭环系统根的影响系统时域分析系统之例1例：单位反馈系统开环传递函数如下，（1）试确定系统在稳定欠阻尼状态下的开环增益K1

的范围。（2）计算阻尼比=0.5时的K1值以及相应的闭环极点，估算此时系统的暂态性能指标。（3）求在单位斜坡信号作用下的稳态误差。你有什么思路：用什么工具？题干中给出了什么信息？如何计算性能指标？解：（1）先画出系统的根轨迹。a.系统有3条根轨迹分支，均趋于无穷远处。b.实轴上的根轨迹为：[-∞,-2]，[-1,0]。c.根轨迹的交点满足1/s+1/(s+1)+1/(s+2)=0,即3s2+6s+2=0，解得sd=-0.42。代入根轨迹幅值条件|L(s)|=1得到K1=0.4。d.由1+L(i)=1得到根轨迹与虚轴的交点为s=1.4i，相应的K1=6。e.根轨迹的渐近线与实轴交点和夹角分别为σ=-1，θ=π/3,π,-π/3。根轨迹如右图示。从图中可以看出：稳定欠阻尼状态下的根轨迹增益的范围为0.4<K1<6。解：（2）=0.5，arccos=600。作等阻尼线OA，与根轨迹的交点就是一个闭环极点(共轭极点也可得到)。再计及闭环特征方程式联立成方程组便可求出

K1=1.04

ωn=2/3

λ3=-2.33（2）于是三个闭环特征根为：

λ1=-0.33+j0.58，

λ2=-0.33-j0.58，

λ3=-2.33在所求得的3个闭环极点中，λ1、λ2是主导极点，可用它们构成的二阶系统估算原三阶系统的性能。解：（3）原系统为Ⅰ型系统，系统的静态速度误差系数计算为系统在单位斜坡信号作用下的稳态误差为系统时域分析系统之例2例：设单位反馈系统的开环传函为求闭环系统具有阻尼比0.5的主导极点的具体位置，并求相应的速度误差系数Kv，欲使Kv=12，且系统的动态特性基本保持不变，如何引入开环偶极子？

未加入偶极子时的根轨迹绘制。主要是求分离点，采用近似求法：等阻尼线0.5与根轨迹的交点对应的特征根ch3_compresive_example_2.mk*=1.5206e+003poles=-19.4665-11.9828-1.275