郑州大学周小平绪论第1章

电磁场与电磁波

学习使我快乐绪论一、电磁场课程研究的内容电磁场理论是电磁学的后续课程电磁学：

电磁场：利用麦克斯韦方程组更深入地研究电磁现象的基本规律，介绍在实际问题中求解电磁场和电磁波问题的一些基本方法。

二、电磁场理论在专业课学习中的地位和作用

1、是一门重要的专业基础课①、所有的信息都是通过电磁场和电磁波传递的，因此必须掌握电磁场和电磁波的基本规律。②、是进一步学习一些后续课程的基础：微波技术、光纤通信、天线、电波传播、电磁兼容技术、射频电路设计……2、电磁场理论的研究与科学技术的发展

电磁场理论的研究在科学技术发展的过程中起着十分重要的作用。在国务院学位办编的《授予博士硕士学位和培养研究生的学科专业简介》中对电磁场与微波技术的表述：电子和信息领域内几乎所有重大技术进展都离不开电磁场和微波技术的突破。在通信、雷达、激光和光纤、遥感、卫星、微电子、高能技术、生物和医疗，几乎所有的高新技术领域中，电磁场和微波技术都起着关键的作用。①、一些重要的发现和发明都是以电磁场理论的研究为基础的。例：指南针、电话、电报、电动机、发电机……②、特别是无线电技术，完全是在电磁场理论研究的基础上发明、发展起来的：1864年，麦克斯韦（英）总结了前人研究的成果，提出了系统的电磁场理论，并预言了电磁波的存在。1888年，赫兹（德）通过实验证实了电磁波的存在。1895年，波波夫（俄）和马克尼（意大利）各自独立地实现了电磁波通讯试验，开始了无线电技术的新纪元。1876年，美国贝尔发明了电话，实现了电声通信。1831年，英国物理学家法拉第发现了电磁感应现象并提出电磁感应定律，制造出了世界上第一台发电机，并开创了人类应用电力的新纪元。

1865年，英国物理学家麦克斯韦在电磁学的三大实验定律（库仑定律、毕奥-沙伐定律和法拉第电磁感应定律）基础上，提出了位移电流的基本假设，归纳总结出麦克斯韦方程，奠定了宏观电磁理论的基础。麦克斯韦方程组给出了电磁场的空间分布和随时间变化的全部规律，预言了电磁波的存在。

这个预言于1888年被德国物理学家赫兹的实验结果所证实，从而导致无线电通信的发明，展现了电磁场与电磁波应用的广阔前景。

1895年，波波夫（俄）和马克尼（意大利）各自独立地实现了电磁波通讯试验，开始了无线电技术的新纪元。100多年以来，无线电技术取得了巨大的进步：

△器件：电子管→晶体管→集成电路→大规模集成电路

△波段：短波→超短波→微波光波

△模拟方式→数字方式

△固定使用→移动使用

当今世界，电子信息系统，不论是通信、雷达、广播、电视，还是导航、遥控遥测，都是通过电磁波传递信息来进行工作的。因此以宏观电磁理论为基础，电磁信息的传输和转换为核心的电磁场与电磁波工程技术将充分发挥其重要作用。下面以无线电通信系统为例来说明。接收机接收天线馈线导行波导行波发射机发射天线馈线

发射机末级回路产生的高频振荡电流经过馈线送到发射天线，通过发射天线将其转换成电磁波辐射出去；到了接收端，电磁波在接收天线上感生高频振荡电流，再经馈线将高频振荡电流送到接收机输入回路，这就完成了信息的传递。在这个过程中，经历了电磁波的传输、发射、传播、接收等过程。传输——导行电磁波发射和接收——天线

传播——入射、反射、透射、绕射一些常见的天线和馈线中、短波发射天线微波接力天线卡塞格仑天线MMDS-A型微波天线MMDS-C型微波天线对数周期天线矩形波导圆波导平行双线同轴线微带线

要掌握天线发射和接收电磁波的机理和性能，必须掌握电磁场与电磁波的基本理论和技术。要掌握电磁波传输的机理和性能，了解构成导波系统的元件和器件的性能，就必须掌握电磁场与电磁波的基本理论和技术。要掌握电磁波传播的机理和性能，了解电磁波在水下或地下如何传播，了解在地面站和卫星之间如何传播，就必须掌握电磁场与电磁波的基本理论和技术。总之，一切无线电工程系统，如前面提到的移动通信、卫星通信、雷达、电视、微波遥感……都包含许许多多电磁场与电磁波的基础理论问题，而且不断地对以电磁场与电磁波为基础理论的无线电技术、微波技术提出新的课题。因而电磁场与电磁波基础理论将始终发挥着重要作用，且不断扩充其应用领域。③、当前，电磁场理论在一些前沿学科，例如：光纤通信、

超导研究、电子对抗、电磁兼容、生物电磁学、环境

电磁学等领域中，仍起着十分重要的作用。

随着现代科学技术的发展，电子、电气系统获得越来越广泛的应用。运行中的电子、电气设备大多伴随着电磁能量的转换，使得高密度、宽频谱的电磁信息充满整个人类的生存空间，构成极其复杂的电磁环境，出现了电磁干扰和电磁污染，使电子系统受到严峻的挑战，人类生存受到威胁。人们面临的一个新问题就是如何提高电子系统在复杂电磁环境下正常运行的能力，如何改善人类生存环境。

在这样的背景下提出了电磁兼容的概念，逐渐形成了一门新学科——电磁兼容性（ElectromagneticCompatibility,简写为EMC）。电子系统的电磁兼容性的分析、计算、试验都要用到大量的电磁场理论知识，应用到电路的基础知识，甚至生物医学知识。可以说，电磁兼容学科是电磁场学科和其他相关学科相结合而形成的新学科。生物电磁学也是与电磁场相关联的一门新学科，它研究电磁场与生物系统的相互作用、相互影响的关系，电磁场与电磁波无疑是其讨论的理论依据。

电磁波作为人类的先驱，作为地球的使者率先访问了月球，然后才实现了人的登月。在人类目前尚不能进入的茫茫宇宙空间，将电磁波作为尖兵打头阵，为人们提供信息。电磁波也将作为科学发明的先驱，照亮科学与技术发展的前进道路！例1：电子对抗（电子战）⑴、定义：利用电磁能量、电磁频谱进行的军事对抗，包括：①、电子侦察，利用卫星、预警飞机②、电子攻击，电磁干扰、电磁脉冲武器(高能电磁脉冲)、石墨炸弹、激光武器……③、电子防护，抗干扰技术⑵、1991年海湾战争（美、伊拉克）①、电磁干扰：美军利用隐形飞机、巡航导弹首先摧毁了

伊军的指挥通信系统，利用电磁干扰飞机发射强大的

电磁干扰信号，覆盖了伊拉克军用通讯信号的整个频

段，使伊军的通信设备完全瘫痪了，萨达姆最后下达

的停火命令都是由美军传达的。②、隐身技术：利用电磁波吸收、散射(外形、涂料)……，使雷达接收不到回波信号。庞大的B－2B轰炸机的雷达截面仅和天空中的一个小鸟相当，以至于眼睛都看到飞机了，雷达还找不到。1997年我军在台湾海峡的军事演习首次演习了电子战，现在已经具备了进行电子战的能力。

抗干扰技术，怎样在强大的电磁干扰下保证通信的畅通：猝发通信、扩频通信、跳频通信……,海湾战争以后，电子对抗技术又有了很大的发展。

海湾战争以后，电子对抗技术在世界上引起很大的震动，我国也非常重视，投入很大的人力、物力进行研究。例2：电磁兼容⑴、随着科学技术的发展，越来越多的电子、电气设备进

入了我们生活和生产的各个领域，这些设备在正常运行的同时也向外辐射电磁能量，可能对其他设备产生不良的影响，甚至造成严重的危害,这就是电磁干扰。

据统计,全世界空间电磁能量平均每年增长7～14％。

在有限的空间和有限的频率资源条件下，由于各种电

子，电气设备的数量与日俱增，使用的密集程度越来

越大，电磁干扰的严重性也就越来越突出。实例1：电吹风对电视机的干扰，计算机对收音机的干扰。

B1轰炸机的机头上装有大量的电子设备，分离试验时这些设备都符合技术标准，把这些设备装上机头再测试，许多设备的性能大幅度下降，经过专家们大量的试验和分析，发现是由于这些设备之间相互的电磁干扰造成的。实例3：民兵Ⅰ导弹的飞行故障。

民兵Ⅰ导弹进行实弹飞行试验时，前两次都失败了，故障现象相似，都是在Ⅰ级发动机关机前炸毁了，炸毁前，用于制导的计算机都受到了脉冲干扰。经过分析和试验，发现故障是由于导弹飞行到一定高度时，在相互绝缘的弹头和弹体之间发生了静电放电，使导弹提前爆炸。实例2：美国研制B1轰炸机时电子设备之间的电磁干扰。

英国、阿根廷马尔维纳斯群岛战争中(1982年)，英国谢菲尔德号导弹驱逐舰上的雷达和通信系统互相干扰，为了确保通信不受干扰而暂时关闭了本舰雷达，导致没有及时发现来袭的飞鱼导弹，造成舰毁人亡的后果。实例5：广州白云机场的导航系统受到严重的干扰。

2002年1月20日,广州白云机场由于附近无线寻呼台发射机群信号的干扰（互调、带外辐射），迫使导航系统关闭通信扇面，导致大量的飞机在空中盘旋等待，使九十多架航班延误，6000多旅客滞留机场。美国航空无线电委员会(RTCA)也曾在一份文件中提到，一位旅客在飞机上使用调频收音机使飞机导航系统的指示偏离10°以上＊。实例4：英国谢菲尔德号导弹驱逐舰的惨剧⑵、电磁兼容的定义

采用一定的技术手段，使同一电磁环境中的各种电子、电气设备都能正常工作，并且不干扰其他设备的正常工作，这就是电磁兼容（英文：ElectromagneticCompatibility，缩写为EMC)。在国家标准GB/T4365-1995中对电磁兼容严格的定义是：设备或系统在其电磁环境中能正常工作且不对该环境中任何事物构成不能承受的电磁骚扰的能力。⑶、电磁兼容研究的内容

电磁兼容性学科研究的对象不仅限于各种电子、电气设备，而且包括各种电磁环境（自然电磁干扰、核电磁脉冲、静电放电、人为电磁辐射等）对人体的生态效应，信息处理设备因电磁泄漏造成的泄密等等＊

。

可以看出：许多新技术的产生和发展都与电磁理论的研究有关，有的专家指出：电磁场理论的研究是一个新技术的生长点。电磁兼容性涉及的领域十分广泛，通信、广播电视、科学仪器、信息设备、航空、航天、机车、舰船、电力、军工、医疗设备、计算机、家用电器等领域中都存在电磁干扰和电磁兼容性问题。3、电磁理论与电路的关系

我们专业的基础课和专业基础课可分为两大类：

与路有关的课程：电路分析、模拟电路、数字电路、高频电路，射频电路设计……

这两类课程都是研究电磁现象的，所用的方法不同：

与场有关的课程：电磁学、电磁场与电磁波、微波、天线、电波传播、电磁兼容技术……

场的方法：利用麦克斯韦方程组，在给定的边界条件和初始条件下，求解空间各点的电磁场量（E、B、W……)的变化规律（逐点研究某一系统中的电磁过程）。

路的方法：引入电压、电流、电阻、电容、电感等概念，在某些条件下，利用等效电路来研究一个系统的电磁现象,R、C、L等系数是由媒质的电磁参数（σ、ε、μ）确定的。例：①、在稳恒、低频的条件下（λ＞＞电路的尺寸，沿电路，电压、电流的幅度、相位处处相等），电路

中的电阻可用等效电阻代替，电场的能量都是集中在电容器中,磁场的能量都集中在电感器中，R、C、L都是集中系数——可用电路的方法（电路分析、模拟电路）（也可用场的方法）②、对一些高频、微波问题（λ与电路的尺寸L可比，或λ＜L），沿导线电感（如图），不能用集中的电阻器、电容器、电感器代替，称为分布电阻、分布电容、分布电感。可用分布系数电路*计算，而这些分布系数需要用场的方法计算——场和路的方法结合。

总之，“场”和“路”是研究电磁现象的两种方法，对我们系的同学来说，都应当很好的掌握。三、学习方法1、数学工具：微分、积分、矢量分析、微分方程、数学物理方程。①、显得理论性比较强；②、利用教学工具的能力在科研和工程设计中起着非常重要的作用，希望同学们在学习电磁场课的过程中，提高利用数学工具解决实际问题的能力。③、研究天线、电波传播、波导、谐振腔、光纤等问题，电

压、电流等概念失去了确切的意义，只能用场的方法。

①、复习性内容：大学物理中学过内容（在电磁场理论中也是很重要的内容），在本课程中不作为重点，但作为预备知识，要求熟悉，可参考大学物理教材复习。2、本书内容可分为几部分（把握重点）②、基本内容：电磁场课程中的基本概念、基本方法。③、阅读性内容：扩大知识面。④、第7章在微波技术课中讲，其它章也有一些小节不讲，以笔记为准，认真记笔记。3、评分方法

①、作业计入期末成绩（要求平时按时完成）10%

②、实验10%

③、期末考试80%课程网址：郑州大学主页－－教务在线－－精品课程

－－省级精品课程：电磁场与电磁波第1章矢量分析1、单位矢量eR

：只表示矢量的方向，大小是1。1.1矢量运算（参考高等数学书）点电荷场强表达式其中由源点指向场点。源点场点2、矢量加减法⑴、平行四边形法则（或三角形法则）矢量加减法可以用平行四边形法则如图1.1所示

（或三角形法则图1.2所示）⑵、分量式加减法也可以用分量分别相加减法，例如直角坐标系中两矢量分别为图1.1平行四边形法则图1.2三角形法则相加为两矢量的夹角两矢量的点积含义：一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，其结果是一标量。推论1：满足交换律推论2：满足分配律用矢量的三个分量表示为A·B=AxBx+AyBy+AzBz

3、两矢量的标量积（点乘，结果是标量,也称为点积、标积）：

A·B＝ABcosθ

（1.5

）

θ是A和B的夹角。4、两矢量的矢量积（叉乘、叉积、矢积，结果是矢量）：

A×B＝C（1.6

）

方向为：右手定则，该矢量垂直于原来两个矢量组成的平面;大小为含义：矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三者符合右手螺旋法则。推论1：不服从交换律：推论2：服从分配律：推论3：不服从结合律：5、两矢量的混合积:A

·(B×C)=B·(C×A)=C·(A×B）6、常用矢量变换式见附录3，会查会用在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下：xyzo两矢量的夹角

1.2空间矢量

空间任一点可用一个矢量表示，由原点指向该点。

r

、r’称为位置矢量。图1.3由原点指向场点的距离矢量1.3矢量场和标量场

场：如果在某一空间区域内的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，则称在此区域内确定了该物理量的一个场。换句话说，在某一空间区域中，物理量的无穷集合表示一种场。如在教室中温度的分布确定了一个温度场；在空间电位的分布确定了一个电位场。场的一个重要的属性是它占有一定空间，而且在该空间域内，除有限个点和表面外，其物理量应是处处连续的。若该物理量与时间无关，则该场称为静态场；若该物理量与时间有关，则该场称为动态场或称为时变场。

以电场为例：电场中每一点都可以定义一个电场强度矢量E1、E2…

(一一对应)，这些矢量的总和构成一个矢量场E(x,y,z），矢量场可以用场线表示，例如：电力线……

以电场为例：电场中每一点都可以定义一个电位U1、U2…（）,这些标量的总和构成一个标量场U(x,y,z

)，标量场可以用等值面表示，例如等位面U(x,y,z)＝常数。1、矢量场，

在许多物理系统中，其状态不仅需要确定其大小，同时还需确定它们的方向，这就需要用一个矢量来描述，因此称为矢量场，例如电场、磁场、流速场等等。2、标量场

在研究物理系统中温度、压力、密度等在一定空间的分布状态时，数学上只需用一个代数变量来描述，这些代数变量(即标量函数)所确定的场称为标量场，如温度场T(x,y,z)、电位场φ(x,y,z)等。1.4三种常用的正交坐标系1、直角坐标系直角坐标系中三个相互正交的单位矢量是、、，满足如下的关系

任一矢量A在直角坐标系中可以表示为直角坐标系中的位置矢量为与三个坐标方向相垂直的三个面积元分别为直角坐标系中的体积元为

图1.4直角坐标系中长度元、面积元、体积元微分线元为2、圆柱坐标系

圆柱坐标系中的三个坐标分量是r、φ、z，它们的变化范围分别是0≤r＜∞，0≤φ≤2π，－∞＜z

＜∞

空间任一点P的位置可以用圆柱坐标系中的三个变量(r,φ,z)来表示，如图所示。其中，r是位置矢量OP在xy面上的投影，φ是从+x轴到位置矢量OP在xy面上的投影之间圆柱坐标系三个互相垂直的坐标图1-4圆柱坐标系一点的投影2、圆柱坐标系的夹角，z是OP在z轴上的投影。由图1-4可以看出，圆柱坐标与直角坐标之间的关系为

圆柱坐标系中三个相互正交的单位矢量是、、，满足如下的关系（、不是常矢量，因为它们的方向随空间位置的变化而变化，或因为对于不同的点，、有不同的方向，这同直角坐标系不同

）

圆柱坐标系与直角坐标系之间的变换关系为或

图1.5圆柱坐标系中长度元、面积元、体积元直角坐标系中的单位矢量与圆柱坐标系中的单位矢量的换算关系：或而且（和是如何跟随变化的）直角坐标系中的矢量A可以利用下式换算为圆柱坐标系中的矢量

同样，可以利用（1.31）式中变换矩阵的逆矩阵把圆柱坐标系中的矢量A换算为直角坐标系中的矢量例题1.1将矢量变换到直角坐标系中。

解：利用（1.32）式可得

或再由（1.22）和（1.23）得

所以任一矢量A在圆柱坐标系中可以表示为

圆柱坐标系中的位置矢量为

其中不显含φ分量，已包含在的方向中。微分线元为

图1.5圆柱坐标系中长度元、面积元、体积元可以看出，在r、φ、z增加方向上的微分元分别为dr、rdφ、dz，如图1.5所示。如图1.5所示。圆柱坐标系中的体积元为圆柱坐标系中与三个坐标方向相垂直的三个面积元分别为球坐标系

球坐标系中的三个坐标分量是r、θ、φ，它们的变化范围分别是

0≤r＜∞，0≤θ≤π，0≤φ≤2π

球坐标系与直角坐标系之间的变换关系为

或球坐标系中三个相互正交的单位矢量是、、，满足如下的关系

直角坐标系中的单位矢量与球坐标系中的单位矢量的换算关系：

球坐标系中的单位矢量都不是常矢量：或

直角坐标系中的矢量A可以利用下式换算为球坐标系中的矢量

同样，可以利用上式中变换矩阵的逆矩阵把球坐标系中的矢量A换算为直角坐标系中的矢量

任一矢量A在球坐标系中可以表示为

球坐标系中的位置矢量为

图1.6球坐标系中长度元、面积元、体积元可以看出，在r、θ、φ增加方向

上的微分元分别为dr、rdθ、

rsinθdφ，如图1.6所示。微分线元为其中不显含θ分量和φ分量，已包含在的方向中。沿r、θ和φ方向的长度增量分别为dlr=dr,dlθ=rdθ,dlφ=rsinθdφ球坐标系中的体积元为球坐标系中与三个坐标方向

相垂直的三个面积元分别为

用矢量表示

的取法(指向)有两种情形:对开曲面上的面元,设这个开曲面是由封闭曲线l所围成的,则当选定绕行l的方向后,沿绕行方向按右手1.5矢量的微分1.5.1矢量场的散度，散度定理。1、矢量的通量面元矢量为其中是面元的单位法线矢量。面元大小与面元垂直的单位矢量图法线方向的取法开曲面上的面元螺旋的姆指方向就是的方向,如图a所示;

对封闭曲面上的面元,取为封闭面的外法线方向，如图b所示。闭曲面上的面元图

开曲面上

如果S是一个闭曲面，则如图1.7所示。图1.7矢量场穿过面元通量

因此矢量场A穿过整个曲面S的通量为2、矢量场的散度。⑴、穿过闭合曲面的通量及其物理意义如图1.8所示，在矢量场A中，围绕某一点P作一闭合曲面S，法线方向向外，则

若φ>0，则流出S面的通量大于流

入的通量，即通量由S面内向外扩散，

说明S面内有正源，如图1.9所示。

图1.8矢量场穿过闭合曲面S的通量图1.9通量由S面内向外扩散是矢量A穿过闭合曲面S的通量或发散量。这说明S内必定有矢量场的源;

若Φ=0，则流入S面的通量等于流出

的通量，说明S面内无源，如图1.8所示。

若Φ<0，则流入S面的通量大于流出

的通量，即通量向S面内汇集，说明S面内

有负源，如图1.10所示。图1.10通量向S面内汇集图1.8矢量场穿过闭合曲面S的通量说明电通量由S面内向外扩散说明电通量向S面内汇集⑵、散度的定义

在矢量场A中，设闭合曲面S包围的体积为ΔV，则为ΔV内的平均发散量，令ΔV→0，就得到矢量场在P点的发散量或散度，记作：divA或▽·A，即可以看出，矢量（场）的散度是一个标量（场）a.定义：矢量场中某点的通量密度称为该点的散度。=0(正源)•

A=0(负源)φ>0Φ<0Φ=0⑶、散度的表达式②、在圆柱坐标系和球坐标系中，P345

在圆柱坐标系中

在球坐标系中哈密顿算符为A散度3.散度定理（高斯定理）（证明P17）

矢量场A通过任一闭合曲面S的通量等于它所包围的体积V内A的散度的体积分，即：例：电场的高斯定理（积分形式）

利用散度定理，可以把面积分变为体积分，也可以把体积分变为面积分；可以把麦克斯韦方程组中电场的高斯定理和磁场的高斯定理由体积分形式写为微分形式。电场的高斯定理的微分形式穿过一封闭曲面的总通量等于矢量散度的体积分。例题1.2已知矢量，对中心在原点的一个单位立方体验证散度定理在直角坐标系中计算，▽·r(r)则有若在球坐标系里计算，则P244证明矢量场的散度与坐标的选择无关。解：由于在球坐标内，A(r)=r(r)＝err，r＝a的球面上各点的矢量为A(a)=

r(a)＝er

a，其大小处处相等，而球面上的面元矢量dS＝erdS，所以例题：矢量场A(r)＝r或r(x，y，z)，计算A(r)穿过一个球心在圆点，半径为a的球面的通量；并计算此矢量场的散度▽

·r(r)。r(a)＝eraA(r)＝er通量:1.5.2矢量场的旋度，斯托克斯定理1、矢量的环流：矢量场A沿闭合回路L的线积分称为环流。若ΓA≠0，则矢量场为涡旋场，场线是连续的闭合曲线。若ΓA＝0，

则矢量场A为无旋场，可以引入位的概念。所以

设有矢量场A，l为场中的一条封闭的有向曲线，定义矢量场A环绕闭合路径l的线积分为该矢量的环量场线是涡旋的场线是发散的2、矢量场的旋度⑴、定义：设闭合回路L所围的面积为△S，

其法线矢量n与L构成右手关系，则为矢量场A

在△S内沿n方向的平均涡旋量，令△S→0（△S

收缩成一个点P）就得到矢量场A在P点处沿n

方向的涡旋量该极限值与S

的形状无关，但与S的方向n有关。称为矢量场A在P

点沿n方向的环流密度这个极限的意义就是环流密度,或称环量强度。

由于面元是有方向的,它与封闭曲线l的绕行方向成右手螺旋关系,因此在给定点处,上述极限值对于不同的面元是不同的。

为此,引入如下定义,称为旋度(curl或rotation):

可见,矢量A的旋度是一个矢量,其大小是矢量A在给定点处的最大环流密度,其方向就是当面元的取向使环量面密度最大时,该面元矢量的方向。

它描述A在该点处的旋涡源强度。

若某区域中各点,称A为无旋场或保守场。旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。用表示。单位面积的环量矢量场与环路之间的夹角决定大小例：一导线载有电流I，在导线周围产生的磁场H，如图1.14所示,任取一环路L，∴旋度（单位面积的环量）是一个矢量，大小：P点处(rot)nA环量密度正的最大值；方向：P点处(rot)nA取正的最大值时的方向。图1.14载流导线的磁场环量密度矢量场与环路之间的夹角决定大小⑵、旋度的表达式：②、在圆柱坐标系和球坐标系中P345。3、斯托克斯定理：矢量场沿任意闭合回路上的环量等于以L为边界的曲面S上的旋度的积分。⑶、旋度的一个重要性质证明：在直角坐标系中矢量场旋度的散度恒为零,即旋度有两个重要的性质：（1）矢量场的旋度的散度恒为零，

（2）标量场的梯度的旋度恒为零，因为旋度代表单位面积的环量，因此矢量场在闭合曲线L上的环量等于闭合曲线L所包围曲面S上旋度的总和。例：磁场的环路定理：的环路定理(法拉第电磁感应定律)解：如图1.17所示，在球坐标系内，半球面上的面元矢量为dS

=err2

sinθdθdφ，在直角坐标系中，A的旋度为

例1.3(P22)：已知矢量场，对半球面验证斯托克斯定理。

半球面S的边界是xy平面内的圆x2

+y2

＝1，边界上的线元dl＝exdx＋eydy，沿边界的环流为

1.5.3标量场的梯度标量场的等值面标量场u(x,y,z)的等值面方程为图标量场的等值面

曲面上的各点,虽然坐标不同,但函数值相等.a.方向导数：空间变化率，称为方向导数。为最大的方向导数。b.梯度定义：标量场中某点梯度的大小为该点最大的方向导数，其方向为该点所在等值面的法线方向。数学表达式：1.5.3标量场的梯度，

例：对于电场，空间各点的电位

构成一个标量场，任选两个等位面

，

，如图1.18所示，可以看出沿不同的方梯度方向：指向标量增加率最大的方向(等值面的法线方向)。

梯度数值：该方向上标量的增加率。1、定义：标量（场）的梯度是一个矢量（场），表示某一

点处标量场的变化率，向，

的变化率不同，

为

增大方向等位面的法线矢量，为任意方向。可以看出：

图1.18电位的变化率2、梯度的表达式

（1）在直角坐标系中，因此沿

方向，

的变化率最大。根据定义电位

的梯度为（2）在圆柱坐标系和球坐标系中P3453、梯度的一个重要性质

根据这一性质，若一矢量场的旋度处处为0，则可以引入标量位。即▽×A＝0，A可以写为A＝－▽u1.6亥姆霍兹定理：时变电场、时变磁场：自己写