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文档简介

13.4

课题学习最短路径问题1、两点的所有连线中,线段最短(两点之间,线段最短.

)2、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短如图所示,从A地到B地有三条路可供选择,选哪条路最近?理由是什么?①②③

两点之间,线段最短(Ⅰ)两点在一条直线两侧已知:如图,A,B在直线L的两侧,在L上求一点P,使得PA+PB最小。

A..BP思考:为什么这样就能得到最短距离呢?根据:两点之间线段最短.如图,要在燃气管道L上修建一个泵站,分别向A、B两镇供气,泵站修在管道的什么地方,可使所用的输气管线最短?P所以泵站建在点P可使输气管线最短应用ABl

B′P

点P的位置即为所求.M

作法:①作点B关于直线l的对称点B′.

连接AB′,交直线l于点P.(Ⅱ)两点在一条直线同侧已知:如图,A、B在直线L的同一侧,在L上求一点,使得PA+PB最小.

为什么这样做就能得到最短距离呢?MA+MB′>PA+PB′即MA+MB>PA+PB

三角形任意两边之和大于第三边比一比,谁想的最快:问题1:相传,古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者,名叫海伦.有一天,一位将军专程拜访海伦,求教一个百思不得其解的问题:从图中的A地出发,到一条笔直的河边l饮马,然后到B地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短?BAl精通数学、物理学的海伦稍加思索,利用轴对称的知识回答了这个问题.这个问题后来被称为“将军饮马问题”.你能将这个问题抽象为数学问题吗?BAl将A,B两地抽象为两个点,将河l抽象为一条直线.B··Al运用新知练习如图,一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客,然后将游客送往河岸BC上,再返回P处,请画出旅游船的最短路径.ABCPQ山河岸大桥思考:运动路径中,哪一段路径是恒定不变的???运用新知基本思路:

由于两点之间线段最短,所以首先可连接PQ,线段PQ为旅游船最短路径中的必经线路.将河岸抽象为一条直线BC,这样问题就转化为“点P,Q在直线BC的同侧,如何在BC上找到一点R,使PR与QR的和最小”.ABCPQ山河岸大桥两点在一条河两侧例5.如图:古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡B,A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥建在何处才能使将军从A到B的路径AMNB最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)BA(二)造桥选址问题思维分析BA

如图假定任选位置造桥MN,连接AM和BN,从A到B的路径是AM+MN+BN,那么怎样确定什么情况下最短呢?MN

我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢?什么图形变换能帮助我们呢?思维火花各抒己见1、把A平移到岸边.2、把B平移到岸边.3、把桥平移到和A相连.4、把桥平移到和B相连.BAMN上述方法都能做到使AM+MN+BN不变呢?请检验.合作与交流1、2两种方法改变了.怎样调整呢?把A或B分别向下或上平移一个桥长那么怎样确定桥的位置呢?问题解决BAA1MN如图,平移A到A1,使AA1等于河宽,连接A1B交河岸于N作桥MN,此时路径AM+MN+BN最短.理由;另任作桥M1N1,连接AM1,BN1,A1N1.N1M1由平移性质可知,AM=A1N,AA1=MN=M1N1,AM1=A1N1.AM+MN+BN转化为AA1+A1B,而AM1+M1N1+BN1转化为AA1+A1N1+BN1.在△A1N1B中,由线段公理知A1N1+BN1>A1B因此AM1+M1N1+BN1>AM+MN+BN1.某班举行晚会,桌子摆成两直条(如图中的AO,BO),AO桌面上摆满了桔子,OB桌面上摆满了糖果,坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果,然后回到座位,请你帮助他设计一条行走路线,使其所走的总路程最短?作法:1.作点C关于直线

OA

的对称点点D,

作点C关于直线

OB的对称点点E3.连接DE分别交直线OA.OB于点M.N,则CM+MN+CN最短AOBC.

.EDMNGH2.如图:C为马厩,D为帐篷,牧马人某一天要从马厩牵出马,先到草地边AO某一处牧马,再到河边BO饮马,然后回到帐篷,请你帮他确定这一天的最短路线。作法:1.作点C关于直线

OA

的对称点点F2.作点D关于直线

OB

的对称点点E

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