自动控制原理第七章-1

宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。书到用时方恨少，事到经过才知难。板凳要坐十年冷，文章不写一句空。

——《警示贤文》

2/1/20231第七章线性离散系统的分析7.1引言7.2信号的采样与保持7.3z变换理论7.4脉冲传递函数7.5离散系统的稳定性和稳态误差7.6离散系统的动态性能分析7.7离散系统的数字校正2/1/20232自动控制原理》

第七章离散系统7.1引言1.什么是离散系统？依据系统中的信号形式分类：连续时间(continuous-time)系统：所有信号都是时间变量的连续函数离散时间(discrete-time)系统：某些信号是一串脉冲或数码采样控制(sampled-datacontrol)系统：离散信号是脉冲序列数字控制(digitalcontrol)系统：离散信号是数字序列2/1/20233自动控制原理》

第七章离散系统连续信号：定义在连续时间上的信号。离散信号：定义在离散时间点或段上的信号。离散模拟信号：时间上是离散的，幅值上是连续的脉冲序列离散数字信号：时间上是离散的，幅值上是离散的数字序列

连续系统：其中的所有变量在时间和幅值上都是连续的离散系统：其中的一个或多个变量在时间上是不连续的离散系统的两种情况：（1）实际系统/变量是离散的，如：人口数量，汽车产量（2）实际系统/变量是连续的====》离散系统连续系统离散化又称采样系统2/1/20234自动控制原理》

第七章离散系统

2.为什么要研究离散系统？科技进步，数字控制器逐步取代模拟控制器：脉冲技术数字式元部件数字计算机微处理器学习离散系统分析设计方法的目的：用于计算机控制系统的分析、设计。2/1/20235自动控制原理》

第七章离散系统数字控制的优势：由数字计算机构成的数字校正装置比连续装置易于实现，且由软件实现的控制规律易于改变，控制灵活；采用高灵敏度的控制元件，可提高控制精度；采样信号，特别是数字信号的传递可以有效地抑制噪声，提高了系统的抗干扰能力，信号传递和转换精度高；采样的引入使得大延时控制系统的稳定得以改善。计算机在控制精度、速度、性价比方面的优越性；计算机具有很好的通用性，可以方便改变控制规律。直接数字控制发展到计算机分布控制；对单一生产过程进行控制到实现整个工业过程的控制；从简单的控制规律发展到更高级的优化控制、自适应控制等。2/1/20236自动控制原理》

第七章离散系统数字控制的代价：采样点间的信息损失，带来量化误差和量化噪声。需要增加A/D、D/A等转换装置或部件。与连续系统相比稳定性变差动态性能会有所损失2/1/20237自动控制原理》

第七章离散系统研究思路：描述--分析--设计分析与设计基础:离散系统理论

采样与保持

z变换理论（数学工具）脉冲传递函数2/1/20238自动控制原理》

第七章离散系统3.采样控制系统

其特征是系统中有一处或多处采样开关，如下图所示。采样开关后的信号就不是连续的模拟信号，而是在时间上离散的脉冲序列，称为离散信号。(e是连续的误差信号，经采样开关后，变成一组脉冲序列e*，脉冲控制器对e*进行某种运算，产生控制信号脉冲序列，保持器将采样信号变成模拟信号，作用于被控对象。)采样的方式是多样的，例如周期采样、多速率采样、随机采样等，本章只讨论周期采样。

图7-1采样控制系统2/1/20239自动控制原理》

第七章离散系统4.数字控制系统

以数字计算机为控制器去控制具有连续工作状态的被控对象的闭环控制系统。采样开关的功能是通过计算机程序来实现的。模拟信号经A/D转换后，不仅在时间上离散，在幅值上也是离散的，称为数字信号。

图7-2数字控制系统2/1/202310自动控制原理》

第七章离散系统2/1/202311自动控制原理》

第七章离散系统7.2信号的采样与保持7.2.1采样过程把连续信号变换为脉冲序列的装置称为采样器，又叫采样开关。采样过程可以用一个周期性闭合的采样开关S

来表示，如下图所示。采样开关每隔T秒闭合一次，闭合的持续时间为τ。2/1/202312自动控制原理》

第七章离散系统理想采样器：采样开关的闭合时间τ=0。物理意义：可以看成是单位理想脉冲串T(t)被输入信号e(t)进行调制的过程，如图所示。图（d）中，e(t)为调制信号，T(t)为载波信号，e*(t)为理想输出脉冲序列（调制波）。图7-4理想采样过程2/1/202313自动控制原理》

第七章离散系统采样开关的周期性动作相当于产生一串理想脉冲序列（图b）输入模拟信号经过理想采样器的过程，相当于e(t)调制在载波T(t)上的结果（图c）因为只在采样瞬间t=nT

才有意义，故上式可写成2/1/202314自动控制原理》

第七章离散系统7.2.2保持器连续信号经过采样器后转换成离散信号，经由脉冲控制器处理后仍然是离散信号，而采样控制系统的连续部分只能接收连续信号，因此需要保持器来将离散信号转换为连续信号。最简单同时也是工程上应用最广的保持器是零阶保持器，这是一种采用恒值外推规律的保持器。它把前一采样时刻的值不增不减地保持到下一个采样时刻，其输入信号和输出信号的关系如下图所示。

图7-5零阶保持器的输入和输出信号2/1/202315自动控制原理》

第七章离散系统零阶保持器的单位脉冲响应如下图所示，可表示为

上式的拉氏变换式为图7-6零阶保持器的单位脉冲响应2/1/202316自动控制原理》

第七章离散系统令上式中的s＝jω

，可求得零阶保持器的频率特性

2/1/202317自动控制原理》

第七章离散系统零阶保持器T=0.4T=0.8T=0.2T=32/1/202318自动控制原理》

第七章离散系统零阶保持器的几点说明：幅值随角频率ω

的增大而衰减，具有明显的低通特性除了主频谱外，还存在一些高频分量产生相角滞后，使闭环系统稳定性变差输出信号为阶梯信号，产生半周期的时间滞后输出信号为阶梯信号同时增加系统输出纹波2/1/202319自动控制原理》

第七章离散系统问题的提出连续信号e(t)经过采样后，只能给出采样点上的数值，不能知道各采样时刻之间的数值。从时域上看，采样过程损失了e(t)所含的信息。采样信号的信息并不等于连续信号的全部信息，怎样才能从采样信号中不失真地复现原来的连续信号，使采样信号e*(t)反映e(t)的变化规律呢？7.2.3香农采样定理

(samplingtheorem,C.E.Shannon,1948)

--设计离散控制系统必须严格遵守的准则(a)连续信号te(t)(b)离散信号te(t)2/1/202320自动控制原理》

第七章离散系统信号频谱：连续信号：单一频谱，ωm为频谱中的最大角频率采样信号：以采样角频率s为周期的无穷多个频谱之和连续信号e(t)经傅氏变换获得单一有限带宽的连续频谱|E(jw)|定性分析：如果连续信号e(t)变化缓慢（最大角频率max较低），而采样角频率s比较高（即采样周期T=2/s较小），则e*(t)基本上能反映e(t)的变化规律。图7-8连续信号频谱图7-9采样信号频谱连续信号2/1/202321自动控制原理》

第七章离散系统采样信号的频谱δT(t)=ωs=2π/T为采样角频率,Cn是傅氏系数,其值为：δT(t)=连续信号的频谱为采样信号的频谱为ωm-ωm0ωm-ωm0ωs2ωs3ωs-3ωs-2ωs-ωsωm-ωm0ωs-ωsωm-ωm0ωs2ωs3ωs-3ωs-2ωs-ωsωs

=2ωm滤波器的宽度满足什么条件时能从得到??!ωs

≥2ωm或：T≤π/ωm2/1/202322自动控制原理》

第七章离散系统（香农）采样定理:

如果被采样的连续信号e(t)的频谱为有限宽，且频谱的最大宽度为ωm

，又如果采样角频率满足ωs

≧2ωm

，并且采样后再加理想滤波器，则连续信号可以不失真地恢复出来。此时，采样频谱各分量无相互交叠，采样信号无畸变，可通过理想滤波器（保持器）复现原频谱。理想的低通滤波器在物理上是不可实现的，在实际应用中只能用非理想的低通滤波器来代替理想的低通滤波器。图7-10理想滤波器的频率特性2/1/202323自动控制原理》

第七章离散系统如果不能满足上述采样条件，采样后信号的频率就会重叠，即高于采样频率ωs一半的频率成分将被重建成低于采样频率一半的信号。这种频谱的重叠导致的失真称为混叠，而重建出来的信号称为原信号的混叠替身，因为这两个信号有同样的样本值。2/1/202324自动控制原理》

第七章离散系统7.3z变换理论7.3.1z变换的定义连续函数f(t)的拉氏变换为设

f(t)的采样信号为

f*(t)对上式进行Laplace变换，得2/1/202325自动控制原理》

第七章离散系统引入新的变量z=eTs采样信号

f*(t)

的

z

变换定义为：z

变换的实质为采样函数的拉氏变换Z[f(t)]是为了书写方便，并不意味着是连续函数f(t)的z变换F(z)和f*(t)

是一一对应的

2/1/202326自动控制原理》

第七章离散系统7.3.2z变换的性质其中a1和a2为任意实数。1.线性定理若f1*

(t)和f2*(t)的z变换分别为F1(z)和F2(z)，则2/1/202327自动控制原理》

第七章离散系统证明：2/1/202328自动控制原理》

第七章离散系统2.实数位移定理若f*(t)的z变换为F(z)，则2/1/202329自动控制原理》

第七章离散系统证明:2/1/202330自动控制原理》

第七章离散系统实数位移定理又称平移定理。实数位移的含义是指整个采样序列在时间轴上左右平移若干个采样周期，其中向左平移称为超前，向右平移称为迟后（即时延、滞后）。第一个和第二个式子分别称为迟后定理和超前定理算子z有明确的物理意义：z-k

代表时域中的滞后环节，它将采样信号滞后k个周期zk

代表时域中的超前环节，它将采样信号超前k个周期zk

仅用于运算，在物理系统中并不存在。2/1/202331自动控制原理》

第七章离散系统3.复位移定理已知f(kT)的z变换函数为

F(z)，则证明：2/1/202332自动控制原理》

第七章离散系统4.初值定理设

存在，则

当z→∞

时，对上式取极限后，右边除第一项外，其余各项均趋于0。证明：2/1/202333自动控制原理》

第七章离散系统5.终值定理如果f(t)的z变换为F(z)，f(nT)(n=0,1,2…)为有限值，且极限存在，则证明：由实数移位定理和上面两式相减并取极限z→1，得2/1/202334自动控制原理》

第七章离散系统6.卷积定理如果，则证明：令k-n=j，则k=0时，j=-n

2/1/202335自动控制原理》

第七章离散系统7.z域尺度定理若已知f(kT)的z变换函数为F(z)，则对任意常数a证明：2/1/202336自动控制原理》

第七章离散系统7.3.3

z变换方法1.级数求和法只要知道连续函数f(t)在各个采样时刻的数值，即可按照z变换的定义求得其z变换。2/1/202337自动控制原理》

第七章离散系统例7-1求单位脉冲信号的z变换

解：设f(t)=δ(t)，则

由于

f*(t)在

t=0时刻的脉冲强度为1，其余时刻的脉冲强度均为零，所以有2/1/202338自动控制原理》

第七章离散系统例7-2求单位阶跃信号1(t)的z变换

解：

设f(t)=1(t)，则

该级数的收敛域为∣z∣>1，在该收敛域内，上式（等比数列）可以写成如下闭合形式2/1/202339自动控制原理》

第七章离散系统例7-3

求单位斜坡信号的z变换

解：设f(t)=t,(t>0)，则上式两边对z求导数，并将和式与导数交换，得上式两边同乘(-Tz)，便得单位斜坡信号的z变换2/1/202340自动控制原理》

第七章离散系统例7-4求指数函数的z变换解：设f(t)=e-at，则2/1/202341自动控制原理》

第七章离散系统2.部分分式法先求出已知连续函数f(t)的拉氏变换F(s)，然后将其展开成部分分式之和的形式，（查表）求出相应每一部分的z变换再叠加即可。2/1/202342自动控制原理》

第七章离散系统例7-5：设，求f*(t)的z变换。解：上式两边求Laplace反变换，得2/1/202343自动控制原理》

第七章离散系统例7-6：求的z变换。解：2/1/202344自动控制原理》

第七章离散系统7.3.4

z反变换

z反变换是z变换的逆运算。其目的是由象函数f(z)求出所对应的采样脉冲序列f*(T)（或f(nT)），记作z反变换只能给出采样信号f*(t)，而不能给出连续信号

f(t)。

注意2/1/202345自动控制原理》

第七章离散系统1.

部分分式法若象函数F(z)是复变量z的有理分式，且所有的极点,(i=1,2,…,m)互异，则可展成如下形式：上式两边同乘z，再取z反变换得2/1/20234