能量原理之简洁版

能量原理§1概述缓慢加载，无热耗，弹性阶段（不必线性弹性）——外力功全部转化为应变能（变形能）。弹簧的弹性势能FkxF△lxFAmAqABFACqABCmABC§2弹性体应变能一、杆在基本变形下的应变能1.轴向拉压FN(x)FN(x+dx)dx微线段应变能：杆中应变能：1.轴向拉压2.圆轴扭转3.弯曲M二、应变能的叠加(一)计算应变能时，一般不能“直接”叠加F1+F2E、A、l例：F11.只加F1F23.直接“叠加”2.只加F2如果将F1+F2视为一个力，应为4.先加F16.叠加5.再加F2F1+F2F1F2F1F2从零开始，缓慢加载加F2时，F1已经作用在杆上，对变形Δ2作功。(二)组合变形时的应变能为什么此时可以叠加？ABΔ例1.计算图示杆中的应变能(EA已知)F1lF2l解：1.用定义计算F1lF2l2.先加F2，然后加F1（用外力功）F2F1lF2l例2.计算图示梁中的应变能(EI已知)解：1.按定义计算ACFPmB2.先加FP，再加mACFPBBACFPmACFPmB注意：力作用处的挠度或转角一般未知，故基本方法是用内力计算。§2*余功、应变余能一、功和余功对于线性弹性问题功余功一、功和余功二、应变能密度和余能密度对于线性弹性问题应变能余能用此式计算的是储存在杆件整体内部的总应变能用此式计算的是单向应力状态下储存在单位体积内部的应变能（应变能密度或比能）。F线性弹性问题功和余功应变能密度和余能密度§3虚功原理（虚位移原理）、虚余功原理（虚力原理）一、虚位移、虚功；虚力、虚余功虚位移：结构的“变形协调性”得到满足的任意微小变形（位移）ACFPB真实位移△C虚功：力在虚位移上作的功。ACB虚位移△C虚力：任一平衡力系对于完整约束的结构，如右图，在梁上加任意力系，必可以和约束反力构成平衡力系。虚余功：真实位移在虚力上所作的功。ACFPB真实状态任意加一个力系ADFBEm二、虚功原理（虚位移原理）1.“真实力系在虚位移上作的虚功”等于“真实内力在虚内位移上所作的虚功”。2.说明（以梁为例）真实力系A1F1B2F2虚位移A1B2dxM(x)M(x+dx)真实内力虚内位移“真实力系在虚位移上作的虚功”等于“真实内力在虚内位移上所作的虚功”真实力系A1F1B2F2虚位移A1B2dxM(x)M(x+dx)真实内力虚内位移虚功虚应变能3.对于组合变形4.是结构平衡的充要条件三、虚余功原理（虚力原理）1.“真实位移在虚力上作的虚余功”等于“真实内位移在虚内力上所作的虚余功”。2.说明（以梁为例）实内位移虚力A1F1B2F2dxM(x)M(x+dx)虚内力真实位移A1B2M(x)M(x+dx)虚内力实内位移虚力A1F1B2F2真实位移A1B2虚余功虚余能3.对于组合变形4.是变形协调的充要条件天哪！“虚来虚去的，有啥用处？虚功原理，虚余功原理§4莫尔定理（单位荷载法）1.欲求C处位移△C，另画一梁，只在C处加一单位荷载，视为虚力，它引起的内力为虚内力ACFPmB真实状态2.由虚余功原理ACF=1B虚力虚内力M(x)一般形式ACFPmB真实状态ACF=1B虚力虚内力M(x)△C：真实位移，不妨称为C点n方向的位移；Mi、Mxi、FNi：原荷载下，i杆中的弯矩、扭矩和轴力；Mi、Mxi

、FNi

：结构受C点n方向单位荷载时，i杆中的弯矩、扭矩和轴力。例1：求图示梁C处位移及转角；EI已知。ACqBl2l解：1.计算M(x)2.在要计算位移的位置施加相应的单位荷载；计算M(x)AC1Bl2lACqBl2lAC1Bl2l3.由积分式计算位移ACqBl2l4.在要计算位移的位置施加相应的单位荷载；计算M(x)AC1Bl2lACqBl2l用叠加法解之AqBMCMC1.在C处截梁为两段，在C端附加力偶如图示。MCqACBMCCqC支座下移距离即C处挠度ωC2.分别计算两段在C处的转角BCqql2θC1ql2qACθC2BCqql2θC1ql2qACθC2例2：求A处位移及转角。已知BC=CD=2l，CA=l；各截面EA、EI。ACFBD1.求△A在F作用下单位荷载作用下AC1BDACFBDAC1BDACFBD2.求θAAC1BD在F作用下单位荷载作用下§5卡氏定理1.卡氏第一定理在{Fi}、{△i}状态下:取虚位移：d△i≠0，其余d△j为零虚应变能虚功因此2.由虚余功原理a.{Fi}、{△i}为真实状态b.{0,···,dFi,···0}为虚力系3.卡氏第二定理（线弹性）对于线弹性问题，应变能与应变余能相等，即例1.求图示支架中A点的铅垂位移θFABCEA，lEAA节点水平位移？例2.求图示梁中C点的铅垂位移和A处的转角ACFPmB例3.求图示桁架中A点的位移。已知各杆的EA，1、2杆长l。FABCD12345θ由平衡方程计算得先加F1，再加F2F1+F2F1F2F1F2F1F2先加F2，再加F1§5功的互等及位移互等定理（线弹性）AF1B△１１△２１AF２B△１２△２２AF1B△１２△２２F２AF２B△１１△２１F1AF1BAF1BF２AF２BF1AF２BAF1BAF1BF２AF２BF1AF２BF1在“F２引起的1处位移△12”上作的功，等于F2在“F１引起的2处位移△21”上作的功。功的互等定理：AFB作用力相等或均取为单位荷载时：AFB位移互等定理：A1BDCC处单位荷载引起的D处位移，等于D处单位荷载引起的C处位移。A1BCD例1：求C处挠度ABCmABCF例2：求挠度曲线与未变形时杆的轴线之间的面积ABqdxABCFω本章基本要求：应用单位荷载法计算结构任意一点的位移或任意一截面的转角。课堂练习：计算C处约束反力。AC=CB=l；EI已知。AC4qBql2AC4qBql2FB1.叠加法2.能量法AC4qBql2FCACB1用虚位移原理来证明功的互等定理“真实力系在虚位移上作的虚功”等于“真实内力在虚内位移上所作的虚功”真实力系A1F1B2F2虚位移A1B2dxM(x)M(x+dx)真实内力虚内位移虚功虚应变能ABF1F2“真实力系在虚位移上作的虚功”等于“真实内力在虚内位移上所作的虚功”“第一状态的力系”在“第二状态的位移”上作的虚功，等于“第一状态的内力”在“第二状态的内位移”