第1讲 组合概率

数学建模与数学实验河南师范大学概率教研室

概率模型概率模型变量是随机变量

变量间关系错综复杂现实世界充满不确定性有诸多不确定因素

不存在确定的函数关系往往借助于模拟仿真方法随机现象的模拟一.随机变量的模拟掌握成功模拟具有特定分布的随机变量的方法,是模拟随机现象的重要方面.例1老鼠在哪个房间？

在任一时刻观察老鼠在有3个房间的迷宫内的情况,老鼠所在房号X

是一个随机变量,模拟X的分布律.例11.1.doc两种模拟方法

1．利用理论分布，基于对问题的实际、合理的假设,选择适当的理论分布模拟随机变量.2.基于实际数据的频率做近似模拟.方法评价缺点：限于十分简单的情况.问题越复杂,数学处理变得越困难,并且丢失了试验数据的信息.*方法2

优点：完全与观察数据相符,并且随实际问题的复杂程度增大不会产生更大的困难,仅增大工作量而已.应用中常将两种模拟方法结合使用

*方法1

优点：可以计算各种可能结果的概率,便于进行数学分析和处理.缺点：不便于进行数学分析,不得不依赖于模拟得到的统计结果.二.利用理论分布重点阐述怎样根据变量特点合理选择理论分布来模拟随机变量.

1．均匀分布需掌握几种重要的概率理论分布均匀分布随机变量X的取值具有“均匀性”.

均匀性特点均匀分布随机变量X

落在(a,b)内任意子区间的概率只与子区间的长度有关,而与子区间的位置无关.

可以假设具有这种性质的随机变量服从均匀分布

例2穿越公路模型

穿越公路者在60秒的期间内的每一时刻都可能到达公路旁,用[0,60](单位:秒)上的均匀分布随机变量模拟穿越公路者到达路旁的时刻是合理的.

渡口模型中假设车身长度服从均匀分布,处理起来虽然较简单但却显然不合理.

2．正态分布

正态分布随机变量X的概率密度函数是正态分布由两个参数μ和σ唯一确定：μ0xf(x)f(x)0xμσ小σ大位置参数分布特点：有3σ—原则：实用判别方法:较多独立的、微小变量叠加而成的随机变量,可以用正态分布来模拟.判别方法1.2.doc原理分析例*考试成绩服从正态分布；*单峰、对称；*数学期望μ确定概率曲线的中心位置；*标准差σ确定概率曲线的“宽窄”程度.

*测试误差服从正态分布；*人的身高服从正态分布；…

3．指数分布

指数分布随机变量X的概率密度函数为０f(x)x寿命T则服从参数为λ的指数分布.

上述假设从技术上讲就是电子元件未出现“老化”现象.对一些寿命长的元件,在稳定运行的初期阶段老化很轻微,这种假设是合理的.＊指数分布比较确切地描述了电子元件在稳定阶段的寿命分布情况.指数分布常用来描述“寿命”问题.设电子元件的寿命为T，假定元件在t时刻尚正常工作的条件下,其瞬时失效率总保持为常数λ,即有指数分布具有无后效性(马氏性):对任意的实数s>0，t>0，均有永远年轻性

人类在50岁或60岁以前的寿命分布接近指数分布.

若瞬时失效率是时间的函数λ(t),试确定寿命Ｔ的分布.(参见电子科大教材《概率论与数理统计》p76).思考

4．泊松分布和泊松流离散型随机变量X的分布律为称X服从参数为λ的泊松分布.

事件流：随时间的推移，逐个出现的随机事件列A1，A2，…An，…t0A1A2A3An例3在渡口模型中，从渡船靠岸开始计时，将第i辆汽车的到达看成随机事件Ai发生，随汽车连续不断地开到码头，就形成了一个事件流

A1，A2，…，Ai，…；*工作台上工件的逐件到达；*机场跑道中飞机的逐架到达；*港口船舶的逐艘到达；*电话交换台电话的到达；*餐厅顾客的到达;*工厂中机器故障的发生,…记N(t)为[0,t]时间内各事件发生的总次数0t)N(t)=3)N(t)=7N(t)是随机变量随机变量族｛N(t),t＞0｝是一个随机过程(计数过程).

将工件、飞机、船只、电话、就餐的顾客及破损的机器等统称为顾客.

称{N(t),t＞0｝为顾客的到达过程,通常关心对每一时刻

t，在[0，t]时间内到达的顾客数

N(t)的分布；2)事件流A1，A2，…，Ai，…中两个事件发生的间隔时间具有什么分布.

形成泊1.2.doc松流的条件重要定理：1.如果顾客的到达过程是一个泊松过程，则在[0,t]期间内有n个顾客到达的概率为并且，顾客相继到达的时间间隔

T1，T2，…，Ti，…相互独立,都服从参数为λ的指数分布.2.若顾客流到达的间隔时间是相互独立的随机变量序列：T1,T2,…,Ti，…且Ti，i=1,2,…均服从参数为λ指数分布,则在［0，t］内顾客到达数｛N(t)，t>0｝是一个泊松过程.

例4.穿越公路模型用均值为1/q的指数分布随机变量模拟两车经过同一地点的时间间隔，相当于假设通过该点的汽车流构成了一个泊松流，[0,t]时间内到达的汽车数目N(t)服从泊松分布.随机变量X～B(n,p)，其分布律为随机变量X是

n

次独立贝努里试验中,事件A发生的总次数,其中p=P(A).

5．二项分布三.利用概率模型重点阐述利用概率的特点计算某些特定概率.

1．古典概型需掌握几种重要的概率模型.具有如下特点的试验模型为古典概型:(1)试验的样本空间只包含有限个样本点;(2)试验中每个基本事件发生的可能性相同.*中学学过的利用排列组合计算的概率.

2．几何概型

具有如下特点的试验模型为几何概型:(1)试验的样本空间有无限个样本点;(2)试验中落入A中的可能性与A的面积成正比,而与A的位置和形状无关.例5甲、乙两人约定在6时到7时会面,并约定先到者应等候另一个人20分钟,过时即可离去,求两人能够会面的概率.利用概率模型的例题一.报童的诀窍报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。设报纸每份的购进价为b，零售价为a，退回价为c，假设a>b>c。即报童售出一份报纸赚a-b，退回一份赔b-c。报童每天购进报纸太多，卖不完会赔钱；购进太少，不够卖会少挣钱。试为报童筹划一下每天购进报纸的数量，以获得最大收入。问题报童售报：a(零售价)

>b(购进价)

>c(退回价)售出一份赚a-b；退回一份赔b-c每天购进多少份可使收入最大？分析购进太多卖不完退回赔钱购进太少不够销售赚钱少应根据需求确定购进量每天需求量是随机的优化问题的目标函数应是长期的日平均收入每天收入是随机的存在一个合适的购进量等于每天收入的期望建模

设每天购进n份，日平均收入为G(n)调查需求量的随机规律——每天需求量为r的概率f(r),r=0,1,2…准备求n使G(n)最大已知售出一份赚a-b；退回一份赔b-c求解将r视为连续变量结果解释nP1P2取n使

a-b~售出一份赚的钱b-c~退回一份赔的钱0rp即购进的份数应该使卖不完与卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱与退回一份赔的钱之比。练习:利用上述模型计算，若每份报纸的购进价为0.75元，售出价为1元，退回价为0.6元，需求量服从均值500份，均方差50份的正态分布，报童每天应购进多少份报纸才能使平均收入最高，最高收入是多少？问题提出

在足球比赛中,球员在对方球门前不同的的位置起脚射门对球门的威胁是不一样的.在正前方射门的威胁大于两侧,近距离对球门的威胁大于远射.已知标准球场长104米,宽为69米,球门高2.44米,宽为7.32米.对于职业球员假设基本素质差别不大.根据资料显示,射门时球的速度在10米/秒左右.结合球场和足球赛是实际研究问题:二.足球门的危险区域问题

(1)针对球员在不同位置射门对球门的威胁度进行研究,绘制出球门的危险区域;(2)在有一名守门员防守的情况下,对球员射门的威胁度和危险区域作近一步的研究.问题分析

(1)球员无论从哪个地方射门都有进与不进两种可能,是随机事件;(2)影响球员射门的命中率的因素主要有球员的基本素质和射门时的位置.我们主要研究同质球员在球场上任意一点射门时对球门的危险度.

(3)球员在球门前某处向球门内某目标点射门时,球员到目标点的距离决定了到达目标点的概率.当位置固定时,球飞向球门所在的平面上的落点将呈现固定的概率分布(二维正态分布);(4)球员从球场上某点射门时,必定在球门平面上确定一个目标点,射门后球依据该概率分布落入球门所在平面.将球门视为平面上的一个区域,在该区域内对该分布积分可得到该次射门的命中率.由于射门的目标点是任意的,因此遍历球门区域内的所有点,对命中率作积分,将其定义为球场上某点对球门的威胁度,根据威胁度的大小来确定球门的危险区域.1.模型假设(1)在理想状态下,认为球员是同质的,即基本素质相同;(2)不考虑球员射门后空气、地面对球速的影响.设球速为10米/秒;(3)球员射门只在前半场进行,为此假设前半场为有效射门区域;(4)只考虑标准球场:104X69(m)和球门7.32X2.44(m).2.符号说明

----半场上的一个球门所在的地面以上的半平面;A(x,y)-----球场上的点,(x,y)为其坐标;B(x,z)-----球门内的点,(x,z)为其坐标;P(x,y)--从球场上A点对准球门内B点射门时,命中球门的概率;D(x,y)-----球场(x,y)上点对球门的威胁度;k-----球员的基本素质;d-----球场上A点到球门内B的直线距离;-----直线AB在地面上的投影与球门平面的夹角,为锐角.模型假设和符号说明:首先建立空间坐标系,一球门的底边中点为原点o,地面为xoy面,球门所在的平面为xoz面.问题(1):根据前面对问题的分析,假设素质为k的球员从A()点向距离为d的球门内目标点B()射门时,球在目标平面上的落点为二维正态分布,且随机变量x,z是相互独立的.其密度函数为其中方差与球员素质k成反比,与射门点A和目标点B之间的距离d成正比,偏角越大方差越小,当夹角为90度时(即正对球门中心),方差仅与k、d有关.由此确定的表达式为模型建立与求解:在密度函数中,关于变量x,z是对称的,但实际中球只能落在地面上,即,为此令则取两者的比值即为这次射门命中球门的概率对命中球门的概率在球门区域D内做积分,定义为球场上某点A对球门的威胁度,即综合以上分析,对球场上任意一点A(x,y)对球门的威胁度为其中要求解该问题较困难,只能采用数值积分的方法求解.首先确定反应球员基本素质的参数k.根据一般职业球员的情况,认为球员在球门的正前方即夹角为0,距离球门10米处向球门劲射,标准差为1,由标准差的公式的k=10.问题(2):假设守门员站在射门在垂直射门线平面上的投影区域中心位置是最佳防守位置.球员在球场上某点对球门内任意一点B(x,z)起脚射门,经过时间t到达球门平面,球到达该点时,守门员对球都有一个扑获概率,下面分析这个函数的形式.

当t一定时,应该是一个以守门员为中心向周围辐射衰减的二维函数,当t减小时,曲面的峰度应增高,而面积减小,与二维正态密度函数类似,因此采用该函数形式表示扑获函数,参数t表示从起脚射出到球到达球门的时间,即守门员的反应时间,该时间越长,曲面越光滑.因此其中c为守门员的反应系数,根据“纸条实验”取c=1/7.于是可得守门员防