第01章 直流电路

第一章直流电路

第一章直流电路1.1电路及电路模型1.2电路变量1.3电阻元件1.4电压源与电流源1.5基尔霍夫定律1.6单口网络及等效1.7支路电流分析法1.8节点分析法1.9叠加定理1.10等效电源定理1.11含受控源的电阻电路1.1电路及电路模型电路：电流流经的闭合路径电路的作用：电能的传输与转换 信号的传递和处理一、电路理论的研究对象电路模型：由理想元件组成的电路实际元器件近似抽象理想电路元件构成电路模型研究对象二、电路的组成电池灯泡UIRU+_电源负载中间环节实际电路电路模型三、作用：电能的传输与转换发电机升压变压器降压变压器电灯电炉热能,水能,核能转电能传输分配电能电能转换为光能,热能和机械能三、作用：信号的传递和处理放大器天线扬声器接收信号(信号源)信号处理(中间环节)接受转换信号的设备(负载)集总参数电路（对应于分布参数电路）由集总元件构成的电路集总元件假定发生的电磁过程都集中在元件内部进行。集总条件集总参数电路中u、i可以是时间的函数，但与空间坐标无关。因此，任何时刻，流入两端元件一个端子的电流等于从另一端子流出的电流；端子间的电压为单值量。注意实际电路的尺寸远小于电路工作频率所对应的波长时，该电路可用集总参数模型表示。71.2电路变量1.2.1电流和电流的参考方向或单位：安（A），其他常用千安（kA）,毫安（mA）,微安（μA）。kA=103A，1mA=10－3A，1μA=10－6A电流：电荷有规则的运动形成电流，用符号I

或i

表示。时变电流小写直流电流大写Q

和q

表示电荷量，t

表示时间。abRI参考方向：为了方便分析与运算，任意假定电流的方向。

任意假定的方向称为参考方向，简称方向。abRI

电流参考方向的表示方法电流的实际方向：正电荷移动的方向。电流参考方向的表示方法：1.2.1电流和电流的参考方向实际方向与参考方向一致，电流值为正值；实际方向与参考方向相反，电流值为负值。[例]abRI下图中红色箭头表示的是电流I的参考方向。若I=5A，则电流的实际方向是从a向b；若I=–5A，则电流的实际方向是从b向a。

电流的参考方向与实际方向1.2.1电流和电流的参考方向1.2.2电压和电压的参考方向或

Q

和q

表示电荷量；Wab

和wab

表示电场力做的功；

t表示时间。电压：电场力把单位正电荷从a点移动到b点所做的功称为a、b两点之间的电压。用符号U

或u

表示。直流电压大写时变电压小写单位：伏（V），其他常用：千伏（kV），毫伏（mV）1kV=103V，1mV=10－3V，1μV=10－6V参考方向的表示方法：正负极性（参考方向是由正极性指向负极性）、箭头和双下标abRUab+–参考方向（极性）：为了方便分析与运算，任意假定的电压方向，简称方向。abRUab电压的参考方向与参考极性电压的实际方向：电位降的方向。Uab=－UbaabUabR1.2.2电压和电压的参考方向实际极性与参考极性一致，电压值为正值；实际极性与参考极性相反，电压值为负值。[例]abRU+–下图中若U=10V，则电压的实际方向从a指向b；若U=–10V，则电压的实际方向从b指向a。abRU电压的实际方向与参考方向1.2.2电压和电压的参考方向

一个元件或者一段电路中电压和电流的方向均可以任意选定，二者可以一致，也可以不一致。如果一致称为关联参考方向；如果不一致称为非关联方向。IUIUIU+－IU－+(c)关联参考方向(a)关联参考方向(b)非关联参考方向(d)非关联参考方向关联参考方向与非关联参考方向关联参考方向1.2.3电位两点之间的电压等于两点之间的电位差。参考点改变，各点电位随之改变，两点之间的电压与电位参考点的选取无关。只有选择了参考点才有电位一说，谈到电位一个电路必须有一个参考点也只能有一个参考点。唯一性电子电路中多用电位讨论问题，常选取电路的某一点作为参考点，并将参考点电位规定为零，用符号“┴”来表示，则其他点与参考点之间的电压就称为该点的电位。【例1.2.1】

当选d为参考点时，有：当选a为参考点时，有：在图1.2.5所示的电路中，选d为参考点，已知:Va=2V，Vb=3V，Vc=1V，若选a点为参考点，求Vb

、Vc

和Vd

。解：

图1.2.5例1.2.1电路可见，选择不同的参考点，电位会发生变化。

例：利用电位可以将电路简化将图(a)中的电源符号省去标出电位值（大小和极性），该电路是电子电路的习惯画法。1.2.4功率和能量电功率是指单位时间内元件吸收或发出的电能，简称功率。对任意一个二端元件（或二端电路），当电压与电流为关联参考方向时有如果是直流电压和电流，则用大写+u－i当电压与电流为非关联参考方向时有+u－i一个元件或者一段电路可能吸收电功率，也可能发出电功率。计算出来的功率

功率的单位是瓦特（W），功率的常用单位还有毫瓦（mW）、千瓦（kW）和兆瓦（MW），且有一般地说：吸收功率＝－产生功率1.2.4功率和能量【例1.2.2】（1）（2）每个元件的功率为在图1.2.6所示的电路中，已知:解：

图1.2.6例1.2.2电路求：（1）U3、U4和U6；（2）每个元件的功率并指出哪些是电源哪些是负载。（2）其中元件4电压与电流为非关联方向，其余均为关联参考方向。解：

图1.2.6例1.2.2电路即所有元件提供的功率与吸收的功率相等。电压与电流参考方向非关联电流实际方向与参考方向相反电压实际方向与参考方向相反元件1、2和3功率为正，是负载；4、5和6功率为负，是电源，而且【例1.2.2】Ri+u－有些实际部件如电阻器、电灯、电炉等在电路中工作时要消耗电能，并将电能不可逆地转换成热能、光能、机械能等。反映电能消耗的电路参数叫作电阻。电阻元件是从实际电阻器中抽象出来，常简称为电阻。通常“电阻”一词以及大写字母R既表示电阻元件，也表示该元件的参数。电阻元件的图形符号是一个矩形框，文字符号是大写字母R。电阻元件1.3电阻元件iuO线性电阻的伏安特性按左图所示，电压与电流取关联参考方向，电压与电流之间满足欧姆定律：电阻元件电压与电流之间的关系称为伏安关系，或称伏安特性（VAR)。根据欧姆定律，在坐标上电阻元件的伏安特性是过原点的一条直线。见右图。电阻元件Ri+u－1.3电阻元件有的电阻元件不遵循欧姆定律，电压与电流的比值不是常数。伏安关系也就不是过原点的一条直线。这样的电阻称为非线性电阻。伏安关系是过原点的一条直线的电阻元件称为线性电阻；伏安关系不是过原点的一条直线的电阻称为非线性电阻。下图为非线性电阻的符号和一个非线性电阻元件的伏安特性曲线。非线性电阻的伏安特性iuO非线性电阻的符号Ri+u－1.3电阻元件电压与电流取非关联参考方向时，欧姆定律为Ri-u+电导：电阻的倒数称为电导，用大写字母G表示。单位：西门子（S）、毫西门子（mS)欧姆定律表示为或1.3电阻元件功率例题：已知下图中U=－6V

，I=2A，求电阻R。

在电压与电流不随时间变化的直流电路中用大写字母表示RI-U+解：

电压与电流参考方向非关联电压实际方向与参考方向相反1.3电阻元件1.4电压源与电流源1.4.1理想电压源

理想电压源简称电压源，是一个二端元件。电压源输出的电压恒定，与外接的电路无关；电流任意，由外电路确定。

电压源的符号见下面图（a）、图（b）。图（c）是电压源的伏安特性。直流电压源符号及伏安特性

1.4.2理想电流源理想电流源简称电流源，是一个二端元件。电流源输出的电流恒定，与外接的电路无关；电压任意，由外电路确定。电流源的符号见下面图（a），图（b）是电流源的伏安特性。直流电流源

电压源的电压可以为零，电压为零的电压源相当于短路线，而不是相当于断路。

电流源的电流可以为零，电流为零的电流源相当于断路，而不是相当于短路。显然，下面图（a）中的电压源不允许短路，在断路时输出电流等于零；类似的，图（b）中的电流源不允许断路，在短路时输出电压等于零。+U－IIS（b）R+U－IUS（a）1.4.2理想电流源

U=US–RS

I若RS=0，即为理想电压源。实际电源的端口特性IRLUSRS+-U+–

实际电压源模型可以由理想电压源US和内阻RS串联组成。UOCIUOISC

UOC称为开路电压，ISC称为短路电流。这里实际电源的两个电路模型其端口伏安特性可表示为

I实际电流源模型可以由理想电流源IS和内阻RS并联组成。若RS=，则为理想电流源。

RLRSURSUIS+－UOC

IUOISC实际电源的端口特性其端口伏安特性可表示为

其开路电压和短路电流分别为实际电源的两个电路模型在图1.4.5所示直流电路中，已知额定功率额定电压，内阻，负载可调，试求：(1)在额定工作状态下的电流及负载电阻；(2)开路电压；(3)短路电流。图1.4.5例1.4.1电路解：

（1）（2）（3）由此可见，本题中短路电流是额定电流的31倍。由于一般内阻较小，故不可以将电压源短路，否则会因为短路电流太大而烧毁电源，因此电压源在实际使用时必须加短路保护。【例1.4.1】支路：电路中的每一个分支（每一个两端元件所在分支）。一条支路流过一个电流，称为支路电流。节点：三条或三条以上支路的联接点。回路：由支路组成的闭合路径。网孔：内部不含有任何支路的回路称为网孔

。ba+-US2R2+

-R3R1US1I1I2I31231.5基尔霍夫定律支路：ab、bc、ca、…（共6条）节点：a、b、c、d

(共4个）adbcUS–+GR3R4R1R2I2I4IGI1I3I回路：abda、abca、adbca…

（共7个）网孔：abd、abc、dbc（共3个）[例]支路、节点、回路？基尔霍夫电流定律又称为基尔霍夫第一定律，简单记为KCL。其表达式为可以表述为：任一时刻流出（流入）任一节点的电流的代数和等于零。对结点a：

－I+I2+I3=0I1I2I3ba+-US2R2+

-R3R1US1对结点b：

I1－I2－I3=01.5.1基尔霍夫电流定律（KCL)I1I2I3ba+-US2R2+

-R3R1US1基尔霍夫电流定律还可以表述为：任一时刻，流入任一节点的电流之和等于流出该节点的电流之和，即对节点a：

I1=I2+I3

对节点b：

I2+I3=I1基尔霍夫电流定律可以推广应用于包围部分电路的任一假设的闭合面。这个假设的闭合面称为广义节点。ABCIAIBICIA+IB+IC=01.5.1基尔霍夫电流定律（KCL)KCL是电荷守恒和电流连续性原理在电路中任意结点处的反映；KCL是对支路电流加的约束，与支路上接的是什么元件无关，与电路是线性还是非线性无关；KCL方程是按电流参考方向列写的，与电流实际方向无关。明确解：

设流入节点a的电流为正，则节点a的KCL方程为同理节点c节点b求如图1.5.2所示电路的电流和。图1.5.2例1.5.1电路【例1.5.1】广义节点SKCL的其他应用举例VA

=VB?ABi2i1i1

=i2VA=VB+_1Ω+_1Ω1Ω3V1Ω1Ω1Ω2Vi1

=i2?右封闭曲面可视为广义节点？思考I=01.？i1=i’1?思考AB+_310V+_12V2.i22848i1AB+_3+_i’22848i’1i2=i’2?10V12V对回路1：

R1I1+R3

I3－US1=0对回路2：

R2I2－R3I3+US2

=0

基尔霍夫电压定律又称为基尔霍夫第二定律，简单记为KVL。其表达式为：

U=0

此定律表明：沿任一闭合回路绕行一周，各支路电压的代数和为零。I1I2I3ba+-US2R2+

-R3R1US1121.5.2基尔霍夫电压定律（KVL)1．必须明确回路绕行的方向，取顺时针方向或逆时针方向。

R2I2－

US2+Uab=0

3.绕行的回路也可以不经过支路（可认为是假想回路）以图中回路1为例：2．电压的方向是电压降的方向。电压的方向与回路绕行的方向一致取正，相反取负。US1Uabb+a+–R1+–US2R2I2_1

这里Uab是ab之间的电压，ab之间没有支路。注意事项KVL的实质反映了电路遵从能量守恒定律;KVL是对回路电压加的约束，与回路各支路上接的是什么元件无关，与电路是线性还是非线性无关；KVL方程是按电压参考方向列写，与电压实际方向无关。明确

电路中任意两点之间的电压等于从起点到终点之间任意路径的电压之和，即从起点到终点将各段电压加起来，碰到“+”取正，碰到“－”取负。流过电阻的电流参考方向与绕行方向一致时，对应电压取正，否则取负。

[例]

求右图中Uab、Ubc和Uca

解：

Uab=5I1+5I2=5×2+5×(-1)=5VUbc=-

5I2-5I3=-

5×(-1)-5×(-3)=20VUca=

5I3-5I1=

5×(-3)-5×2=-25V

1.5.2基尔霍夫电压定律（KVL)

[例]

已知图中Uab=－12V，求R

解：从a加到b，碰到“+”写正，碰到“－”写负

Uab=-5+IR+3=-5+（-2）×R+3=－12VR=

5

Ω1.5.2基尔霍夫电压定律（KVL)

解：如果不习惯(a)图，可以画成(b)图的形式。[例]求图(a)中B点电位。没有接地符号，有参考点吗？在哪里？对回路abda：对回路acba：对回路dbced：R6I6–R3I3+

R1I1=0R2I2–R4I4–R6I6=0R3I3+R4I4+RSIS–US

=0对回路aceda:

R2I2+RSIS–

US+R1I1=0应用U=0列方程US[例]aR6dbc–+R3R4R1R2I2I4I6I1I3RSISe说明：前3个方程，每个方程中都有新的支路，它们是相互独立的。第4个方程中没有新的支路，将前3个方程相加就得到第4个方程，它不是独立的。1.5.2基尔霍夫电压定律（KVL)解：

图1.5.4例1.5.3电路列KVL方程，有求得由于求得【例1.5.3】求如图1.5.4所示电路的电压Uab

UacKCL、KVL小结KCL是对支路电流的线性约束，KVL是对回路电压的线性约束。KCL、KVL与组成支路的元件性质及参数无关。KCL表明在每一节点上电荷是守恒的；KVL是能量守恒的具体体现(电压与路径无关)。

KCL、KVL只适用于集总参数的电路。例1求电流i解例2解求电压u其他例子++--4V5Vi=?3++--4V5V1A+-u=?3例3求电流i例4求电压u解解要求熟练求解含源支路的电压和电流其他例子解I1-10V10V++--1AI=?10例5求电流I例6求电压U解4V+-10AU=?2+-3AI其他例子1.6单口网络及等效单口网络是指只有一个端口与外部电路连接的电路，单口网络又称为二端网络（或一端口网络）。如图所示，两个单口网络N1和N2，如果伏安特性完全相同，则称这两个单口网络是等效的。注意：等效是指对外电路等效，内部结构不一定一样。伏安关系（a）（b）由RI=（R1+R2）I

得R=R1+R21.6.1a电阻的串联及等效两个电阻串联时的分压公式：R1U1UR2U2I+–++––RUI+–下标相同1.6.1a电阻的串联及等效对于n个电阻的串联，伏安特性为所以串联电路的等效电阻为第k条支路的电压为1.6.1a电阻的串联及等效1.6.1b电阻的并联及等效RUI+–I1I2R1UR2I+–

电阻并联时各个元件的电压是同一个电压，总的电流等于各个元件电流之和。I=I1+I2RUI+–I1I2R1UR2I+–考虑到得到两个电阻元件并联时的等效电阻为两电阻并联时的分流公式：1.6.1b电阻的并联及等效GUI+–I1I2G1UG2I+–电阻并联时用电导计算比较方便。用电导表示两个电阻并联时的等效电导用电导表示两个电阻并联时的分流公式1.6.1b电阻的并联及等效若有n个电导并联图(b)所示图(c)所示1.6.1b电阻的并联及等效两个电阻串联时的分压公式，两个电阻并联时用电阻表示的分流公式以及用电导表示的分流公式，这三者很相似，注意它们之间的异同。I1I2R1UR2I+–IS

[例1-5]下图中电阻R1=30Ω与电阻R2=15Ω并联后，接电流源IS=18A

。试计算I1、I2和电压U。解法一：并联等效电阻为得1.6.1电阻的串并联及等效解法二：利用并联电阻的分流公式I1I2R1UR2I+–IS且1.6.1电阻的串并联及等效例1计算图示电路中各支路的电压和电流i1+-i2i3i4i51865412165Vi1+-i2i31895165V6其他例子i1+-i2i3i4i51865412165V从以上例题可得求解串、并联电路的一般步骤：求出等效电阻或等效电导；应用欧姆定律求出总电压或总电流；应用欧姆定律或分压、分流公式求各电阻上的电流和电压。以上的关键在于识别各电阻的串联、并联关系！明确例2求:Rab,Rcd等效电阻针对端口而言。61555dcba注意例3求:Rab

Rab＝70601005010ba4080206010060ba120204010060ba20100100ba20例4求:

Rab

Rab＝10缩短无电阻支路1520ba56671520ba566715ba43715ba410断路例5求:Rab对称电路c、d等电位ii1ii2短路根据电流分配bacdRRRRbacRRRRbacdRRRR1.6.2理想电源的等效变换1．电压源的串联及等效1.6.2理想电源的等效变换2．电流源的并联及等效1.6.2理想电源的等效变换3．电压源与元件的并联（并联的元件可以去掉）两图所示电路对外电路等效

1.6.2理想电源的等效变换4．电流源与元件的串联（串联的元件可以去掉）两图所示电路对外电路等效

(a)(d)

(c)

(b)3V3V3V3V3V2A2A2A2A2A5Ω5Ω等效电路由左图

U=US－IRS

由右图U=ISR0–IR0IRLRS+–USU+–电压源模型等效变换条件:US=ISR0RLR0UISI+–电流源模型RS=R01.6.3实际电源两种模型的等效变换②等效变换时，两电源的参考方向要一一对应。③理想电压源与理想电流源之间无等效关系。①等效关系只对外电路而言，对电源内部则是不等效的。如

当RL=时，电压源模型内阻RS

中不损耗功率，而电流源模型的内阻R0

中则会损耗功率。④任何一个电压US

和某个电阻R串联的电路，都可化为一个电流为IS和这个电阻R并联的电路。RS+–USabISRSabRS–+US

abISRSab注意事项求下列各电路的等效电路。解:+–abU25V(a)++–abU5V(c)+a+-2V5VU+-b2(c)+(b)aU5A23b+(a)a+–5V32U+a5AbU3(b)+b[例]将下列的电流源等效变换为电压源。解:+–abU315V(b)+a5AbU3(a)+[例]解:将下列的电压源等效变换为电流源。+–abU28V(a)+a4AbU2(b)+[例]图1.6.10等效电路过程解:【例1.6.2】将图1.6.10(a)所示电路简化为最简单形式。解:图1.6.11等效电路过程将图1.6.11所示电路简化为最简单形式。【例1.6.3】例1把电路转换成一个电压源和一个电阻的串连。10V1010V6A++__1.2A6V106A+_2.70V10+_66V10+_106A1A107A1070V+_10V1010V6A++__1.2A6V106A+_2.66V10+_6V106A+_6V+_60V10+_例240V104102AI2A630V_++_求电路中的电流I40V4102AI630V_++_60V410I630V_++_支路电流法：以支路电流为未知量、应用基尔霍夫定律（KCL、KVL）列方程求解。对图示电路节点数：n=4支路数：m=6若用支路电流法求解，有6个支路，就有6个支路电流作为变量，应列出6个独立方程。cU1U5U4R1R2R3R4R5R6I1I2I3I5I4I6123adb1.7支路电流分析法

原则上适用于各种复杂电路，但当支路数很多时，方程数增加，计算量加大。因此，该方法一般适用于支路数较少的电路。对图中4个节点分别列出KCL方程节点aI1+I2－I4=0节点b－I2+I3－I5=0节点c－I1－I3+I6=0节点dI4+I5－I6=04个节点列出的KCL方程两边分别相加得到0=0，说明方程不都是独立的。由图中可以看出节点d流出的电流都流入了其他节点，节点d流入的电流都是由其他节点流出，可见节点d的电流可以由其他的节点计算出来。1.7支路电流分析法cU1U5U4R1R2R3R4R5R6I1I2I3I5I4I6123adb在n

个节点中选择一个作为参考节点，其余n－1个节点作为独立节点列出KCL方程。需要m个独立方程，列出n－1个KCL方程以后还需要补充m－(n－1)个KVL方程。为了保证每个KVL方程的独立性，要在每个KVL方程中都有新的支路出现。（注意：这是充分条件，不是必要条件）1.7支路电流分析法cU1U5U4R1R2R3R4R5R6I1I2I3I5I4I6123adb前例中可以按图中虚线所示选取回路回路1

U1+R1I1－R3I3－R2I2=0回路2

R2I2+U5－R5I5+R1I1=0回路3

R3I3+R6I6+R5I5－U5=0这3个方程都是独立的。如果在图中再选取回路列KVL方程，就不是独立的。U1U5U4R1R2R3R4R5R6I1I2I3I5I4I6123adb1.7支路电流分析法

KVL的独立方程数=独立回路数=网孔数=m－(n－1)

对n个节点、m条支路的电路，独立的KCL和KVL方程数之和正好为支路数m：结论

1、任选n-1个独立节点和m-n+1个独立回路，选择独立回路的一种简单方法就是直接选网孔，并在电路图上标出各支路电流的参考方向及独立回路的参考绕行方向；

2、应用KCL对独立节点列出n-1个电流方程式。

3、应用KVL对独立回路列出m-n+1个电压方程式，。

4、代入电路参数，联立求解方程式组，求出m个支路电流，并进一步计算支路电压和进行其他分析。对于有n个节点、m条支路的电路，要求解支路电流，未知量共有m个。只要列出m个独立的电路方程，便可以求解这m个变量，步骤如下：支路电流法的解题步骤:US1US2

IS3R1R2R4I2I1I412解：电路中4个支路，电流源支路的电流是已知的，将其余3个支路电流作为变量。需要列出3个方程。选择下面节点作为参考节点，上面节点作为独立节点，列出KCL方程－I1－I2－IS3+I4=0按图中虚线选取独立回路列出KVL方程[例]图式电路中US1=36V,US2=108V,IS3=18A，R1=R2=2Ω，R4=8Ω。求各支路电流及电流源发出的电功率。几个节点？2？4？1.7支路电流分析法US1US2

IS3R1R2R4I2I1I412按图中虚线选取独立回路列出KVL方程回路1

R1I1－US1+US2－R2I2=0回路2

R2I2－US2+R4I4=0代入参数并整理，得－I1－I2+I4=182I1－2I2=－722I2+8I4=108解得

I1=－22(A)

I2=14(A)

I4=10(A)

1.7支路电流分析法US1US2

IS3R1R2R4I2I1I412电流源端电压与电阻R4的端电压相等，即故电流源发出的电功率为P3=UIS3=80×18=1440(W)U=R4I4=8×10=80(V)支路电流法列出的方程数量比较多，解起来比较麻烦。但是，这个方法简单易学，容易记忆，不易忘记，所以它是一个比较重要的方法。1.7支路电流分析法列写KVL方程时，电路中有若干个回路，那么独立回路如何选取呢？确保方程独立的充分条件是每一个回路必须至少包含其它回路所没有的支路。最简单的方法就是直接选网孔做为独立回路。问题：R1R2R3R4R5R6+–i2i3i4i1i5i6uS1234123123例：节点a：–I1–I2+I3=0(1)n–1=1个KCL方程：列写支路电流方程.(电路中含有理想电流源）解1(2)m–n+1=2个KVL方程：11I2+7I3=U7I1–11I2=70-U增补方程：I2=6A+U_70V7ba+–I1I3I2711216A1解2由于I2已知，故只列写两个方程节点a：–I1+I3=6避开电流源支路取回路：7I1＋7I3=7070V7ba+–I1I3I27116A以节点电压为待求量，利用基尔霍夫定律列出各节点电压方程式，进而求解电路响应的方法。其基本思想是：选节点电压为未知量，则KVL自动满足，无需列写KVL方程。各支路电流、电压可视为节点电压的线性组合，求出节点电压后，便可方便地得到各支路电压、电流。原则上适用于各种复杂电路，但对于支路数或回路数较多、但节点数较少的电路尤其适用。与支路电流法相比，所列方程可减少m-n+1个。

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定义

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适用范围1.8节点电压法（节点分析法）列写的方程节点电压法列写的是节点上的KCL方程，独立方程数为：uA-uBuAuB(uA-uB)+uB-uA=0KVL自动满足注意与支路电流法相比，方程数减少m-(n-1)个。任意选择参考点：其它节点与参考点的电位差即为节点电压(位)，方向为从独立节点指向参考节点。方程的列写选定参考节点，标明其余n-1个独立节点的电压；132列KCL方程：i1+i2=iS1+iS2-i2+i4+i3=0-i3+i5=－iS2iS1uSiS2R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4+_把支路电流用节点电压表示：i1+i2=iS1+iS2-i2+i4+i3=0-i3+i5=-iS2132iS1uSiS2R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4+_整理得：等效电流源132iS1uSiS2R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4+_令Gk=1/Rk，k=1,2,3,4,5上式简记为：G11un1+G12un2

＋G13un3=iSn1G21un1+G22un2

＋G23un3=iSn2G31un1+G32un2

＋G33un3=iSn3标准形式的节点电压方程132iS1uSiS2R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4+_G11=G1+G2

节点1的自电导G22=G2+G3+G4

节点2的自电导G12=G21=-G2

节点1与节点2之间的互电导G33=G3+G5

节点3的自电导G23=G32=-G3

节点2与节点3之间的互电导小结节点的自电导等于接在该节点上所有支路的电导之和。

互电导为接在节点与节点之间所有支路的电导之和，总为负值。iSn3=-iS2＋uS/R5

流入节点3的电流源电流的代数和。iSn1=iS1+iS2

流入节点1的电流源电流的代数和。流入节点取正号，流出取负号。由节点电压方程求得各节点电压后即可求得各支路电压，各支路电流可用节点电压表示：G11un1+G12un2+…+G1,n-1un,n-1=iSn1G21un1+G22un2+…+G2,n-1un,n-1=iSn2Gn-1,1un1+Gn-1,2un2+…+Gn-1,nun,n-1=iSn,n-1Gii

—自电导，总为正。

iSni

—

流入节点i的所有电流源电流的代数和。Gij

=Gji—互电导，节点i与节点j之间所有支路电

导之和，总为负。节点法标准形式的方程：注意电路不含受控源时，系数矩阵为对称阵。总结：节点电压法求解电路的步骤1、选定一个参考节点，标定其余n-1个独立节点。各独立节点相对于此参考节点之间的电压就是待求的节点电压（均以参考点为负极）；2、标出各支路电流的参考方向，以节点电压为未知量，对n-1个独立节点列写KCL方程式；4、解方程，求解得到n-1个节点电压；3、用KVL和欧姆定律，将节点电流用节点电压的关系式代替，写出节点电压方程式；5、由节点电压求各支路电流及其响应。10Ω70V2V1.6A2ΩI43Ω4ΩI3I2I1②①

试计算图中电路的节点电位V1

和V2。解：将各支路电流表示为1.8节点分析法[例]将各支路电流代入下列节点方程经整理后得解得10Ω70V2V1.6A2ΩI43Ω4ΩI3I2I1②①1.8节点分析法求图1.8.3(a)所示电路的a点电位。解：图1.8.3（a）是电子线路的习惯画法，电压源形式的电路如图(b)所示。1.8节点分析法[例1.8.2]其节点a的KCL方程为：解得图1.8.3例1.8.2电路无伴电压源支路的处理（理想电压源支路）法1：采用附加变量法：以电压源电流为变量，增补节点电压与电压源间的关系。UsG3G1G4G5G2+_312(G1+G2)U1-G1U2

=I-G1U1+(G1+G3+G4)U2-G4U3

=0-G4U2+(G4+G5)U3

=－IU1-U3=US增补方程I看成电流源法2：选择合适的参考点，即选无伴电压源的负极为参考节点。U1=US-G1U1+(G1+G3+G4)U2-G3U3

=0-G2U1-G3U2+(G2+G3+G5)U3=0UsG3G1G4G5G2+_312

叠加原理：在线性电路中有多个电源共同作用时，电路中任何一条支路的电流（或电压）,都等于电路中各个电源单独作用时，在此支路中所产生的电流（或电压）的代数和。原电路+–USR1R2(a)ISI1I2IS单独作用R1R2(c)I1''I2''+ISUS单独作用=+–USR1R2(b)I1'I2'1.9叠加原理由图(c)，当IS单独作用时由图(b)，当US

单独作用时根据叠加原理原电路+–USR1R2(a)ISI1I2IS单独作用R1R2(c)I1''I2''+ISUS单独作用=+–USR1R2(b)I1'I2'1.9叠加原理①叠加原理只适用于线性电路。不作用电源的处理电压源不作用，即

US

=0，相当于

短路线；电流源不作用，即

Is=0，相当于断路

。②线性电路的电流或电压均可用叠加原理计算，但功率P不能用叠加原理计算。注意事项电路如图，已知

US=10V、IS=1A，R1=10

，R2=R3=5，试用叠加原理求电流I2。(b)

US单独作用

将IS

断掉(c)IS单独作用将US

换成短路线解：由图(b)

(a)+–USR3R2R1ISI2+–USR3R2R1I2'R3R2R1ISI2[例]：解：由图(c)

注意I2'与原电路中I2

方向相同，I2

与原电路中I2

方向相反，得(b)

US单独作用

将IS

断掉(c)IS单独作用将US

换成短路线(a)+–USR3R2R1ISI2+–USR3R2R1I2'R3R2R1ISI21.9叠加原理【例1.9.1】用叠加原理计算图1.9.2(a)所示电路中的电流I、电压U及电阻消耗的功率。图1.9.2例1.9.1电路1.9叠加原理解：（1）2A电流源单独工作时，如图(b)所示（2）5V电压源单独工作时，如图(c)所示（3）1A电流源单独工作时，如图(d)所示1.9叠加原理原电路(a)的电流和电压分别为电阻消耗的功率为1.9叠加原理1.10

等效电源定理在电路分析中，若只需求出复杂电路中某一特定支路的电流或电压时，应用等效电源定理计算比较方便。1.10.1戴维南定理1.10.2诺顿定理1.10等效电源定理二端网络：具有两个出线端的部分电路。无源二端网络：二端网络中没有电源。有源二端网络：二端网络中含有电源。（b）（a）US

+–R1R2ISR3图（a）中虚线左侧为无源二端网络，右侧为有源二端网络。图（b）中虚线左侧为有源二端网络，右侧为无源二端网络。US+–R1R2ISR3R41.10.1戴维南定理戴维南定理：任何一个有源二端线性网络都可以用一个电压源和电阻的串联来等效代替。等效电压源的电压等于有源二端网络的开路电压UOC，等效电阻等于有源二端网络中除去所有电源（电压源短路，电流源开路）后所得到的无源二端网络的等效电阻RO

。有源二端网络RLab+U–IUOCRO+_RLab+U–I等效电源

[例]

求图(a)所示电路的戴维南等效电路。解：（1）计算开路电压。可以用叠加原理。50V电压源在端口处的电压与1A电流源在端口处的电压之和2302050V1A+UOC－(a)1.10.1戴维南定理（2）计算等效电阻。将有源二端网络内部的电源置为零，如图(b)

所示。（3）图(c)

所示42V电压源与14Ω电阻的串联即为图(a)

中有源二端网络的戴维南等效电路。2(c)UOCRO3020(b)2302050V1A+UOC－(a)1.10.1戴维南定理【例1.10.1】电路如图1.10.2(a)所示，试用戴维南定理求电压U。图1.10.2例题1.10.1的电路1.10.1戴维南定理解：（1）的计算如图(b)所示，利用叠加原理求UOC

1.5A电流源单独工作时，将24V电压源短路，得24V电压源单独工作时，将1.5A电流源开路，由分压公式得根据叠加定理可得（2）RO的计算将图(b)所示含源单口网络中的两个独立电源置零，即电压源短路，电流源开路，如图(c)所示。a、b两端的等效电阻为1.10.1戴维南定理（3）U的计算由图(d)可求出1.10.1戴维南定理1.10.2诺顿定理诺顿定理：任何一个有源二端线性网络都可以用一个电流源和电阻的并联来等效代替。等效电流源的电流等于有源二端网络的短路电流ISC，等效电阻等于有源二端网络中除去所有电源（电压源短路，电流源开路）后所得到的无源二端网络的等效电阻RO

。等效电源R0RLab+U–IISC有源二端网络RLab+U–I用前面戴维南定理中的例子来说明诺顿定理[例]

求图(a)所示电路的诺顿等效电路2302050V1AISC(b)V解：（1）计算短路电流，可以用节点法，见图(b)

。以下节点为参考节点，上节点电位设为V，得2302050V1A(a)1.10.2诺顿定理2302050V1A(a)23020(c)解得再由节点电位求得短路电流（2）由图(c)计算等效电阻。（3）得到图(d)所示的诺顿等效电路。3A(d)141.10.2诺顿定理2302050V1A(a)有源二端网络(b)戴维南等效电路42V14Ω(c)诺顿等效电路3A14对照有源二端网络(a)的戴维南等效电路(b)和诺顿等效电路(c)，考虑电压源与电流源的等效变换，有诺顿定理戴维南定理电源等效变换1.10.2诺顿定理图1.10.4例题1.10.2电路【例1.10.2】利用诺顿定理求图1.10.4(a)所示电路的电流I。1.10.2诺顿定理解：如图(c)所示，求得如图(d)所示，可得如图(e)所示，根据分流公式求得1.10.2诺顿定理[例]计算图(a)中所示电路的电流I。aI8/3bRUOC图(b)RISCIab8/3图(c)40VaI422140V11b图(a)解：本题可以应用戴维南定理求解，见图(b)；也可以用诺顿定理求解见图(c)。下面用诺顿定理求解。将图(a)中a、b右侧等效为电阻图(c)图(d)40Va4240VbISC计算图(a)中ab左侧的诺顿等效电路。利用图(d)计算短路电流和等效内阻RISCIab4/38/31.10.2诺顿定理在图（c)所示的电路中用分流公式计算待求电流RISCIab4/38/3图(c)30A1.10.2诺顿定理受控源实例晶体三极管i