第07章：几何建模与实体造型2014

第7章几何建模与实体造型7.1几何建模和造型技术概述几何建模(GeometryModeling也称为产品几何造型)：研究如何采用数学方法在计算机中表示物体的形状、大小、位置和结构等属性及其相互关系，以便在计算机中建立产品对象的几何模型(GeometricModel)。以产品实体造型建立的三维几何模型为基础，可以进一步进行运动学和动力学分析、模拟装配、运动仿真、干涉检查、数控程编以及加工模拟等，因此几何建模技术在很大程度上决定了CAD/CAM系统的技术水平。7.2产品建模与造型的基础知识对一个形体的表达和描述是建立在对其几何信息和拓扑信息处理的基础上的。几何信息指一个形体在欧氏空间中的形状、大小和位置信息拓扑信息用来表达形体各个组成部分间的相互关系。7.2.1形体的定义为了完整地描述一个形体，形体的几何模型应当同时包括产品对象的几何信息和拓扑信息这两个方面的信息。三维形体的几何信息和拓扑信息拓扑结构等价的两个几何形体形体的定义除了几何信息和拓扑信息外，形体的非几何信息主要包括形体的物理属性和工艺属性，如形体的质量、性能参数、公差、加工粗糙度和技术要求等信息。为了满足CAD/CAM系统集成的要求，非几何信息的描述和表示显得越来越重要。三维形体的层次结构任何一三维形体都可以由空间封闭面组成，面由一个或多个封闭环确定，而环又是由一组相邻的边组成，边由两点确定，点是最基本的拓扑信息，这种由点、边、环、面和实体等形成的层次结构，实际上反映了形体的几何信息以外的拓扑信息。1980年国际计算机辅助制造协会CAM-I在其所制定的有关标准中，规定了三维形体的层次结构数据模型标准。三维形体的层次结构1.点(Vertex)点是零维几何元素，也是几何造型中最基本的元素，任何形体都可用有序的点集来表示。从拓扑关系上，点是边的端点，通常所说的点包括端点、交点、切点、顶点和孤立点等。拓扑意义上的点可以对应几何意义上的坐标点、直线的端点、圆弧的端点或空间参数曲线的控制点等。1.点(Vertex)二维坐标系中的点可用二维直角坐标(x，y)或参数坐标(x(t)，y(t))来表示，三维空间中的点可用三维直角坐标(x,y,z)或参数坐标(x(t)，y(t)，z(t))来表示。一般地，N维空间中的点在齐次坐标系下可用由N+1个分量组成的向量来表示。点一般不能离开一个形体而孤立地存在。在自由曲线及曲面中还常用到三种类型的点，即控制点、型值点和插值点。2.边(Edge)边是一维几何元素，通常它是两个邻面的交线，直线边(Line)由两个端点确定，而曲线边(Curve)由一系列型值点(如插值曲线)或控制点来描述(如Beizer曲线)，也可用曲线方程来表示。边可以规定其方向从而成为有向边，在一个给定的面中一般规定边的逆时针方向为其正方向。在相邻的两个面中边的方向是相反的。对于直线边它的方向也可以指定为由起点指向终点。在相邻的两个面中边的方向相反3.环(Loop)环是有序、有向边组成的面的封闭边界，环有内外之分.确定面最大外边界的环称为面的外环，构成外环的边以逆时针方向为其正方向确定面中内孔或凸台等边界的环称为面的内环，与外环方向相反，构成内环的边以顺时针方向为正方向。根据定义，在面上沿一个环前进时，其左侧总是面内，而右侧总是面外。另外环中各边不能自交，环的相邻两边共享一个端点。由环构成面的两种情况4.面(Face)面是形体上一个有限、非零的区域。面可以对应几何意义上的平面、圆柱面、直纹面或参数曲面等，几何造型系统常用的面还包括平面、二次曲面和三次参数曲面等。从拓扑结构上，面可由一个外环和若干个内环来界定其范围，面也可以无内环，但至少必须有一个外环来确定其外边界。4.面(Face)由于区分面的正、反向在面面求交、交线分类、真实图形显示等应用中是十分重要的，因此要区分面的方向，一般用其外法矢方向(即指向形体外部且与面正交的方向)作为面的正方向。5.体(Object)体或称形体(Shape)由有限个封闭的边界面围成的非零空间区域，即三维空间中非空、有界的封闭子集，其边界是有限面的并集。为保证几何造型的可靠性和可加工性，要求形体上任意一点的足够小的邻域在拓扑上应是一个等价的封闭圆，即围绕该点的形体邻域在二维空间中可构成一个连通域，把满足这一定义的形体称之为正则形体。不满足上述要求的形体称为非正则形体非正则形体就是维数不一致的形体。非正则形体的例子形体的正则集合运算几何建模中形体的正则集合运算(BooleanSetOperations)的理论依据是集合论中的交(Intersection)、并(Union)和差(Difference)等集合运算，在基本体素的基础上通过集合运算就可以由简单形体构造出各种复杂的形体。形体的正则集合运算三种基本集合运算的定义如下：交集：C＝A∩B＝B∩A，形体C包含所有A与B的共同点；并集：C＝A∪B＝B∪A，形体C包含A与B的所有点；差集：C＝A－B，形体C包含从A中减去A和B共同点的其余点；几何造型中集合运算的定义集合运算实例7.3.1线框模型线框模型(WireframeModel)是二维工程图的直接延伸，它在二维图形绘制的基础上增加了用于表示深度的Z坐标，即把原来的平面直线和圆弧扩展到空间直线和圆弧，采用它们来表示形体的边界和外部轮廓。7.3线框模型、表面模型和实体模型单位立方体的顶点、棱线和面线框模型单位立方体是由6个表面形成，每个面由四条棱边构成，每条棱边通过两个端点来定义，这种关系形成一种树状结构。线框模型数据结构的关键在于正确地描述每一线框的棱边在计算机内部以点表和边表数据结构来表示和存储，点表描述了每个顶点的编号和坐标，而边表则给出了每条棱边的编号及其起点和终点的编号。单位立方体的线框模型线框模型线框模型具有很好的交互作图功能，用于构图的图素是点、线、圆、圆弧和B样条曲线等。线框模型所含的数据量较少，模型的数据结构和处理算法也比较简单和易于掌握，对计算机硬件的要求不高，运算速度快线框模型符合长期以来工程设计人员的设计习惯，通过线框模型可以方便地生成物体的工程图、轴侧图和透视图。线框模型的特点只能提供一个铁丝笼似的框架，无法描述曲面轮廓投影线等重要信息，也不能给出轮廓线内有关面的信息，所以有时除了设计者之外，别人很难对图形作出唯一的解释。线框模型的特点在线框模型的数据模型中缺少关于形体面和体的拓扑信息线框模型不能利用有关算法消除隐线，不能生成形体的剖视图，不能计算物体的体积、面积、重量和惯性矩等物性特征，也不能进行面的求交运算或生成刀具运动轨迹。在现代三维实体造型系统中，仍然需要引入线框模型以协助实体模型的建立。形体线框模型的二义性1.曲面模型的概念曲面模型(SurfaceModel)又称为表面模型，它是通过对物体各表面或曲面进行描述的一种三维形体构造模型，主要适用于其表面不能用简单的数学模型进行描述的物体，如飞机、汽车等的一些复杂外形表面。曲面模型在线框模型的基础上增加了有关面与边的拓扑信息，即同时给出了顶点的几何信息、边与顶点以及面与边之间的拓扑信息。7.3.2曲面模型单位立方体的表面模型曲面模型的数据结构要在线框模型数据结构的基础上增加面的有关信息与连接指针，单位立方体的曲面模型由六个边界平面围成的一个封闭空间来定义的，这些平面可分别由组成这个面的四条棱边来定义。2.曲面造型的几种常用方法根据曲面特征的不同，曲面造型中的曲面主要包括两种基本类型，即几何图形曲面(GeometricalSurfaces)和自由型曲面(FreeformSurfaces)。几何图形曲面是指那些具有固定几何形状的曲面，如球面、圆锥面、牵引曲面(DraftSurfaces)和旋转曲面(RevolvedSurfaces)等。自由型曲面主要包括各种二维和三维扫描曲面(SweepSurfaces)、孔斯曲面、Bezier曲面、B样条曲面和NURBS曲面等。1)扫描曲面根据扫描方法的不同，扫描曲面(SweptSurface)又可进一步分为：旋转扫描曲面轨迹扫描曲面通过扫描可以形成以下几种曲面形式：(1)线性拉伸面(2)旋转面(3)扫成面扫描曲面(1)线性拉伸面线性拉伸面是由一条曲线(母线)沿着某个直线方向移动而形成的曲面。(2)旋转面旋转面是由一条曲线(母线)绕某个给定的轴线，按给定的旋转半径旋转一定的角度而扫描成的曲面。旋转面(3)扫成面扫成面是由一条曲线(母线)沿着另一条或多条轨迹曲线扫描而成的面。扫成面直纹面和复杂曲面2)直纹面直纹面(RuledSurface)是以直线为母线，直线的两个端点在同一方向上分别沿着两条轨迹曲线移动所生成的曲面。圆柱面、圆锥面都是典型的直纹面。3)复杂曲面复杂曲面(ComplexSurface)的基本生成原理是：先确定曲面上特定的离散点(型值点)的坐标位置，通过拟合使曲面通过或逼近给定的型值点从而得到相应的曲面。一般地，曲面的参数方程不同，就可以得到不同类型及特性的曲面。常见的复杂曲面有：孔斯(Coons)曲面贝塞尔(Bezier)曲面B样条(B-spline)曲面7.3.3实体模型实体造型(SolidModeling)也称三维立体造型，是造型技术的高级形式，它是20世纪70年代后期开始发展起来的方法，具有完整性、清晰性和准确性，是目前三维CAD/CAM系统所普遍采用的几何建模方法。7.3.3实体模型实体模型(SolidModeling)不但能够在计算机屏幕上直观地显示产品对象的三维形体，而且能够表示形体的大小、外形、色泽、内外、体积、重心和转动惯量等物性，是CAD/CAM设计系统中设计对象的主要表达形式。实体模型还是进一步对设计对象进行工程分析的基础，通过实体模型可以在其他软件模块中进行应力、应变、稳定性和振动等分析，因此实体模型是产品设计自动化的基础。实体模型在实体模型的构造过程中，一个三维实体被看作是由一组有规则的基本几何体组成的，这些基本几何体称为体素(Primitive)，如立方体、圆柱体、锥体和球体等。虽然每个体素的计算机表示并不困难，但由体素组成零件时，体素之间的组合关系却千变万化，因此实体造型的核心问题是采用什么方法来表示这些基本体素间的关系。实体模型与线框造型相比，实体造型能准确地定义一个物体的几何形状，不会产生二义性。利用实体造型也可以对十分复杂的零件进行造型，提供物体完整的几何信息和拓扑信息。实体模型在实体造型中为了确定形体轮廓表面的哪一侧存在实体，常用有向棱边的右手法则来确定所在面的法线方向，并规定其正向指向体外。实际CAD/CAM系统中实体模型的数据结构比这里介绍的要复杂得多。单位立方体的实体模型7.4实体造型的方法实体造型的本质是要解决如何在计算机内部来表示一个实体模型，不同的表示方法决定了不同的实体模型种类。7.4.2构造实体几何法(CSG)构造实体几何法(ConstructiveSolidGeometry：CSG)，又称几何体素构造法，其研究的重点是如何用基本几何体(体素)来构造复杂组合实体，它是一种利用基本体素的变换和集合运算来构造几何形体的实体造型方法。在1977年由罗切斯特(Rochester)大学的Voelcker和Bequicha等人首先提出方法。构造实体几何法(CSG)CSG法在构造某个形体的实体模型时，将对这些基本体素施以并、交、差等集合运算，最终生成一棵有序的CSG二叉树，其中CSG二叉树的叶结点对应于一个基本体素，并记录体素的参数，而树的中间结点则对应于体素的平移或旋转等一元运算(只有一个体素参加的运算)以及并、交、差等二元正则集合运算(有二个体素参加的运算)，也用于表示经过这些运算生成的中间形体，树根即是最终生成的几何实体。CSG二叉树也可以看成是对三维实体进行单元体素分解的结果。CSG法构造实体的过程及CSG二叉树构造实体几何法(CSG)三维形体的CSG表示法与机械装配的方式类似。对机械产品来说一般先设计零件，然后将零件装配成产品。用CSG法构造几何形体时，则是先定义体素，然后通过布尔运算将体素拼合成所需要的几何体。因此CSG法所建立的实体模型也被称为隐式模型或过程模型。CSG法的优点(1)信息简单、处理方便且无冗余的几何信息，它详细地记录了构成几何体的原始特征和定义参数，必要时还可以附加几何体体素的各种属性；(2)CSG法表示的形体还具有唯一性和明确性；(3)用户操作方便，造型概念直观，可以通过修改形体生成的各个环节以改变形体的形状；(4)能够表示的实体范围较广，体素的种类越多，则能够构造出的形体也越多；(5)表达简单，构形直观、容易。CSG法的缺点(1)一个形体的CSG表示和描述方式不是唯一的，即可用几种不同的CSG树表示同一个形体；(2)CSG树仅仅定义了三维形体的构造方式，但它不能查询到形体较低层次的信息，例如形体有关顶点、边和面的几何信息和拓扑信息；(3)对形体的修改操作不能深入到形体的局部，例如对形体上某根直线无法直接进行拾取和删除操作；(4)直接基于CSG表达显示形体的效率很低，且不便于图形输出，也不能直接产生显示线框图所需要的数据，而必须经过边界计算程序的处理后才能完成从CSG到边界表示的转换。7.4.3边界表示法(B-rep)边界表示法B-rep(BoundaryRepresentation)是一种用三维形体的完整边界表面来定义和描述几何形体的方法，它能给出物体完整、显式的边界描述，CATIA和EUCLID等软件就是以边界表示法为基础的。B-rep边界表示法的基本观点是物体都由有限个面(平面或曲面)构成，这些面称为单元面，每个单元面都是由有限条边围成的封闭区域，单元面具有面积，所有这些单元面构成了形体的边界，形体边界将形体和它周围的环境分隔开来。实体的B-rep表示法边界表示法(B-rep)实体的几何信息(GeometryInformation)用于描述实体的大小、尺寸、位置和形状等方面，而实体的拓扑信息(TopologicalInformation)用于描述实体上所有的顶点、棱边和表面之间的连接关系。在B-rep表示法中，实体模型的数据结构可用：体表面表环表边表顶点表边界表示法(B-rep)(1)体表：几何体所包含的基本体素的名称以及它们之间的相互位置和拼合关系；(2)面表：几何体所包含的各个面的数学方程，每个面有且只有一个外环，如果面内有孔，则还有内环；(3)环表：组成环的边的信息；(4)边表中有直边、二次曲线边、三次样条曲线边以及各种面相贯后产生的高次曲线边等；(5)顶点表：端点或曲线的型值点信息。B-rep法中点不允许孤立地存在于几何的内部或外部，它只能在几何体的边界上。边界表示法的树形数据结构示意图边界表示法(B-rep)边界表示法B-rep强调形体的外表细节，它能够详细记录构成形体的所有几何元素的几何信息及相互间的拓扑关系，可以直接存取组成形体的各个面、面的边界以及各个顶点的定义参数，便于以边和面为基础进行各种几何运算和操作。7.4.4CSG与B-rep混合造型方法作为两种典型的实体造型方法，边界表示B-rep法以边界表示为基础，构造实体几何CSG法以体素为基础。B-rep法在图形处理上有明显的优点，因为这种方法与工程图的表示法很相近，有利于生成和绘制线框图、投影图、有限元网络划分和几何特性的计算。根据B-rep数据还可以迅速转换为曲面模型，它还便于计算机处理、交互设计与修改。此外B-rep表示法在生成浓淡图时也很方便，在显示速度和质量方面也有明显优点。另外用B-rep法描述平面、B样条曲面、Bezier曲面和Coons曲面都是可行的。CSG法与B－rep法的性能比较CSG与B-rep混合造型方法CSG法和B-rep表示法各有所长，因此在许多三维实体建模的CAD/CAM系统中，通常采用CSG和B-rep描述相结合的混合建模(HybridModeling)方法，即在用户界面上采用CSG法来建立系统的外部模型，以便充分发挥其直观、简单和方便的特点，而在计算机内部则采用B-rep描述法来建立系统的内部模型，利用它来记录三维形体的完整几何信息和拓扑信息，以确保实体模型信息的完整性与精确性。CSG与B-rep混合造型方法也有的混合造型系统中模型首先以CSG法存储，在显示时再生成边界表示模型，在计算物理特性时则可能要通过计算转换为分解模型供临时使用。但边界模型不能转化为CSG模型。7.4.5扫描表示法扫描表示法(SweepRepresentation)的基本原理是用曲线、曲面或形体沿某一路径运动后生成二维或三维物体。这种表示方法的实施需要两个条件：其一是给出一个在扫描过程中移动的形体，称为基体。基体可以是曲线、曲面或三维实体，它是扫描表示法的关键，如果