统计学第五章

第五章综合指标分析法第五章综合指标分析法§5.1综合指标概述§5.2总量指标的计算与应用§5.3相对指标的计算与应用§5.4平均指标的计算与应用§5.5变异指标的计算与应用即统计指标，是说明社会经济现象总体数量方面的概念和数值，是对具体社会经济现象数量的综合反映。综合指标表现形式：绝对数、相对数和平均数第一节综合指标概述一、综合指标的概念反映现象总体规模或水平的综合指标，即数量指标，也称为绝对数。总量指标二、综合指标的种类指应用对比的方法来反映相关事物之间数量联系程度的指标，也称为相对数。相对指标反映现象总体各单位某一数量标志的一般水平，又称统计平均数。平均指标说明总体各单位标志值变异程度大小，又称离散指标，或离中趋势指标。变异指标是认识社会经济现象的起点；是进行宏观经济调控和企业经营管理的主要依据；是计算其他统计指标的基础。第二节总量指标的计算与应用一、总量指标的作用总体标志总量总体单位总量按反映的总体内容不同分为：二、总量指标的种类按反映的时间状况不同分为：时期指标时点指标按计量单位不同分为：实物指标劳动量指标价值指标总体标志总量总体单位总量一个总体中只有一个单位总量，但可以有多个标志总量，它们由总体单位的数量标志值汇总而来。总体各单位某一数量标志的标志值总和总体所包含的总体单位的数量时期指标时点指标表明现象总体在一段时期内发展过程的总量，如：在某一段时期内的出生人数、死亡人数表明现象总体在某一时刻（瞬间）的数量状况，如：在某一时点的总人口数具有可加性、数值大小与时期长短有直接关系、需要连续登记汇总不具有可加性、数值大小与时点间隔长短一般没有直接关系、由一次性登记调查得到实物单位自然单位度量衡单位标准实物单位价值单位劳动单位计量单位如：台、件如：米、平方米如：吨标准煤如：工日、工时如：元、美元复合计量单位如：吨公里、千瓦时总量指标一般通过全面调查登记取得数据，再逐步计算汇总得出，少数采用估计推算的方法。统计方法：三、总量指标的计算和运用正确规定总量指标所表示的各种社会经济现象的概念、构成内容和计算范围，确定计算方法。基本原则：符号及运算规则

总和表示形式：求和规则：第三节相对指标的计算与应用一、相对指标的作用和表现形式可以反映总体的结构、比例、速度和密度等内部特征，对总体进行更深入的分析和研究

；将现象规模的差异抽象化，使原来不能直接用总量指标对比的现象找到直接对比的基础。相对指标的作用：甲企业乙企业利润总额资金占用资金利润率500万元5000万元3000万元40000万元16.7%12.5%比较两厂经济效益不可比不可比可比无名数有名数用倍数、系数、成数、﹪、‰等表示用双重计量单位表示的复名数相对指标的表现形式倍数与成数一般用整数的形式来表述5倍、3成、近7成8.6成分母为1分母为1.00分母为10分母为100分母为1000二、相对指标的种类和计算方法结构相对数比例相对数比较相对数计划完成程度相对数强度相对数动态相对数例：我国某年国民收入使用额为19715亿元，其中消费额为12945亿元，积累额为6770亿元。则说明⒈为无名数；⒉同一总体各组的结构相对数之和为1；⒊用来分析现象总体的内部构成状况。例：我国某年国民收入使用额为19715亿元，其中消费额为12945亿元，积累额为6770亿元。则⒈为无名数，可用百分数或一比几或几比几表示；⒉用来反映组与组之间的联系程度或比例关系。说明例：某年某地区甲、乙两个公司商品销售额分别为5.4亿元和3.6亿元。则⒈为无名数，一般用倍数、系数表示；⒉用来说明现象发展的不均衡程度。说明

是同类指标数值在不同时间上的对比，也称发展速度。动态相对数⒈为无名数，一般用百分数表示；⒉用来反映现象的数量在时间上的变动程度。说明例：某年某地区年平均人口数为100万人，在该年度内出生的人口数为8600人。则该地区一般用﹪、‰表示。其特点是分子来源于分母，但分母并不是分子的总体。无名数的强度相对数例：某地区现有总人口为100万人，医院床位总数为24700张。则该地区（正指标）（逆指标）为用双重计量单位表示的复名数，反映的是一种依存性的比例关系或协调关系，可用来反映经济效益、经济实力、现象的密集程度等。有名数的强度相对数⒈短期计划完成情况的检查⑴计划数与实际数同期时，直接应用公式:A.计划任务数表现为绝对数时例：某企业2005年计划产量为10万件，而实际至第三季度末已生产了8万件，全年实际共生产11万件。则⑵考察计划执行进度情况:⒉长期计划完成情况的检查⑴累计法计划指标按计划期内各年的总和规定任务例：某市计划“十五”期间要完成社会固定资产投资总额60亿元，计划任务的实际完成情况为：年份20012002200320042005合计投资额（亿元）11.411.912.512.813.161.7其中，2005年各月份实际完成情况为（单位：亿元）：月份123456789101112投资额1.11.01.21.11.11.11.21.21.31.10.90.8要求计算：⒈该市“十五”期间固定资产投资计划的完成程度;⒉提前完成计划的时间。已累计完成固定资产投资额60亿元解：提前完成计划时间：因为到2005年10月底已完成固定资产累计投资额60亿元（61.7–0.8–0.9=60），即已完成计划任务，提前完成计划两个月。例：某市计划“十五”期间要完成社会固定资产投资总额60亿元，计划任务的实际完成情况为：年份20012002200320042005合计投资额（亿元）11.411.912.512.813.161.7其中，2005年各月份实际完成情况为（单位：亿元）：月份123456789101112投资额1.11.01.21.11.11.11.21.21.31.10.90.81.10.8如何确定提前完成计划的时间?思考月份123456789101112投资额1.11.11.21.11.11.11.21.21.31.10.80.8【分析】已累计完成固定资产投资额60.1亿元已累计完成固定资产投资额59亿元可以判断出，计划任务应是在2005年10月份的某一天完成的假定10月份每天都完成相等的投资额59亿元60.1亿元601亿元0.1亿元在2005年10月为完成尚差的1.0亿元投资额的计划任务需要的天数：【方法一】在2005年10月为完成超额的0.1亿元的投资额所用的天数：【方法二】即提前完成任务两个月零两天。即提前完成任务两个月零两天。⑵水平法计划指标以计划末期应达到的水平规定任务⒉长期计划完成情况的检查例：某自行车厂计划“十五”末期达到年产自行车120万辆的产量，实际完成情况为：年份20012002200320042005产量（万辆）108114117119123其中，最后两年各月份实际产量为（单位：万辆）：要求计算：⒈该厂“十五”期间产量计划的完成程度；⒉提前完成计划的时间。月份1234567891011122004年9.69.69.89.89.99.910.010.010.110.110.110.12005年10.110.110.210.210.210.210.210.310.310.410.410.4+0.5+0.5=120解：提前完成计划时间：因为自2004年3月起至2005年2月底连续12个月的时间内该厂自行车的实际产量已达到120万辆〔119+﹙10.1–9.6﹚+（10.1–9.6）=120〕，即已完成计划任务，提前完成计划10个月。例：某自行车厂计划“十五”末期达到年产自行车120万辆的产量，实际完成情况为：年份20012002200320042005产量（万辆）108114117119123其中，最后两年各月份实际产量为（单位：万辆）：月份1234567891011122004年9.69.69.89.89.99.910.010.010.110.110.110.12005年10.110.110.210.210.210.210.210.310.310.410.410.410.010.010.510.5如何确定提前完成计划的时间?思考【分析】月份1234567891011122004年9.69.69.89.89.99.910.010.010.110.110.110.12005年10.010.010.210.210.210.210.210.310.310.410.510.5+0.4+0.4=119.8月份1234567891011122004年9.69.69.89.89.99.910.010.010.110.110.110.12005年10.010.010.210.210.210.210.210.310.310.410.510.5=120.2+0.4+0.4+0.4可以判断出，计划任务应是在2005年3月份的某一天完成的（尚未完成计划）（已超额完成计划）2004年3月2005年3月9.8万辆10.2万辆全月轮换将共增加0.4万辆每轮换一天将增加（）万辆在2005年3月份为完成尚差的0.2万辆的计划任务还需要的天数：即提前完成任务九个月零15天。B.计划任务数表现为相对数时例：己知某厂2005年的计划规定产品产量要比上年实际提高5﹪而实际提高了7﹪。则百分点相当于百分数的计量单位，一个百分点就指1﹪。上例中，实际比计划多提高的百分点为（7﹪-5﹪）×100=2（个百分点）实际工作中常用，但并不是相对数可比性原则；定性分析与定量分析相结合；相对指标与总量指标结合运用；各种相对指标综合运用。三、正确运用相对指标的原则时间一致；口径一致（总体范围、计算价格、计量单位、经济内容等）；计算方法一致。可比性原则注意指标间的可比性2005年的工业总产值（当年价格）1985年的工业总产值（当年价格）2005年中国的国民收入（人民币元）2005年美国的国民收入（美元）正确选择对比基础本单位历史水平本行业（全国）平均（先进）水平经济效益指数＝某经济效益指标实际值该经济效益指标标准值价格定基指数＝某期价格水平某固定基期的价格水平经济发展、价格水平均较为正常的时期定性与定量分析相结合不识字人口数全部人口数15岁及15岁以上不识字人口数15岁及15岁以上全部人口数√文盲率相对指标抽象掉了具体的数量差异:1:2=50%

10000:20000=50%1998年相对于1997年，美国的GDP增长速度为3.9％，同期中国GDP增长速度为7.8％，恰好为美国的2倍；但根据同期汇率（1美元兑换8.3元人民币），1998年中国GDP总量约合9671亿美元，约相当于同期美国GDP总量84272亿美元的1/9。相对指标与总量指标结合使用结构相对数比例相对数比较相对数动态相对数计划完成相对数强度相对数（部分与总体关系）（部分与部分关系）（横向对比关系）（纵向对比关系）（实际与计划关系）（关联指标间关系）各种相对指标综合运用人口性别比为1.03：11999年末我国共有总人口12.6亿人，其中男性人口为6.4亿，女性人口为6.2亿。男性人口的比重为50.8﹪人口密度是美国的4.5倍人口密度为130人/平方公里人口出生率为15.23‰女性人口的比重为49.2﹪比1980年末的9.9亿人增加了28﹪社会经济现象总体各单位某一标志在一定时间、地点条件下所达到的一般水平。平均指标代表性：反映具体条件下各单位标志值的一般水平抽象性：将总体各单位标志值的差异抽象化只用于对数量标志求平均随着条件的变化而变化第四节平均指标的计算与应用一、平均指标的特点与作用特点：平均指标的作用反映总体各单位变量分布的集中趋势和一般水平；比较同类现象在不同单位的发展水平；比较同类现象在不同时期的发展变化趋势或规律；分析现象之间的依存关系。 平均指标按计算方法分类算术平均数调和平均数几何平均数

数值平均数位置平均数众数中位数二、平均指标的计算与应用基本形式：例：直接承担者※注意区分算术平均数与强度相对数（一）算术平均数A.简单算术平均数——适用于总体资料未经分组整理、尚为原始资料的情况式中：为算术平均数;为总体单位总数；为第个单位的标志值。算术平均数的计算方法平均每人日销售额为：算术平均数的计算方法某售货小组5个人，某天的销售额分别为520元、600元、480元、750元、440元，则【例】B.加权算术平均数——适用于总体资料经过分组整理形成变量数列的情况式中：为算术平均数;为第组的次数；为组数；为第组的标志值或组中值。算术平均数的计算方法【例】某企业某日工人的日产量资料如下：日产量（件）工人人数（人）101112131470100380150100合计800计算该企业该日全部工人的平均日产量。算术平均数的计算方法解：算术平均数的计算方法若上述资料为组距数列，则应取各组的组中值作为该组的代表值用于计算；此时求得的算术平均数只是其真值的近似值。说明分析：成绩（分）人数（人）甲班乙班丙班603912010013920平均成绩（分）619980起到权衡轻重的作用算术平均数的计算方法决定平均数的变动范围表现为次数、频数、单位数；即公式中的表现为频率、比重；即公式中的算术平均数的计算方法变量数列中各组标志值出现的次数（频率），反映了各组的标志值对平均数的影响程度。权数绝对权数相对权数算术平均数的主要数学性质算术平均数与标志值个数的乘积等于各标志值的总和，即：或变量值与其算术平均数的离差之和恒等于零，即：或变量值与其算术平均数的离差平方和为最小，即：或证明：设x0为任意值，当时，离差的概念12345678-1-1-213算术平均数的主要数学性质上述性质使算术平均数在计算和分析时具有简捷、便利的特点。【例】

设X=（2，4，6，8），则其调和平均数可由定义计算如下：⒉再求算术平均数：⒈求各标志值的倒数：，，，⒊再求倒数：是总体各单位标志值倒数的算术平均数的倒数，又叫倒数平均数调和平均数（二）调和平均数A.简单调和平均数——适用于总体资料经过分组整理，且各组标志总量相等的情况式中：为调和平均数;为变量值的个数；为第个变量值。调和平均数的计算方法B.加权调和平均数——适用于总体资料经过分组整理，且各组标志总量不相等的情况。式中：为第组的变量值；为第组的标志总量。调和平均数的计算方法日产量（件）各组工人日总产量（件）10111213147001100456019501400合计9710【例】某企业某日工人的日产量资料如下：计算该企业该日全部工人的平均日产量。调和平均数的应用即该企业该日全部工人的平均日产量为12.1375件。调和平均数的应用解：——当己知各组变量值和标志总量时，作为算术平均数的变形使用。因为：调和平均数的应用求解比值的平均数的方法由于比值（平均数或相对数）不能直接相加，求解比值的平均数时，需将其还原为构成比值的分子、分母原值总计进行对比。设比值

分子变量分母变量则有：求解比值的平均数的方法己知，采用基本平均数公式己知，采用加权算术平均数公式己知，采用加权调和平均数公式比值【例A】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下：计划完成程度（﹪）组中值（﹪）企业数（个）计划产值（万元）90以下90～100100～110110以上8595105115231038002500172004400合计—1824900计算该公司该季度的平均计划完成程度。求解比值的平均数的方法【例A】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下：计划完成程度（﹪）组中值（﹪）企业数（个）计划产值（万元）90以下90～100100～110110以上8595105115231038002500172004400合计—1824900计算该公司该季度的平均计划完成程度。求解比值的平均数的方法分析：应采用加权算术平均数公式计算【例B】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下（按计划完成程度分组）：组别企业数（个）计划产值（万元）实际产值（万元）12342310380025001720044006802375180605060合计182490026175计算该公司该季度的平均计划完成程度。求解比值的平均数的方法【例B】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下（按计划完成程度分组）：组别企业数（个）计划产值（万元）实际产值（万元）12342310380025001720044006802375180605060合计182490026175计算该公司该季度的平均计划完成程度。求解比值的平均数的方法分析：应采用平均数的基本公式计算是N项变量值连乘积的开N次方根几何平均数用于计算现象的平均比率或平均速度应用：各个比率或速度的连乘积等于总比率或总速度；相乘的各个比率或速度不为零或负值。应用的前提条件：（三）几何平均数A.简单几何平均数式中：为几何平均数;为变量值的个数；为第个变量值。几何平均数的计算方法【例】某流水生产线有前后衔接的五道工序。某日各工序产品的合格率分别为95﹪、92﹪、90﹪、85﹪、80﹪，求整个流水生产线产品的平均合格率。分析：设最初投产100A个单位，则第一道工序的合格品为100A×0.95；第二道工序的合格品为（100A×0.95）×0.92；……第五道工序的合格品为（100A×0.95×0.92×0.90×0.85）×0.80；因该流水线的最终合格品即为第五道工序的合格品，故该流水线总的合格品应为100A×0.95×0.92×0.90×0.85×0.80；则该流水线产品总的合格率为：即该流水线总的合格率等于各工序合格率的连乘积，符合几何平均数的适用条件，故需采用几何平均法计算。因该流水线的最终合格品即为第五道工序的合格品，故该流水线总的合格品应为100A×0.95×0.92×0.90×0.85×0.80；则该流水线产品总的合格率为：即该流水线总的合格率等于各工序合格率的连乘积，符合几何平均数的适用条件，故需采用几何平均法计算。解：思考若上题中不是由五道连续作业的工序组成的流水生产线，而是五个独立作业的车间，且各车间的合格率同前，又假定各车间的产量相等均为100件，求该企业的平均合格率。几何平均数的计算方法因各车间彼此独立作业，所以有第一车间的合格品为：100×0.95；第二车间的合格品为：100×0.92；……第五车间的合格品为：100×0.80。则该企业全部合格品应为各车间合格品的总和，即总合格品=100×0.95+……+100×0.80几何平均数的计算方法分析：不再符合几何平均数的适用条件，需按照求解比值的平均数的方法计算。又因为应采用加权算术平均数公式计算，即B.加权几何平均数——适用于各变量值出现的次数不同的情况式中：为几何平均数;为第组的次数；为组数；为第组的标志值或组中值。几何平均数的计算方法【例】某金融机构以复利计息。近12年来的年利率前4年为3﹪，下2年为5﹪，下2年为8﹪，下3年为10﹪，最后1年为15﹪。求平均年利率。设本金为V，则至各年末的本利和应为：第1年末的本利和为：第2年末的本利和为：………………第12年末的本利和为：分析：第2年的计息基础第12年的计息基础则该笔本金12年总的本利率为：即12年总本利率等于各年本利率的连乘积，符合几何平均数的适用条件，故计算平均年本利率应采用几何平均法。解：几何平均数的计算方法思考若上题中不是按复利而是按单利计息，且各年的利率与上相同，求平均年利率。分析第1年末的应得利息为：第2年末的应得利息为：第12年末的应得利息为：…………设本金为V，则各年末应得利息为：则该笔本金12年应得的利息总和为：=V（0.03×4+0.05×2+……+0.15×1）这里的利息率或本利率不再符合几何平均数的适用条件，需按照求解比值的平均数的方法计算。因为假定本金为V所以，应采用加权算术平均数公式计算平均年利息率，即：解：（比较：按复利计息时的平均年利率为6.85﹪）是否为比率或速度各个比率或速度的连乘积是否等于总比率或总速度是否为其他比值是否否是否是几何平均法算术平均法求解比值的平均数的方法数值平均数计算公式的选用顺序指标或调和平均法幂平均数k阶幂平均数：当k=1时，1阶幂平均数为算术平均数。当k=-1时，-1阶幂平均数为调和平均数。当时，为几何平均数。幂平均数是关于k的递增函数，因此调和平均数小于等于几何平均数，小于等于算术平均数。算术平均数、调和平均数与几何平均数的大小关系：指总体中出现次数最多的变量值，用表示,它不受极端数值的影响，用来说明总体中大多数单位所达到的一般水平。众数（四）众数很直观，且不受极端值影响既适用于变量数列，又适用于品质数列优点：日产量（件）工人人数（人）101112131470100380150100合计800【例A】已知某企业某日工人的日产量资料如下:众数的确定（对品质数列或单项数列）计算该企业该日全部工人日产量的众数。众数的确定（等距数列）【例B】某车间50名工人月产量的资料如下：月产量（件）工人人数（人）向上累计次数（人）200以下200～400400～600600以上373283104250合计50—计算该车间工人月产量的众数。概约众数：众数所在组的组中值，在本例为500件众数的确定下限公式：上限公式：注意：不等距数列确定众数时应根据频数密度或频率密度，以消除组距不同的影响。众数的原理及应用83名女生身高原始数据83名女生身高组距数列当数据分布存在明显的集中趋势，且有显著的极端值时，适合使用众数；当数据分布的集中趋势不明显或存在两个以上分布中心时，不适合使用众数（前者无众数，后者为双众数或多众数，也等于没有众数）。众数的原理及应用将总体各单位标志值按大小顺序排列后，指处于数列中间位置的标志值，用表示中位数不受极端数值的影响，在总体标志值差异很大时，具有较强的代表性。中位数的作用：（五）中位数中位数的位次为：即第3个单位的标志值就是中位数【例A】某售货小组5个人，某天的销售额按从小到大的顺序排列为440元、480元、520元、600元、750元，则中位数的确定（未分组资料）中位数的位次为：中位数应为第3和第4个单位标志值的算术平均数，即【例B】若上述售货小组为6个人，某天的销售额按从小到大的顺序排列为440元、480元、520元、600元、750元、760元，则中位数的确定（未分组资料）【例C】某企业某日工人的日产量资料如下：日产量（件）工人人数（人）向上累计次数（人）10111213147010038015010070170550700800合计800—计算该企业该日全部工人日产量的中位数。中位数的位次：中位数的确定（单项数列）中位数的确定（组距数列）【例D】某车间50名工人月产量的资料如下：月产量（件）工人人数（人）向上累计次数（人）200以下200～400400～600600以上373283104250合计50—计算该车间工人月产量的中位数。中位数的确定（组距数列）共个单位共个单位共个单位共个单位LU中位数组组距为d共个单位假定该组内的单位呈均匀分布共有单位数

中位数下限公式为

该段长度应为

中位数的确定下限公式：上限公式：数值平均数与位置平均数的比较概括能力灵敏度耐抗性适用的数据类型数值平均数强高弱窄位置平均数弱低强宽（六）算术平均数和众数、中位数的关系算术平均数：代表性强，便于计算和分析众数、中位数：很直观已知两总体的单位数和算术平均数，将它们合成一个新总体后，可计算出新总体的算术平均数。算术平均数的性质：众数和中位数无此性质对两变量X和Y有：算术平均数和众数、中位数的数量关系右偏(正偏)时，算术平均数受极大值的影响，有：左偏(负偏)时，算术平均数受极小值的影响，有：对称钟型分布：非对称钟型分布：三者通常不等，其差别取决于偏斜的方向和程度。算术平均数和众数、中位数的数量关系皮尔生经验规则：在适度偏斜的钟型分布情形下，中位数一般介于众数与算术平均数之间；且中位数与算术平均数的距离，大约只是中位数与众数之距离的一半。因此，该零件的直径分布为右偏【例】某车间生产的一批零件尺寸呈轻微偏斜的钟型分布，已知其中直径大于402厘米的占一半，众数为400厘米，试估计其平均数，并判定其偏斜方向。算术平均数和众数、中位数的数量关系已知Me=402，Mo=400总体的同质性是计算和应用平均数的前提条件和基础；社会经济统计中应用的算术平均数、调和平均数、几何平均数、众数和中位数，各有其特点和适用条件；要用组平均数补充说明总平均数；应当用变量数列和典型单位的资料补充说明平均数。

三、计算和应用平均指标的基本原则课程学生语文数学英语总成绩平均成绩甲乙丙606555656565706575195195195656565单位：分某班三名同学三门课程的成绩如下：请比较三名同学学习成绩的差异。第五节变异指标的计算与应用指总体中各单位标志值背离分布中心的规模或程度，用标志变异指标来反映。离中趋势反映统计数据差异程度的综合指标，也称为标志变动度变异指标值越大，平均指标的代表性越小；反之，平均指标的代表性越大集中趋势弱、离中趋势强集中趋势强、离中趋势弱一、变异指标的作用反映变量分布的离中趋势或发散程度；衡量平均指标代表性的大小；反映社会经济活动过程的均衡程度与稳定程度；是进行抽样推断等统计分析的基本指标。 测定标志变异度的绝对量指标（与原变量值名数相同）测定标志变异度的相对量指标（表现为无名数）极差平均差标准差极差系数平均差系数标准差系数变异指标的种类四分位差指所研究的数据中，最大值与最小值之差，又称全距。极差最大变量值或最高组上限或开口组假定上限最小变量值或最低组下限或开口组假定下限【例A】某售货小组5人某天的销售额分别为440元、480元、520元、600元、750元，则二、变异指标的计算与应用【例B】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下：计划完成程度（﹪）组中值（﹪）企业数（个）计划产值（万元）90以下90～100100～110110以上8595105115231038002500172004400合计—1824900计算该公司该季度计划完成程度的全距。优点:直观、计算方法简单、运用方便缺点:受极端数值的影响，不能全面反映所有标志值差异大小及分布状况，准确程度差往往应用于生产过程的质量控制中极差的特点用数列中3/4位次与1/4位次的标志值之差来表示，用Q.D.表示四分位差【例】班级共有35名学生，按成绩从高到低排列，1/4位次即：（35+1）/4（第9个）和3/4位次即：3×（35+1）/4（第27个）学生的成绩分别是85和66，所以该班级学生成绩的四分位差为Q.D.=(85-66)=19(分)。⑴简单平均差——适用于未分组资料是各个数据与其算术平均数的离差绝对值的算术平均数，用A.D.表示平均差计算公式：总体算术平均数总体单位总数第i个单位的变量值【例A】某售货小组5个人，某天的销售额分别为440元、480元、520元、600元、750元，求该售货小组销售额的平均差。解：即该售货小组5个人销售额的平均差为93.6元。⑵加权平均差——适用于分组资料平均差的计算公式总体算术平均数第i组变量值出现的次数第i组的变量值或组中值【例B】计算下表中某公司职工月工资的平均差。月工资（元）组中值（元）职工人数（人）300以下300～400400～500500～600600～700700～800800～900900以上2503504505506507508509502083143824563052377820合计—2000解：即该公司职工月工资的平均差为138.95元。优点:不易受极端数值的影响，能综合反映全部单位标志值的实际差异程度；缺点:用绝对值的形式消除各标志值与算术平均数离差的正负值问题，不便于作数学处理和参与统计分析运算。平均差的特点一般情况下都是通过计算另一种标志变异指标——标准差，来反映总体内部各单位标志值的差异状况⑴简单标准差——适用于未分组资料是各个数据与其算术平均数的离差平方的算术平均数的开平方根，用来表示；标准差的平方又叫作方差，用来表示。标准差计算公式：总体单位总数第i个单位的变量值总体算术平均数【例A】某售货小组5个人，某天的销售额分别为440元、480元、520元、600元、750元，求该售货小组销售额的标准差。解：（比较：其销售额的平均差为93.6元）即该售货小组销售额的标准差为109.62元。⑵加权标准差——适用于分组资料标准差的计算公式总体算术平均数第i组变量值出现的次数第i组的变量值或组中值【例B】计算下表中某公司职工月工资的标准差。月工资（元）组中值（元）职工人数（人）300以下300～400400～500500～600600～700700～800800～900900以上2503504505506507508509502083143824563052377820合计—2000解：（比较：其工资的平均差为138.95元）即该公司职工月工资的标准差为167.9元。标准差的特点不易受极端数值的影响，能综合反映全部单位标志值的实际差异程度；用平方的方法消除各标志值与算术平均数离差的正负值问题，可方便地用于数学处理和统计分析运算。由同一资料计算的标准差的结果一般要略大于平均差。证明：由于幂平均数关于其阶数递增，平均差是1阶幂平均数，标准差是2阶幂平均数。简单标准差加权标准差标准差的简捷计算避免离差平方和在计算过程中的出现目的:变量值平方的平均数变量值平均数的平方标准差的简捷计算证明总方差、组间方差和组内方差组内方差：组内标志值对组平均数的方差，用表示第i组组内方差。组间方差：组平均数对总平均数的方差，用表示组间方差。在总体分组的条件下，总方差等于组间方差与组内方差平均数之和。即：方差加法定理：【例】根据某城市居民家计调查结果，将500户居民按年收入水平分组后，分别观察其恩格尔系数（食品支出占全部消费支出的比重），整理得到如下的复合分组资料。试以恩格尔系数为考察变量，利用表中资料计算该变量的总方差、组内方差和组间方差，并验证三者之间的数量关系。年收入水平合计2万元以下2~5万