哈工程3系自控原理Bchap4

第四章线性系统根轨迹法稳定性动态性能即闭环极点闭环特征方程的根引言问题：系统闭环特征方程的根如何求取！闭环控制系统的稳定性和性能指标主要由闭环系统极点在复平面的位置决定，因此，分析和设计系统时确定出闭环极点位置是十分有意义的。根轨迹法：根据反馈控制系统的开、闭环传递函数之间的关系，直接由开环传递函数零、极点求出闭环极点（闭环特征根）。这给系统的分析和设计带来了极大的方便。

一、根轨迹的基本概念【根轨迹】开环传递函数某一参数（如开环增益）从零变到无穷时，闭环传递函数特征方程式的根（闭环极点）在［s］平面上行走的轨迹。根轨迹是系统所有闭环极点的集合。例1：设有一单位负反馈的二阶系统，其开环传递函为K－开环增益(1)将G(s)转化为零极点形式：K*=2K－根轨迹增益(2)求开环极点：s1=0，s2=－2。(3)求闭环极点：

闭环系统的特征方程式：s1,s2与K*有关

K=0→∞,闭环极点s1,s2在在[s]平面上的变化规律如右图所示。粗实线为系统的根轨迹,箭头表示随着K值的增加，根轨迹的变化趋势。KK*s1s2000-20.250.5-0.3-1.70.51-1-112-1+j-1-j2.55-1+j2-1-j2∞∞-1+j∞-1-j∞二、性能分析1、当K＝0→∞，根轨迹都分布在s平面的左半部，所有K值都是稳定的。2、分析高阶系统的根轨迹时，根轨迹有可能越过虚轴进入s右半平面，3、根轨迹与虚轴交点处的K值就是临界开环增益。稳定性分析动态性能分析0<K<0.5，闭环极点位于实轴上，系统为过阻尼系统，单位阶跃响应为非周期单调上升过程；

K=0.5，两个闭环实数极点重合，系统为临界阻尼，单位阶跃响应仍为非周期过程；但响应速度比0<K<0.5时快；

K>0.5时，共轭复数极点，欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼震荡过程。稳态性能分析开环系统在坐标原点有一个极点，一型系统；在斜坡输入下，稳态误差＝1/K。

如果给定系统的稳态误差要求，则由根轨迹图可以确定闭环极点位置的容许范围。

三、闭环零极点与开环零极点之间的关系

一般情况下，前向通路传递函数G(s)可表示为：

为前向通路增益；为前向通路根轨迹增益。反馈通路传递函数H(s)可表示为：

为反馈通路根轨迹增益。则系统的开环传递函数可表示为：称为开环系统根轨迹增益。

对于有

m

个开环零点和n个开环极点的系统，必有mG+mH=m和nG+nH=n

。则：闭环零、极点与开环零、极点之间的关系3)闭环极点与开环零点、开环极点以及开环根轨迹增益K*

均有关。1)闭环系统的根轨迹增益等于开环系统前向通路根轨迹增益。对单位反馈系统而言，闭环系统根轨迹增益就等于开环系统根轨迹增益。2)闭环零点由开环前向通路零点与反馈通路极点组成。对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。（不随K*变化，不必专门研究

）四、绘制根轨迹的依据

根轨迹方程1±G(s)H(s)＝0闭环系统的特征方程：G(s)——反馈系统的前向通道传递函数；H(s)——反馈系统主反馈通道传递函数；G(s)H(s)——反馈系统的开环传递函数。“＋”负反馈系统；“－”正反馈系统；常规根轨迹:根轨迹增益变化所对应的轨迹。广义根轨迹:其他参数变化所对应的轨迹。绘制根轨迹的依据:写成复平面内指数形式：s所满足的条件为：幅值条件：|G(s)H(s)|=1联解幅值条件和相角条件方程求解根轨迹方程。G(s)H(s)＝－1|G(s)H(s)|ej∠G(s)H(s)=1×ej(2k+1)

k=0,1,2…相角条件：∠G(s)H(s)=(2k+1)k=0,1,2…将系统的开环传递函数写成如下零、极点标准形式：此时，幅值条件相角条件式中――可变参数，称参变量，根轨迹增益。pi――系统的开环极点

zi――系统的开环零点幅值方程不但与开环零、极点有关，还与开环根轨迹增益有关；而相角方程只与开环零、极点有关。相角方程是决定系统闭环根轨迹的充分必要条件。注意：【结论】凡是同时满足相角条件和幅值条件的复数s＝闭环特征方程式的根；根轨迹包含参变量K在0→∞范围内变化时特征方程的全部根，所以在s平面上只要能满足相角条件的点si，都是对应一定参变量Ki的系统特征方程的根。

绘制根轨迹的依据（充分必要条件）：

在s平面上，凡能满足相角条件，就是闭环特征方程式的根。例1

S213例2单位反馈系统的开环传递函数

一个开环极点

P1=0

负实轴上点s1s2=-1-j负实轴上的点都是根轨迹上的点！

负实轴外的点都不是根轨迹上的点！例3设有一反馈控制系统的开环传递函数为:1)利用幅角条件-P1-P3-P2-Z1S126O45O79O120O解:满足幅角条件的点都是根轨迹上的点,所以检验点s1=-1.5+j2.5是否在根轨迹上;

并确定与其相对应

值.

2)由幅值条件求s1相对应的

值=12.15五、常规根轨迹的绘制法则绘制根轨迹的基本规则根轨迹方程：

G(s)H(s)＝－1充分必要条件：满足相角条件幅值条件：相角条件：<规则一>根轨迹的分支数分支数=D(s)的阶数=Max(n,m)=特征根的个数n条分支闭环特征方程根的数目就等于m和n中的大者，所以根轨迹的分支数必与开环有限零、极点数中的大者相同。<规则二>根轨迹的连续性和对称性根轨迹是连续的：参变量k从0到∞连续变化；特征方程的某一系数连续变化；特征方程的根连续变化。根轨迹对称于实轴：特征方程的系数是实数闭环系统特征方程的根：实数＋共轭复数根根轨迹对称于实轴<规则三>根轨迹的起点和终点起点：起始于开环极点闭环极点＝开环极点终点：终止于开环零点闭环极点＝开环零点如果m<n,一共有n条根轨迹，其中：m条趋向于开环零点n-m条根轨迹趋向于无穷远处。<规则四>根轨迹的渐近线随参变量K*＝0→∞,n-m条根轨迹趋向于无穷远处。渐近线：

――n-m条根轨迹趋向于无穷远处的方位。渐近线与实轴交点――渐近线与实轴夹角――(k=0,1,2,…，n-m-1)可以证明：所有的渐进线共同交实轴于一点(σa，j0)约定：相角逆时针为正，顺时针为负。例：1零极点：n＝4p1=0,p2=-4,p3,4＝－1±jm＝1z1=-12四条根轨迹3渐近线：n-m=3条k=060°k=1180°k=2300°或者-60°<规则五>实轴上的根轨迹确定实轴上那一段属于根轨迹上的点1零极点：n＝4p1=0,p2=-4,p3,4＝－1±jm＝1z1=-12四条根轨迹3渐近线：n-m=3条k=060°k=1180°k=2300°或者-60°对于S1：s1是根轨迹实轴上的点。对于S2：s2不是根轨迹实轴上的点。结论：

共轭复数开环零极点对确定实轴上的根轨迹无影响。规则五：在实轴上任取一点，若在其右侧的开环实极点与开环实零点的总数为奇数，则该点所在线段构成实轴上的根轨迹。例：已知系统的开环传递函数，试确定实轴上的根轨迹。[-2，-1]右侧实零、极点数=3[-6，-4]右侧实零、极点数=7<规则六>根轨迹的分离点与分离角

分离点：根轨迹分支离开实轴进入复平面时的点。

会合点：根轨迹分支由复平面进入实轴时的点。分离点或会合点==特征方程的实数重根。分离角为：分离点的坐标d是下列方程的解：显然，当l＝2时，分离角必为直角。会合点Convergingpoint分离点Breakawaypoint一般情况下，两个极点间的根轨迹上必有一个分离点，两个零点间的根轨迹上必有一个会合点。在分离点或会合点处，根轨迹分支与实轴垂直。根轨迹位于实轴上两个相邻的开环极点之间，其中一个可以是无限极点，则在这两个极点之间会有一个分离点；根轨迹位于实轴上两个相邻的开环零点之间，其中一个可以是无限零点，则在这两个零点之间会有一个会合点。【特点】例1sys=tf([14],[120]);rlocus(sys)例2Z1=-2P1=-1+jP2=-1-jsys=tf([12],[122]);pzmap(sys)rlocus(sys)<说明>由两个极点（实数极点或复数极点）和一个有限零点组成的开环系统，只要有限零点没有位于两个实数极点之间，闭环根轨迹的复数部分是以有限零点为圆心，以有限零点到分离点的距离为半径的圆。例3<规则七>根轨迹的起始角与终止角起始角：当开环零点和开环极点处于复平面时，根轨迹离开开环复极点处的切线方向与实轴正方向的夹角，以标记。终止角：根轨迹进入开环复零点处的切线方向与实轴正方向的夹角，以标记在无限靠近待求起始角(或终止角)的复数极点pi(或复数零点zj)的根轨迹上取一点s1。根据s1满足的相角条件，有：得到：<注意：>

开环复极点或复零点都是共轭，所以入射角、出射角都有两个±θ。例4<规则八>根轨迹与虚轴的交点代入到闭环特征方程式D(s)中令临界稳定点根轨迹与虚轴相交，即闭环极点位于虚轴上，反馈系统特征方程有纯虚根。方法一：闭环系统的特征方程为：将代入得：当当[例]开环传递函数为：，试求根轨迹与虚轴的交点和。方法二：用劳斯稳定判据确定的值。劳斯阵列为：

劳斯阵列中某一行全为零时，特征方程可出现共轭虚根。劳斯阵列中可能全为零的行有二。共轭虚根为辅助方程的根。<规则九>闭环极点的和与积闭环极点的特征方程式：其根为s1,s2,s3,…sn（1）（2）比较（1）和（2），得到k＝0→∞变化时，闭环极点随之变化，但是他们的和不变；如果一部分根轨迹分支向左移动，那么另一部分必然向右移动。【说明】：

对于稳定的反馈系统，根据劳斯判据，代入上式，求得系统的第三个闭环极点

为将已知对应的参变量的值：例已知两根求另一根。<规则十>开环增益的求取根轨迹分支上的某点sl，求对应的根轨迹增益kl幅值条件：绘制根轨迹的十个规则：<规则一>根轨迹的分支数分支数＝特征方程的阶数n＝闭环极点数目

＝开环极点数目<规则二>根轨迹的连续性和对称性根轨迹是连续的，并对称于实轴<规则三>根轨迹的起点和终点起始于开环极点终止于开环零点另外，n-m条根轨迹趋向于无穷远处。<规则四>根轨迹的渐近线渐近线与实轴交点――渐近线与实轴夹角――(k=0,1,2,…，n-m-1)<规则五>实轴上的根轨迹在实铀上任取一点，若在其右侧的开环实极点与开环实零点的总数为奇数，则该点所在线段构成实铀上的根轨迹。<规则六>根轨迹与实轴的交点

分离点：根轨迹分支离开实轴进入复平面时的点。

会合点：根轨迹分支由复平面进入实轴时的点。<规则七>根轨迹的起始角与终止角起始角：当开环零点和开环极点处于复平面时，根轨迹离开开环复极点处的切线方向与实轴正方向的夹角，以标记。终止角：根轨迹进入开环复零点处的切线方向与实轴正方向的夹角，以标记临界稳定点<规则八>根轨迹与虚轴的交点<规则九