运筹学-决策分析

第六章决策分析

----DecisionAnalysis决策——就是人们在从事各种活动过程中所采取的决定或者选择。决策分析——就是分析在各种条件下不同的决策行动的合理性以及在多种可能方案中选择最佳方案的过程。决策问题通常分为——确定性决策、风险性决策和不确定性决策。确定性决策——就是在决策环境完全确定的情况下进行的决策，因而所作的决策应是合理的。风险决策和不确定性决策是在决策环境不完全确定的情况下进行的决策，其中：风险决策对于其面临的自然状态发生的概率，决策者可以预先计算或估计出来；不确定性决策对于其所面临的自然状态发生的概率，决策者完全不知，只能靠决策者的主观倾向进行决策。第一节决策分析问题及其一般性描述一、决策分析问题举例例1

某食品店牛奶的月需求量为25至28箱，每箱牛奶的进价为16元，售价为22元。若牛奶当月为售完，则因过期而每箱损失16元。试制定食品店每月牛奶的订购箱数。该问题的基本分析可用如下两个表格来描述。（1）收益（利润）此处的收益表示利润。食品店在各种决策（订货25～28箱）下的收益如下表。

表1不同决策下的收益表单位：元需求订货25箱26箱27箱28箱25箱15015015015026箱13415615615627箱11814016216228箱102124146168

（2）损失食品店的损失分两种情况。第一种情况是订货大于需求时，牛奶因过期而损失，损失价值为损失的箱数乘以每箱进价；第二种情况是当需求大于订货量时，因失去获取利润机会的机会损失，其损失值为需求超过订货的箱数乘以每箱利润。食品店在各种决策下的损失如下表。表2不同决策下的损失表单位：元

需求订货25箱26箱27箱28箱25箱06121826箱16061227箱32160628箱4832160例2某公司需要对某种新产品的批量作出决策。市场对该种产品的需求有三种可能，即需求量大、需求一般和需求量小。现有三种决策方案，即大批量生产、中批量生产和小批量生产。经估算，各行动方案在各种需求的情况下的收益值情况如下表，问哪种行动方案为最好？

表3收益表单位：万元自然状态损益值行动方案需求量大S1需求量一般S2需求量小S3大批量生产A13614-8中批量生产A220160小批量生产A314103二、决策问题的一般性描述（一）决策问题的基本要素从以上两个例子可以总结出，决策问题一般包括三个基本要素：行动方案、自然状态和损益函数(Alternative,StateofNature,Payoff)。首先，任何决策问题都必须具有两个或两个以上的行动方案。通常用Ai（i=1，…，m）表示某一具体的可行方案，用A=｛A1，A2，…，Am｝表示方案集。其次，任何决策问题，无论采取何种方案，都面临着一种或几种自然状态。自然状态简称状态，也称事件。决策问题中的自然状态是不可控制因素，因而是随机事件。通常用Si（j=1，…，n）表示某一具体的状态，用S=｛S1，S2，…，Sn｝表示状态集。第三，在某一具体的状态下，作出某一具体的行动方案（决策），必然会生产相应的效果，这种效果通常用损益函数来描述。设在状态Sj下，作出决策为Ai，则其产生的效果可用函数rij=R（Ai，Sj）来表示。（二）决策问题的基本条件（1）决策者有一个明确的预期达到的目标，如收益最大或损失最小；（2）存在着两个或两个以上的可供选择的行动方案；（3）各行动方案所面临的可能的自然状态完全可知；（4）各行动方案在不同的状态下的损益值可以计算或能够定量地估计出来。决策问题可以用损益矩阵或损益值表来描述，即决策问题的模型。（1）损益矩阵(PayoffMatrix)：R=（rij）m×ni=1，2，…，m；j=1，2，…，n（2）损益值表(payofftable)上述是决策问题的一般性描述，决策者要作出满意的决策必须分析问题的类型并确定正确的决策方法，这些是下面所要讲述的内容。自然状态损益值行动方案

S1S2…SnA1r11r12…r1nA2r21r22…r2n┆┆┆

┆Amrm1rm2…rmn第二节不确定性决策

(DecisionMakingwithoutprobability)不确定性决策是在决策者已知决策可能面临的自然状态，但各状态出现的概率完全不知情况下的决策。由于缺乏自然状态的进一步信息，决策者只能根据自己的主观判断，采用某一准则进行决策。决策者可以根据具体情况，选用最为合适的准则进行决策。除特别说明外，以下所说损益值均为收益。若损益值为损失，则各决策准则需要作相应地调整。一、悲观准则(保守法,conservativeapproach)决策者总是从最不利的角度去考虑问题。认为，不论作出什么决策，总会出现最不利的状态与之对应。这样，决策者只能对各决策方案的最小损益值进行比较，从中选择最大者对应的方案为满意方案。因此，该准则也称最大最小准则。这是一种万无一失的保守型决策者的选择准则。其数学描述如下：则r*所对应的方案为所选方案。

悲观准则举例在各行中找出损益值最小的值，列于表中第五列，然后在该列中找出最大值，对应方案为所选方案。故应选方案A3自然状态损益值行动方案需求量大S1需求一般S2需求量小S3悲观法大批量生产A13614-8-8中批量生产A2201600小批量生产A3141033二、乐观准则(optimisticapproach)与悲观准则相反，在该准则下，决策者总是从最有利的角度去考虑问题，即认为，无论采取何种决策，总会出现最有利的自然状态与之对应。这样，决策者可以对各决策方案的最大损益值进行比较，从种选择最大值，相应的方案为最优方案。其数学描述如下：则r*所对应的方案为所选方案。这种决策方法是一种偏于冒险的决策方法，在客观条件一无所知的情况下，一般不宜采用这种方法进行决策。乐观准则举例在各行中找出损益值最小的值，列于表中第五列，然后在该列中找出最大值，对应方案为所选方案。故应选方案A1自然状态损益值行动方案需求量大S1需求一般S2需求量小S3乐观法大批量生产A13614-836中批量生产A22016020小批量生产A31410314三、乐观系数准则(Hurwiczdecisioncriterion)这是一种折中的准则，即决策者对客观条件的估计既不乐观也不悲观，主张一种平衡。通常用一个表示乐观程度的系数来进行这种平衡。其数学描述如下：则r*所对应的方案为所选方案。其中，α为乐观系数（0≤α≤1），当α=1时，就是乐观准则，当α=0时，就是悲观准则。di为第i方案的折中损益值。乐观系数准则举例选乐观系数为α=0.6，则有：

=18.4d2=0.6×20+0.4×0=12d3=0.6×14+0.4×3=9.6故选方案A1。自然状态损益值行动方案需求量大S1需求一般S2需求量小S3悲观法乐观法大批量生产A13614-8-836中批量生产A220160020小批量生产A314103314四、后悔值准则(minimumregretapproach)该准则认为，决策者制定决策之后，如果实际情况没有达到理想的结果，决策者必后悔。该准则将各自然状态下的最大损益值确定为理想目标，将该状态下的各方案的损益值与理想值的差值称为相应方案的后悔值（或称为机会损失值），然后在各方案的最大后悔值中选择一个最小的，相应的方案为最优方案。因此，该原则也称为最小后悔值准则。其数学描述如下：则h*所对应的方案为所选方案。式中，hij为在状态Sj下采取方案Ai的后悔值；h*为最小最大后悔值。后悔值法举例首先按公式(i=1，…，m；j=1，…，n)计算后悔值，结果如下表：表6后悔值决策表

根据表中数据有：=11，因此，按此方法应选方案A1。自然状态损益值行动方案需求量大S1需求一般S2需求量小S3大批量生产A1021111中批量生产A2160316小批量生产A3226022五、等可能准则（Laplacedecisioncriterion）等可能准则的思想是：认为各自然状态发生的可能性均相同，即若有n各自然状态，则每个自然状态出现的概率均为1/n。这样，就可以求各方案损益值的期望值，取期望值最大所对应的方案为最优方案。其数学描述如下：则r*所对应的方案为所选方案。若有几个方案的期望损益值均为最大，则需要另用悲观准则在这几个方案中选择。式中，ER（Ai）为方案Ai的期望损益值。等可能准则举例因为自然状态只有三个，按各自然状态出现的概率均为1/3来计算各方案的期望损益值，有故应选方案A1。不确定性决策总结综上所述，对于非确定性决策问题，采用不同的决策方法所得结果可能会不同，而且也难以判断各方法的优劣。之所以这样，是因为这些方法之间没有一个统一的评判标准。因此，实际应用中选择何种方法，取决于决策者对自然状态所持的主观态度。若态度悲观，则选用悲观法；若重视机会，则采用后悔值法；若认为各状态出现的机会相等，则可采用等可能准则。第三节风险决策

(DecisionMakingwithProbability)为了提高决策的客观性，决策者通常需要对决策所面临的自然状态所出的概率进行统计分析。此时，决策者虽然知道自然状态出现的概率，但仍然不知道哪种自然状态肯定会出现，因此决策仍然具有一定的风险。所以这种条件下的决策称为风险决策。决策问题的统计分析本章例1中，为了获得每月牛奶不同需求量的概率，食品对过去20个月的牛奶需求进行了统计，结果如下表。

表7各种需求量的概率统计分析表每月需求量（箱数）各种需求出现次数的统计各种需求出现的概率252次0.1266次0.32710次0.5282次0.1Σ20次1.0这样，就得到如下表所示的决策信息（风险决策表）。状态损益值方案25箱(S1)26箱(S2)27箱(S3)28箱(S4)P（S1）=0.1P（S2）=0.3P（S3）=0.5P（S4）=0.125箱（A1）15015015015026箱（A2）13415615615627箱（A3）11814016216228箱（A4）102124146168一、最大可能准则由概率论的知识可知，一个事件的概率越大，则该事件发生的可能性就越大。最大可能准则就是在风险决策的情况下，选择一个概率最大的自然状态进行决策，而不考虑其它自然状态，这样，就将风险决策问题变成了一个确定性的决策。该准则的数学描述如下：则r*所对应的方案为所选方案。例4用最大可能准则对下表所表述的问题进行决策。

故应选方案A3。注意：该方法适用于有一个自然状态的概率明显大于其它状态的概率，且收益矩阵中的元素相差不大的情况。当各自然状态的概率相差不大时，不宜使用该方法。状态损益值方案25箱(S1)26箱(S2)27箱(S3)28箱(S4)P（S1）=0.1P（S2）=0.3P（S3）=0.5P（S4）=0.125箱（A1）15015015015026箱（A2）13415615615627箱（A3）11814016216228箱（A4）102124146168二、期望值准则(expectedvalueapproach)（一）最大期望收益准则期望收益最大值所对应的方案为最优方案。其数学描述为则方案Ak为最优方案。举例用最大期望准则对下表所表述的问题进行决策。解：各方案的期望收益值计算如下ER（A1）=0.1×150+0.3×150+0.5×150+0.1×150=150.0（元）ER（A2）=0.1×134+0.3×156+0.5×156+0.1×156=153.8（元）ER（A3）=0.1×118+0.3×140+0.5×162+0.1×162=151.0（元）ER（A4）=0.1×102+0.3×124+0.5×146+0.1×168=137.2（元）

故方案A2为最优方案。状态损益值方案25箱(S1)26箱(S2)27箱(S3)28箱(S4)P（S1）=0.1P（S2）=0.3P（S3）=0.5P（S4）=0.125箱（A1）15015015015026箱（A2）13415615615627箱（A3）11814016216228箱（A4）102124146168（二）期望损失准最小期望损失准则就是先计算各方案的期望损失值，然后加以比较，期望损失最小值所对应的方案为最优方案。其数学描述为则方案Ak为最优方案。式中hij为在状态为Sj下作出决策为Ai的机会损失。解：各方案的期望损失值计算如下EL（A1）=0.1×0+0.3×6+0.5×12+0.1×18=9.6（元）EL（A2）=0.1×16+0.3×0+0.5×6+0.1×12=5.8（元）EL（A3）=0.1×32+0.3×16+0.5×0+0.1×6=8.6（元）EL（A4）=0.1×48+0.3×32+0.5×16+0.1×0=22.4（元）故方案A2为最优方案，与最大期望收益准则所得结论相同。举例用期望损失准则对下表所表述的问题进行决策。状态损益值方案25箱(S1)26箱(S2)27箱(S3)28箱(S4)P（S1）=0.1P（S2）=0.3P（S3）=0.5P（S4）=0.125箱（A1）06121826箱（A2）16061227箱（A3）32160628箱（A4）4832160可以证明，对于同一问题，用最大期望准则和最小期望损失准则进行决策，其结果是完全相同的。具体如下由于对于某一具体的问题，为常数，因此，当ER（Ai）为最大时，EL（Ai）必为最小。三、决策树法(decisiontree)决策树法就是用一种树状的网络图形（即决策树）进行决策分析，其决策准则是期望值准则，这就是决策树法。（一）决策树法步骤为了说明决策树法的决策过程，我们用决策树法对例2所提出的问题进行决策。决策收益及各状态的概率如表自然状态损益值行动方案需求量大S1需求一般S2需求量小S3ER(Ai)大批量生产A13614-816.2中批量生产A22016014小批量生产A3141039.8该问题的决策树如下图所示。需求量大S1（0.3）需求一般S2（0.5）需求量小S3（0.2）3614-8A1需求量大S1（0.3）需求一般S2（0.5）需求量小S3（0.2）20160A2需求量大S1（0.3）需求一般S2（0.5）需求量小S3（0.2）14103A3116.2149.8大批量生产A1中批量生产A2小批量生产A316.2图1图1所描述的是一个单级决策问题。有些决策问题包括两级以上的决策，即所谓的多级决策（也称序贯决策）问题。这类决策问题用决策树法可以有效地加以解决（二）决策树法举例例7某企业需要在是否引进新产品之间进行决策，即开始时有引进新产品和不引进新产品两种方案。若引进新产品，又面临其它企业的竞争。估计有其他企业参与竞争的概率为0.8，没有企业参与竞争的概率为0.2。在无竞争的情况下，企业有给产品确定高价、中价和低价三种方案，其相应的收益分别为500、300和100万元。在有竞争情况下，企业也有给产品确定高价、中价和低价三种方案，但此时各方案的收益大小要受到竞争企业的产品定价的影响，有关数据如表11。试用决策树法进行决策。

表11竞争企业定价方案高价中价低价本企业定价方案高价

概率收益(万元)0.31500.500.2-200中价概率收益（万元）0.12500.61000.3-50低价概率收益（万元）0.11000.2500.7-100解：首先画出决策树如图2引进产品156对手高价(0.3)对手中价(0.5)对手低价(0.2)51500-2005对手高价(0.1)对手中价(0.6)对手低价（0.3）6250100-5070对手高价(0.1)对手中价(0.2)对手低价(0.7)710050-100-50本企业高价本企业低价本企业中价370本企业高价本企业中价本企业低价5003001004有竞争（0.8）无竞争（0.2）50020不引进产品1156图2

决策树法总结从上述讨论可以看出，决策树方法可以通过一个简单的决策过程，使决策者可以有顺序、有步骤地周密考虑各有关因素，从而进行决策。对于较复杂的多级决策问题，可以画出树形图，以便集体讨论、集体决策。第四节信息的价值与贝叶斯决策一、全信息的价值(expectedvalueofperfectinformation,EVPI)所谓全信息就是关于自然状态的准确信息。当决策者获得了全信息，决策者就能正确地作出决策。例如：在下表中，当决策者准确知道会出现自然状态S1时，就会作出大批量生产的决策，同理，…自然状态损益值行动方案需求量大S1需求一般S2需求量小S3ER(Ai)大批量生产A13614-816.2中批量生产A22016014小批量生产A3141039.8若决策者掌握了全信息，就会给决策者带来额外的收益，这个额外的收益就是全信息的价值。全信息的价值来源于决策者总能作出正确的决策，从不会后悔。在这种情况下，决策者的期望收益称为全信息期望收益，其数学描述为式中，rj*为在状态Sj下作出正确决策的收益值。EPPI就是全信息期望收益。在决策者未获得全信息的情况下，决策只能根据期望收益最大准则来选择方案。若所选方案的期望收益为ER*，则全信息的价值为EVPI=EPPI－ER*对于上表所描述生产规模的决策问题，计算其全信息的价值

r1*=36；r2*=16；r3*=3EPPI=0.3×36+0.5×16+0.2×3=19.4（万元）在未获得信息的情况下，只能作出方案A1的决策，其期望收益为

ER*=max{16.2，14，9.8}=16.2=ER（A1）这样EVPI=EPPI－ER*=19.4－16.2=3.2（万元）这3.2万元就是本问题完全信息的价值，它一方面说明完全信息能给决策者带来更大的收益，另一方面说明决策在现有情况下，无论怎样去补充信息，最大能增加3.2万元的收益。关于全信息的几点结论信息可以给决策者带来额外的收益，决策者当然想尽可能的获取全面的信息。获取信息往往要付出代价，若获取完全信息的代价小于全信息价值，决策者就应投资获取全信息，反之，决策者就不应投资获取全信息。对于随机事件，全信息实际上是不存在的。一般说来，研究或购买只能得到部分信息，然而这一部分信息也是有价值的。在具有部分信息的情况下应如何决策，这就是下面要说的贝叶斯决策。二、贝叶斯决策(BayesDecision)在实际决策中人们往往采取各种“试验”手段（抽样调查、抽样检验、购买信息、专家咨询等）获取信息——不完全信息或样本信息(SampleInformation)。样本信息也可以给决策者带来额外收益，该额外收益就是样本信息的价值(ExpectedValueofsampleinformation)。对于风险决策问题，由过去经验或专家估计所获得的各自然状态的概率称为先验概率(priorprobabilities)。决策者通过“试验”等手段，获得了自然状态出现概率的新信息作为补充信息，用它来修正原来的先验概率估计，得到修正后的各状态的概率，这种概率称之为后验概率(posteriorprobabilities)。后验概率通常要比先验概率准确可靠，可作为决策者进行决策分析的依据。由于这种概率的修正是借助于贝叶斯定理完成的，所以这种情况下的决策称之为贝叶斯决策。贝叶斯决策的具体步骤：（1）先由过去的资料和经验获得状态发生的先验概率；（2）根据调查或试验得到各状态下试验事件的条件概率，并利用贝叶斯公式计算出各状态的后验概率，即式中P（Sj）为状态Sj的先验概率；P（Bk|Sj）为试验获取的信息，其意义为在状态为Sj条件下出现事件Bk的概率；P（Sj|Bk）为试验事件为Bk时状态Sj的后验概率（条件概率）。为全概率公式。（3）利用后验概率代替先验概率进行决策分析。概率论相关知识条件概率——设A为一个随机事件，称在“事件B出现”的条件下，事件A的概率为“事件B出现下事件A的条件概率。记为P（A|B）。条件概率举例：一批零件共100个，次品率10%。从中任取一个零件，取出后不放回去，再从余下的部分中任取一个零件。求在第一次取得次品的情况下，第二次取得正品的概率。解：事件A——第一次取得次品；事件B——第二次取得正品这样：P（A）=10/100P（B|A）=90/99先验概率与后验概率举例：对以往数据分析结果表明，当机器调整良好时，产品合格率为90%，而当机器发生某一故障时，其合格率为30%。每天早上机器开动时，机器调整好的概率为75%。试求已知某日早上第一件产品合格时，机器调整良好的概率是多少？解：事件S1—机器调整良好；事件S2—机器发生某一故障；事件B1——产品合格；事件B2——产品不合格；试验结果出现事件B1这样：P（B1|S1）=90%；P（S1）=75%；P（S2）=25%；P（B1|S2）=30%

P（S1|B1）=0.9即为试验结果为产品合格情况下，机器调整良好的概率——后验概率。P（S1）=75%为先验概率。若试验结果为“第一件产品为次品，求机器调整良好”的概率解：事件S1——机器调整良好；事件S2——机器发生某一故障；事件B1——产品合格；事件B2——产品不合格；试验结果出现事件B2这样：P（B2|S1）=10%；P（S1）=75%；P（S2）=25%；P（B2|S2）=70%

同理有：例9

对于表10所描述的决策问题，决策者为了掌握更多的信息，决定花费1.5万元请咨询公司调查该新产品的销路情况。调查结果为：在需求量大的情况下，该新产品销路好与不好的概率分别为0.8和0.2；在需求量一般的情况下，该新产品销路好与不好的概率各为0.5；在需求量小的情况下，该新产品销路好与不好的概率分别为0.3和0.7。这些数据列于表12。问：（1）花费1.5万元进行调查是否合算；（2）应如何根据调查结果进行决策。

SB需求量大S1需求量一般S2需求小S3销路好B1P（B1|S1）=0.8P（B1|S2）=0.5P（B1|S3）=0.3销路差B2P（B2|S1）=0.2P（B2|S2）=0.5P（B2|S3）=0.7

解：根据所获信息，利用贝叶斯公式，可以得到修正后的各自然状态的概率（后验概率）。在信息为销路好时，有

P（B1）=P(S1)×P(B1|S1)+P(S2)×P(B1|S2)+P（S3）×P（B1|S3）=0.3×0.8+0.5×0.5+0.2×0.3=0.55因此有在销路差时，有

P（B2）=P(S1)×P(B2|S1)+P(S2)×P(B2|S2)+P（S3）×P（B2|S3）=0.3×0.2+0.5×0.5+0.2×0.7=0.45因此有销路好时的各方案的期望收益为

ER（A1）=P(S1|B1)×r11+P(S2|B1)×r12+P(S3|B1)×r13=0.4364×36+0.4545×14+0.1091×(－8)=21.2(万元)ER(A2)=0.4364×20+0.4545×16+0.1091×0=16(万元)ER(A3)=0.4364×14+0.4545×10+0.1091×3=10.98(万元)ER*(B1)=max{21.2，16，10.98}=21.2(万元)=ER（A1）即在销路好时，应选方案A1。销路差时的各方案的期望收益为

ER（A1）=P(S1|B2)×r11+P(S2|B2)×r12+P(S3|B2)×r13=0.1333×36+0.5556×14+0.3111×(－8)=10.09（万元）ER（A2）=0.1333×20+0.5556×16+0.3111×0=11.56（万元）ER（A3）=0.1333×14+0.5556×10+0.3111×3=8.36（万元）ER*（B2）=max{10.09，11.56，8.36}=11.56（万元）=ER（A2）即在销路差时，应选方案A2。样本信息的最大期望收益为

ERI=P(B1)×ER*(B1)+P(B2)×ER*(B2)=0.55×21.2+0.45×11.56=16.862（万元）样本信息的价值为

EVSI=ERI－ER*=16.862－16.2=0.662（万元）因此，用1.5万元的费用获取新的信息，远远超过其价值本身，因此花费这笔咨询费并不合算。

数据、模型与决策案例

——匹兹堡发展公司（PDC）决策分析问题PDC购买了一块地计划开发高档楼群。现有三个可供选择的项目（方案）：

(1)小规模楼群：30栋大楼；(2)中规模楼群：60栋大楼；(3)大规模楼群：90栋大楼；影响决策方案的主要因素之一就是对楼群需求的随机性——高需求和低需求。经估计，各方案在两种需求的情况下将会产生不同的收益，这些数据汇总在如下的损益表中；PDC楼群方案损益表单位:百万美元自然状态决策方案高需求(s1)低需求(s2)小规模楼群(d1)中规模楼群(d2)大规模楼群(d3)8142075-9一.无概率决策(不确定性决策)PDC楼群方案损益表单位:百万美元自然状态决策方案高需求(s1)低需求(s2)maxrijminrij小规模楼群(d1)中规模楼群(d2)大规模楼群(d3)8142075-98142075-91.乐观法在上表中:maxmaxrij=r31=20

即,乐观法得到的决策方案是方案d3:建造大规模楼群.2.悲观法因为maxminrij=r12=7即,悲观法得到的决策方案是方案d1:建造小规模楼群.3.后悔值法PDC楼群方案损益表与后悔值表单位:百万美元自然状态决策方案损益值rij后悔值hijmaxhij高需求(s1)低需求(s2)高需求(s1)低需求(s2)小规模楼群(d1)中规模楼群(d2)大规模楼群(d3)8142075-91260021612616在上表中:minmaxhij=h22=6即,后悔值法得到的决策方案是方案d2:建造中规模楼群.二.有概率的决策(风险决策)

1.期望值法PDC非常看好这一高档楼群，因此，他们估计：该楼群高需求的概率为0.8，而低需求的概率为0.2。于是三种方案的期望收益如下：ER(d1)=0.8×8+0.2×7=7.8ER(d2)=0.8×14+0.2×5=12.2ER(d3)=0.8×20+0.2×(-9)=14.2

即,期望值法得到的决策方案是方案d3:建造大规模楼群.PDC楼群方案收益期望值单位:百万美元自然状态决策方案高需求(s1)低需求(s2)ER(di)P(s1)=0.8P(s2)=0.2小规模楼群(d1)中规模楼群(d2)大规模楼群(d3)8142075-97.812.214.2PDC问题风险决策的决策树描述14.214.212.27.8二.有概率的决策(风险决策)

2.完全信息价值(完美信息价值)如果决策者具有完全信息,在高需求时他会选择大规模楼群方案,相应收益为$20million.在低需求时他会选择小规模楼群方案,相应收益为$7million.因此,完全信息的期望收益如下：EPPI=0.8×20+0.2×7=17.4如果决策者不具有完全信息，他只能根据期望值法确定方案，而这时他所选择的方案为d3:建造大规模楼群,期望收益为$14.2million.因此,完全信息的价值为:

EVPI=EPPI–ER*=17.4–14.2=3.2

1.样本信息(indicators)完全信息是不可能获得的,但通过市场调查，即通过对潜在对象的访问获得样本信息(SampleInformation,orIndicator).PDC的管理者认为,市场调查的结果可以获得两种样本信息(twoindicators):I1=有利报告(favorablemarketresearchreport)(被调查对象对购买该高档楼群有较高兴趣)I2=不利报告(unfavorablemarketresearchreport)(被调查对象对购买该高档楼群兴趣不高)具体的信息在下表中以概率的形式给出三.有样本信息的决策分析(样本信息的价值)2.后验概率的计算在获得样本信息后，可以利用Bayes公式,计算高需求和低需求两种自然状态的后验概率.这里，我们采用如下表格的形式计算两种信息下的自然状态的后验概率.样本信息的概率样本信息自然状态有利报告(I1)不利报告(I2)高需求(s1)低需求(s2)P(I1/s1)=0.9P(I1/s2)=0.25P(I1/s2)=0.10P(I2/s2)=0.75有利报告(I1)下的后验概率计算自然状态Sj先验概率P(sj)样本信息条件概率P(I1/sj)联合概率P(I1∩sj)后验概率P(sj/I1)s1s20.80.20.90.250.720.05P(I1)=0.770.93510.0649不利报告(I2)下的后验概率计算自然状态Sj先验概率P(sj)样本信息条件概率P(I2/sj)联合概率P(I2∩sj)后验概率P(sj/I2)s1s20.80.20.10.750.080.15P(I1)=0.230.34780.65223.决策树(有市场调查)8.1315.8218.111.098.137.3518.1113.427.944.决策战略从上述决策树的结果可以看出:在有样本信息的情况下，PDC可以获得$15.82million.而在没有样本信息的情况下，他只能根据期望值法确定方案，而这时他所选择的方案为d3:建造大规模楼群,期望收益为$14.2million.因此,PDC应该采取如下决策战略:

首先是开展市场调查,然后采取如下策略:

如果市场调查的结果是有利的,则建设大规模楼群;如果市场调查的结果是不利的,则建设中等规模楼群;

5.样本信息的价值EVSI=15.82－14.2=1.60（million$）6.样本信息的效率E=EVSI/EVPI×100%=1.60/3.2×100%=50%7.风险组合(riskprofile)风险组合就是组成最佳决策战略的各可能损益值出现概率的组合.由上述决策数可知,组成最佳战略决策的分支如下图marketresearch12386Large(d3)favorable0.77unfavorable0.23Medium(d2)low0.65high0.94high0.35low0.06514-920损益值概率-9514200.77×0.06=0.050.23×0.65=0.150.23×0.35=0.080.77×0.94=0.728.PDC问题的计算机求解

第五节效用理论与决策

(utilityanddecisionmaking)一、效用的概念一般来说，期望收益大的方案其风险也越大；期望值准则并没有考虑决策者对风险的态度；由于经济实力的差异，不同的决策者对风险的承受能力就不同，因而对风险的态度也就不同，这样同一数量的货币值对于不同的决策者就有不同的主观价值。即使对于同一决策者，在不同的条件下，也可能有对同一货币值有不同的主观价值。决策本身是决策者的具体行为，因此，决策必须考虑决策者的主观价值。为了说明主观价值在风险决策中的作用，现举例如下。例10投资某项目有A、B两方案，A方案成功与失败的概率分别为0.7和0.3，B方案成功与失败的概率分别为0.9和0.1，各方案在成功与失败条件下的收益情况如表13，决策者用如何决策？表13单位：万元自然状态行动方案成功S1失败S2ERA概率0.70.3

290收益500－200B概率0.90.188收益100－20A方案风险远大于B方案；冒险者会选择A方案；保守者会选择B方案。为了度量人们对货币的主观价值，经济学者引入了效用的概念。效用——就是度量决策者对风险的态度、对某种事物的倾向或对某种后果的偏爱等主观因素的强弱程度的数量指标（无量纲）。一般来说，货币值大的，其相应效用值也越大，但二者的关系一般不是线性关系。二、效用曲线可用效用曲线来全面反映某决策者对风险的态度。规定：凡对决策者最爱好、最倾向、最愿意的事物（事件）的效用值赋予1，凡对决策者最不爱好、最不愿意的事物（事件）的效用值赋予0。或用其它数值范围，如100—0。效用曲线的确定方法有两种，即直接提问法和对比提问法。一般采用对比提问法。这里重点介绍对比提问法。设决策者面临两种可供选择的方案A1、A2，A1表示他可在无任何风险的情况下获得收益x2，A2表示他可以概率p获得收益x1，或以概率（1－p）损失金额x3；且x1>x2>x3,设u（x1）表示金额x1的效用，若在某种条件下，决策者认为A1、A2两方案等价时，则可表示为pu（x1）+（1－p）u（x3）=u（x2）即x2的效用值等价于x1和x3的期望效用值。上式中有4个变量，若已知其中3个，用对比提问的方式就可确定第4个变量的取值，这种方式就包含决策者的主观判断因素。具体方式有以下三种：（1）每次固定x1、x2、x3的值，改变p，提问决策者：“p取何值，A1与A2两等价”；（2）每次固定p、x1、x3的值，改变x2，提问决策者：“x2取何值，A1与A2两等价”；（3）每次固定p、x2、x3的值（或x1），改变p，提问决策者：“x1（或x3）取何值，A1与A2两等价”；实用中一般采用美国学者VonNeumann和Morgenstern提出的V—M方法，即每次取p=0.5，固定x1、x3的值，利用0.5u（x1）+0.5u（x3）=u（x2）改变x2三次，提问三次，确定三个点，得到决策者的效用曲线。例11某投资者甲面临一风险投资决策问题。该投资的最大收益为200万元，最小收益为－50万元，试用V—M法确定该投资者的效用曲线。解：首先u（200）=1；u（－50）=0；其它提问与回答列表如下：x1x3u(x1)u(x3)提问：x2取何值时0.5u(x1)+0.5u(x3)=u(x2)成立回答：x2的取值x2的效用计算200-50100.5u(200)+0.5u(-50)=u(x2)120u(120)=0.5×1+0.5×0=0.5120-500.500.5u(120)+0.5u(-50)=u(x2)60u(60)=0.5×0.5+0.5×0=0.2520012010.50.5u(200)+0.5u(120)=u(x2)170u(170)=0.5×1+0.5×0.5=0.75这样，从表中就可以得到如下坐标点：（120，0.5）、（60，0.25）、（170，0.75）。加上（－50，0）和（200，1）共5个坐标点，就可绘制出该决策者（投资者甲）的效用曲线如图3所示。0.51001502000.7510500.25－50收益值效用值风险型投资者乙效用曲线保守型中间型投资者甲效用曲线图3同样的风险投资问题对于另一个决策者（投资者乙）在回答提问时，可能会得到完全不同的结果，如表15所示。根据该表中数据可绘制出如图3中投资者乙的效用曲线。x1x3u(x1)u(x3)提问：x2取何值时0.5u(x1)+0.5u(x3)=u(x2)成立回答：x2的取值x2的效用计算200-50100.5u(200)+0.5u(－50)=u(x2)20u(20)=0.5×1+0.5×0=0.520-500.500.5u(20)+0.5u(－50)=u(x2)－30u(－30)=0.5×0.5+0.5×0=0.252002010.50.5u(200)+0.5u(20)=u(x2)100u(100)=0.5×1+0.5×0.5=0.75投资者甲和投资者乙的比较显然，投资者甲对对资金的损失反映比较迟钝，相反对收益的增加比较敏感，因此投资者甲属于风险型（冒险型）决策者。投资者乙对资金的损失比较敏感，而对收益的增加反映迟钝，即不愿承担损失的风险，因此属于保守型决策者。还有的决策者认为，收入的增加金额与效用值的增长成等比关系，这种决策者则具有中间型效用曲线。当需要用计算机来进行计算时，效用曲线还可以拟合成函数关系。常见的有线性函数、指数函数、双指数函数、幂函数和对数函数等形式。三、效用曲线的应用利用效用函数作为决策的原则称为效用值准则。对于一次性风险较大的决策，利用该准则进行决策较为方便。例12某公司需要对开发A、B两种新产品进行决策。已知，