第一章几何光学的近轴理论

第一章

几何光学的近轴理论几何光学的基本定律费马定理成像

球面成像

薄透镜成像光学仪器1.1几何光学的基本定律一

、几何光学三个基本实验定律1.光的直线传播定律在真空或均匀介质中，光沿直线传播。PQ如果介质是非均匀的，则光的传播将会发生偏折，即不再沿着一条直线传播。但是，总可以设法发现光传播的路径，这条路径是折线或曲线。根据这一事实，也可以得出这样的结论，既然在媒质中，光总是沿直线、折线、或曲线传播，那么就可以用一条几何上的线来描述和研究光的传播，这就是“光线”。2.光的独立传播定律自不同方向或不同物体发出的光线相交，对每一光线的独立传播不发生影响。3.光的反射律和折射定律物观察者（接收器）平面镜挡板光的反射定律反射光在入射面内界面入射面光的反射定律1）反射光在入射面内2）反射角等于入射角光的折射定律介质2介质1分界面物像只与两种介质有关，折射率折射光在入射面内Snell定律界面入射面光的色散一束平行的白光（复色光）从一种媒质（例如真空或空气）射入另一种媒质时，只要入射角不等于0，不同颜色的光在空间散开来。说明不同颜色的光具有不同的折射角，即不同的折射率。二、光路可逆原理上述实验定律都反映了光路的可逆性光线如果沿原来反射和折射方向入射时，则相应的反射和折射光将沿原来的入射光的方向。如果物点Q发出的光线经光学系统后在Q′点成像，则Q′点发出的光线经同一系统后必然会在Q点成像。即物像之间是共轭的。QQ′三、全反射有可能但所以，当时，折射光实际上不存在，只有反射光这种情况就是全反射，也称全内反射

全反射临界角光线从光密介质射向光疏介质，折射角比入射角大入射角满足就会出现全反射出现全反射的最小入射角称作全反射临界角

全反射棱镜倒转棱镜屋脊形五棱镜波罗组合棱镜光纤定义：光线路径的几何长度与所经过的

介质折射率的乘积。变折射率介质：同一均匀介质：光具组：1.2Fermat原理一、光程费马（Fermat）原理：两点间光的实际路径，是光程平稳的路径。（1679年）二、费马原理平稳值的三种基本的含义：极小值常见情况，常数成像系统的物像关系极大值个别现象*费马原理的数学表达式路径积分：是路径（l）的函数，平稳值要求变分为零，原理与定律可以由Fermat原理导出几何光学的实验定律所以可以说，Fermat原理是更基本的一般来说，任何一门学科，都有着无法证明的（指从理论上无法证明）最基本的假设，这就是原理，是这一学科所建立的基础。三、由费马原理推导三个实验定律1、光在均匀介质中直线传播要点：反射光线在入射面，反射角等于入射角，光程最短。QQ’MM’PM”2、反射定律一、同心光束从同一点发出（更多的情形是由于反射或散射出）的或汇聚到同一点的光线束，称为同心光束。

从光线的性质看，物上的每一个物点都发出同心光束，而像点都由同心光束会聚得到。1.3成像物和像都是由一系列的点构成的，物点

和像点一一对应（几何光学上称作物像

共轭）成像的最基本条件是要满足同心光束的

不变性。从整个物和像的对应关系看，还必须要

满足物像间的相似性。空间上，各个点之间的相互位置要一一

对应，同时每一对物像点的颜色要一一

对应。要求成像的光学系统不产生畸变，没有

像差、色差、像散、慧差，……等等。在平面反射的情形下，物与像点点对应，所以平面镜可以严格成像。平面镜是唯一可以严格成像的光学元件。二、光具组若干反射面或折射面组成的光学系统。光轴：光具组的对称轴理想光具组精确成像的必要条件是物上一点与像上一点对应。使同心光束保持其同心性不变的光具组为理想光具组理想光具组是成像的必要条件三、实物与虚物，实像与虚像发出同心光束的物点，为实物点；物方同心光束延长后汇聚所成的点，为虚物点。光具组物方像方实物虚物实物光具组光具组经过光具组后的同心光束，汇聚在像方形成的点，为实像点；像方发散的同心光束反向延长后汇聚的点，为虚像点。像方物方实像虚像光具组光具组实物成实像实物成虚像虚物成实像虚物成虚像光具组光具组光具组光具组“虚光线”与“虚像”光线并没有进入平面的下方所以，像点并不是真实光线汇聚而成的而是视觉上将反射光线反向延长后汇聚形成的因而，反射光线的反向延长线就是“虚光线”，这样形成的像就是“虚像”。虚光程按照费马原理，物像之间应该是等光程的上式对任意方向光线成立的条件为等式的值为0则平面下方的折射率为虚光线的光程称作虚光程

四、物方和像方物点所在的空间为物方空间像点所在的空间为像方空间物像物方空间像方空间物与像的共轭性物方与像方不仅一一对应，而且根据光路可逆原理，如果将发光点从物点移到像点，并使光线从反方向入射光具组，他的像将成在原来的物点上。这样一一对应的物点和像点，称为共轭点五、物像之间的等光程性

物点Q与像点Q′之间的光程总是平稳的，即不管光线经何路径，凡是由Q通过同样的光学系统到达Q′的光线，都是等光程的。等光程与成像：严格等光程严格成像近似等光程近似成像非等光程不成像1.4近轴光在单球面上的成像从Q点发出的光线QM折射后变为MQ′一、轴上物点成像

在△QMC1和△Q′MC1中分别应用余弦公式Φ不同，s′不同，即从Q点发出的同心光束不能保持同心性欲使折射光线保持同心性，必须(1)满足近轴（傍轴）条件，即折射球面的光焦度

或者(2)没有意义只有这就是平面镜平行光入射

像方焦距，像点Q′所在位置为像方焦点

折射光为平行光

物方焦距，物点Q所在位置为物方焦点

Gauss公式

二、轴外物点成像相当于光轴绕球心旋转满足近轴条件时，圆弧变为直线。像的横向放大率焦点与焦平面

平行于光轴的入射光线经过球面折射后，汇聚于像方焦点。由于单球面有无数个光轴，所以，凡是相互平行的入射光线，经折射后，都汇聚于与入射光线平行的光轴的像方焦点上。所有这些像方的焦点构成一个球面。在傍轴条件下，上述像方焦点可以看作是处于一个平面上，这就是折射球面的像方焦平面即：相互平行的入射光线都汇聚于像方焦平面上的同一点。同样，可以得到并定义物方焦平面，从该平面上一点发出的所有光线，经折射后，在像方为相互平行的光线物方焦平面像方焦平面折射球面的光学参数物方焦距像方焦距物方焦点像方焦点物方焦平面像方焦平面折射球面的光学性质根据这些光学参数，可以得到任意一条光线的共轭光线光焦度与焦距的讨论显然，上述三个物理量既可以是正值，也可以是负值。若r>0，n′<n，f，f′<0；r<0，n′>n，f，f′<0。可以看出，平行光入射，折射光发散。反向延长后，会聚点在物方，即f′<0表示像方焦点位于物方。由于物、像间的共轭关系，f<0表示物方焦点位于像方。焦距为负值，表示像方焦点实际上在物方，物方焦点实际上在像方。由于焦距也是像距或物距，所以，如果物点位于像方（虚物），则其物距为负值；像点在物方（虚像），则其像距为负值。虚物，物距为负值虚像，像距为负值例题一束汇聚光射向折射球面，如果将入射光线延长，则汇聚在P点处，求这束光经球面折射后实际的汇聚点。解法1，用作图法。解法二，用计算法将物距以P点到球面的距离的负值带入即可（1）物方和像方：以光线入射的方向作为物方，另一方为像方。（2）球面曲率中心在像方，其曲率半径r>0；球面曲率中心物方，r<0。（3）物点在物方，物距s>0；物点像方，物距s<0。（4）像点在像方，像距s′>0；像点在物方，像距s′<0。三、几何光学的符号约定（5）线段在主光轴之上，y>0；线段在主光轴之下，y<0。（6）角度自主光轴或球面法线算起，逆时针方向为正，顺时针方向为负。（8）对于反射球面，其物方和像方位于球面同一侧。（7）图中所标均为绝对值，对于是负值的参数，应在其前面加上负号。由折射球面物像公式推导反射球面物像公式折射球面Gauss公式

凸面镜凹面镜对于实物，总是在焦点内侧成正立缩小虚像可以成实像或放大的虚像四、符号约定下像的横向放大率公式五、Lagrange-Helmhotz恒等式对光线的角放大率为

Lagrange-Helmhotz恒等式

由于可得到1.5薄透镜成像一、

薄透镜由两个折射球面组成，过两球面圆心的直线为光轴，顶点间距d。就是薄透镜，通常可以可以认为，两球面顶点重合，称为光心，记为O。如果满足二、薄透镜成像公式1．用逐次成像法推导

薄透镜的光焦度物在像方，虚物第一次成像第二次成像物方焦距

像方焦距

2．薄透镜的焦点与焦平面磨镜者公式

空气中的薄透镜物方焦距物方焦点像方焦距像方焦点物方焦平面像方焦平面光心光轴两侧折射率相等，通过光心的光线方向不变薄透镜的光学参数与光学特性三、正透镜与负透镜焦距为正值的透镜是正透镜；焦距为负值的透镜是负透镜。正透镜的像方焦点在像方；负透镜的像方焦点在物方。正透镜使入射的平行光汇聚在像方焦点；负透镜使入射的平行光发散。空气中，中间厚边缘薄的透镜是正透镜；中间薄边缘厚的透镜是负透镜。从Fermat原理看，这是很自然的结果。图示Gauss物像公式距离从光心算起Newton物像公式

Newton物像公式距离从焦平面算起四、像的横向放大率

总放大率为两次成像的放大率的乘积

第二次成像，是虚物成像五、Lagrange-Helmhotz恒等式

Lagrange-Helmhotz恒等式依然成立

三对共轭的特殊光线平行于光轴的入射光线←→经过像方焦点的光线经过物方焦点的光线←→平行于光轴的像方光线经过透镜光心的入射光线←→经过透镜光心的像方光线1.6薄透镜作图法物方平行光线，汇聚于像方焦平面同一点一、正透镜作图法来自物方焦平面上同一点的光线，在像方为平行光线利用经过透镜光心的光线像方焦点物方焦点像方焦平面物方焦平面平行于光轴的入射光线←→经过像方焦点的光线经过物方焦点的光线←→平行于光轴的像方光线经过透镜光心的入射光线←→经过透镜光心的像方光线二、负透镜作图法像方焦点物方焦点像方焦平面物方焦平面平行入射光汇聚于像方焦平面同一点像方焦点物方焦点像方焦平面物方焦平面经过物方焦点的光线在像方平行于光轴像方焦点物方焦点像方焦平面物方焦平面经过物方焦平面同一点的光线，在像方相互平行将物经第一个透镜的所成的像作为第二个透镜的物，再次进行成像，逐个进行。三、透镜组的逐次成像作图法只要第一镜的像处于第二镜的物方，对于第二镜来说都是实物经过L1成虚像，但对于L2来说，是实物逐次成像法过程中物和像的虚实性像本身的虚实性，与作为物的虚实性，没有关系L1的实像，对于L2来说，是虚物只要第一镜的像处于第二镜的像方，对于第二镜来说都是虚物。如果将上述第一透镜的像作为第二透镜的实物处理，则会得到错误的结果另一种作法虚像作为物在第二镜的物方则为实物，在第二镜的像方则为虚物。四、透镜组的逐次成像计算法对第一个透镜用成像公式计算，确定像的位置将该像作为第二个透镜的物，再次进行成像，依次逐个进行。如果像是下一个透镜的实物，则直接应用公式进行计算；如果是虚物，则其物距是负值。例：

L1和L2为薄透镜，L1的焦距为4cm，L2材料的折射率为1.5，球面半径为12cm，球面上镀有反射膜。L1和L2间距为10cm，物在前5.6cm处，求Q点最后成像的位置。L2的焦距为(1)经L1，像距为(2)再经L2成像共有5次成像10cm凹面镜焦距为(3)经球面反射镜(4)反射光经L2成像(5)再经L1成像1.7几何光学仪器一、人眼明视距离人眼所见的，都是视网膜上所成的实像无论是实物、实像、还是虚像，经过眼睛后，都在视网膜上成实像。示意眼空气角膜晶状体视网膜玻璃液水状液d(mm)n角膜0.51.376水状液3.11.336晶状体3.61.386玻璃液17.21.336r(mm)7.76.810.0-6.0-9.7

简化眼等效于一个可变焦距的凸透镜。视网膜到光心的距离等于眼睛对无穷远处聚焦时的像方焦距。二、放大镜是一种目镜，作用是成一放大的虚像，便于眼睛观察。可以通过比较y′与y得到放大镜对物体的放大率，也可以比较它们对眼睛张角的变化得到角放大率三、目镜目镜用在光学仪器上，作用与放大镜相似，都是成一个眼睛可直接观察的虚像。通常都与物镜结合使用，观察物镜所成的实像。惠更斯目镜冉斯登目镜接目镜向场镜四、显微镜具有高放大倍数的光学仪器由物镜组和目镜组构成RobertHooke'smicroscopemicroscope物镜目镜显微镜光路与原理显微镜的角放大率显微镜的角放大率An1879CarlZeissJenaOpticalmicroscopeStereomicroscopeScientistusingastereomicroscopeoutfittedwithadigitalimagingpick-upSoviet-mademiniature2.5×17.5monocular.The100inch(2.5m)HookerreflectingtelescopeatMountWilsonObservatorynearLosAngeles,California.TheHubbleSpaceTelescopeasseenfromSpaceShuttleDiscoveryduringitssecondservicingmission五、望远镜用于观察远处物体，将物体对眼睛的张角扩大，相当于在近处成一缩小的实像，再通过目镜观察。∞处物，对物镜的张角ω很小Kepler望远镜Galileo望远镜Parameterslistedontheprismcoverplatedescribinga7powermagnificationbinocularwitha50mmObjectivediameteranda372footFieldofviewat1000yards.波罗组合棱镜，使实像倒转为正像目镜物镜双筒望远镜波罗组合棱镜Abbe-Koenig"roofprism"designDoublePorroprismdesign六、照相机单镜头反光照相机Single