第八章矢量算法与场论初步张量算法与黎曼几何初步SECTION2

个人采集整理仅供参照学习§2场论初步一、场论的基本观点及梯度、散度与旋度[标量场]空间地域D的每点M(x,y,z)对应一个数目值(x,y,z)，它在此空间地域D上就构成一个标量场，用点M(x,y,z)的标函数(x，y，z)表示.若M的地址用矢径r确立，则标量可以看作变矢r的函数＝(r).文档来自于网络找寻比方温度场u(x,y,z),密度场(x,y,z),电位场e(x,y,z)都是标量场.[矢量场]空间地域D的每点M(x，y，z)对应一个矢量值R(x，y，z)，它在此空间地域D上就组成一个矢量场，用点M(x，y，z)的矢量函数R(x，y，z)表示.若M的地址用矢径r确立，则矢量R可以看作变矢r的矢函数R(r)：文档来自于网络找寻R(r)＝X(x，y，z)i＋Y(x，y，z)j＋Z(x，y，z)k比方流速场(x，y，z)，电场E(x，y，z)，磁场H(x，y，z)都是矢量场.与标量场的状况同样，矢量场观点与矢函数观点，实质上是同样的.沿用这些术语(标量场、矢量场)是为了保留它们的自己起源与物理意义.文档来自于网络找寻[梯度]grad

＝(

，

，

)=

=i＋

j＋

kx

y

z

x

y

z式中

=i

＋j

＋k

称为哈密顿算子

,也称为耐普拉算子

.grad

有的书刊中记作

del

.x

y

zgrad

的方向与过点

(x，y，z)的等量面

＝C的法线方向

N重合，并指向

增添的一方，是函数变化率最大的方向，它的长度等于.文档来自于网络找寻N梯度拥有性质：grad(

＋

)＝

grad

＋

grad

(

、

为常数)grad(

)＝

grad

＋

gradgradF(

)＝F

grad1/12个人采集整理仅供参照学习[方导游数]＝l·grad＝cos＋cos＋coslxyz式中l＝(cos,cos,cos)为方向l的单位矢量,,,为其方向角.方导游数为在方向l上的变化律，它等于梯度在方向l上的投影.[散度]divR＝X＋Y＋Z=·R=div(X,Y,Z)xyz式中为哈密顿算子.散度拥有性质：div(a＋b)＝diva＋divb(、为常数)div(a)＝diva＋agraddiv(a×b)＝b·rota－a·rotb[旋度]rotR＝(ZY)i＋(XZ)j＋(YX)k=ijk×R=yzyzzxxyxXYZ式中为哈密顿算子，旋度也称涡度，rotR有的书刊中记作curlR.旋度拥有性质：rot(a＋b)＝rota＋rotb(、为常数)rot(a)＝rota＋a×gradrot(a×b)＝(b·)a－(a·)b＋(divb)a－(diva)b[梯度、散度、旋度混杂运算]运算grad作用到一个标量场产生矢量场grad，运算div作用到一个矢量场R产生标量场divR，运算rot作用到一个矢量场R产生新的矢量场文档来自于网络找寻2/12个人采集整理仅供参照学习rotR.这三种运算的混杂运算公式以下：divrotR＝０rotgrad＝０222divgrad＝x2＋y2＋z2=graddivR＝(R)rotrotR＝×(×R)divgrad(+)=divgrad+divgrad(、为常数)divgrad()=divgrad＋divgrad＋２grad·gradgraddivR－rotrotR＝R式中为哈密顿算子，＝·＝２为拉普拉斯算子.[势量场(守恒场)]若矢量场R(x，y，z)是某一标函数(x，y，z)的梯度，即R＝grad或X＝，Y＝，Z＝xyz则R称为势量场，标函数称为R的势函数.矢量场R为势量场的充分必需条件是：rotR＝０，或XY,Y=Z,Z=X=yxzyxz势函数计算公式xy(x，y，z)＝(x0，y0，z0)＋Xx,y0,z0dx＋Yx,y,z0dyx0y0zZx,y,zdzz0[无散场(管形场)]若矢量场R的散度为零，即divR＝0，则R称为无散场.这时必存在一个无散场T，使R＝rotT，对任意点M有文档来自于网络找寻T＝1rotRdV4r3/12个人采集整理仅供参照学习式中r为dV到M的距离，积分是对整个空间进行的.[无旋场]若矢量场R的旋度为零，即rotR＝0，则R称为无旋场.势量场总是一个无旋场，这时必存在一个标函数，使R＝grad，而对任意点M有文档来自于网络找寻＝－1divRdV4r式中r为dV到M的距离，积分是对整个空间进行的.二、梯度、散度、旋度在不同样坐标系中的表达式1．单位矢量的变换[一般公式]假定x=f(,,),y=g(,,),z=h(,,)把(,,)空间的一个地域一对一地连续照射为(x，y，z)空间的一个地域D，并假定f，g，h都有连续偏导数，由于对应是一对一的，因此有文档来自于网络找寻＝(x，y，z)，x,y,z,x,y,z再假定,,也有连续偏导数，则有dxxdxdxddyydydyddzzdzdzd或逆变换ddxdydzxyzddxdydzxyzddxdydzxyz沿dx，dy，dz方向的单位矢量记作i，j，k，沿d,d,d方向的单位矢量记作e,e,e，则有4/12个人采集整理仅供参照学习xiyjzke222xyzxyzijke222xyzxiyjzke222xyz[圆柱面坐标系的单位矢量]对于圆柱面坐标系(图8.11)xcosysin0,02,zzz单位矢量为ecosisinjesinicosjezk它们的偏导数为eee,ez0e,eeez0eeez0zzz[球面坐标系的单位矢量]对于球面坐标系(图8.12)xrsincosyrsinsin0r,02,0zrcos单位矢量为5/12个人采集整理仅供参照学习ersincosisinsinjcoskecoscosicossinjsinksinicosj它们的偏导数为reee0rrreere,e0er,ersine,eesinercosecose,2．矢量的坐标变换[一般公式]一个由(x，y，z)坐标系所表达的矢量可以用(,,)坐标系来表达:＝(x，y，z＝x＋y＋z＝eee)ijk式中xxxx222222222xzxyyzxyzyyyy222222222xzxyyzxyzzzzz222222222xzxyyzxyz[圆柱面坐标系与直角坐标系的互换]由圆柱面坐标系到直角坐标系的变换公式xcossinysincoszz由直角坐标系到圆柱面坐标系的变换公式6/12个人采集整理仅供参照学习xcosysinxsinycoszz[球面坐标系与直角坐标系的互换]由球面坐标系到直角坐标系的变换公式xrsincoscoscossinyrsinsincossincoszrcossin由直角坐标系到球面坐标系的变换公式xsincosysinsinzcosxcoscosycossinzsinxsinycos3．各种算子在不同样坐标系中的表达式设U＝U(x，y，z)是一个标函数，V＝V(x，y，z)是一个矢函数.[在圆柱面坐标系中各种算子的表达式]哈密顿算子~＝e+e1+ezz梯度gradU＝~U＝eU+e1U+ezUz散度divV＝~·V＝11zz旋度rotV＝~×V＝1zze＋zze＋11ez拉普拉斯算子U＝divgradU＝1U12U2U22z2[在球面坐标系中各种算子的表达式]~1+e1哈密顿算子~＝er+errrsin~U+e1U+e梯度gradＵ＝~Ｕ＝er1Urrrsin7/12个人采集整理仅供参照学习~12r2散度divV=~·V=r1sin1rrrsinrsin旋度rotV＝~×V＝1sinerrsin+1r1rersinrr＋1r1rerrr拉普拉斯算子U＝divgradU＝1rr2U1sin1U12Ur2rrsinrr2sin22三、曲线积分、曲面积分与体积导数[矢量的曲线积分及其计算公式]矢量场R(r)沿曲线的曲线积分定义为nR(r)·dr＝lim~)·ri-1R(rir0i1n式中~的选择没关，曲线ri-1=ri－ri-1，右侧极限与ri由A到B(图8.13)若矢函数Ｒ(r)是连续的(就是它的三个重量是连续函数),曲线也是连续的,且有连续转动的切线,则曲线积分Rrdr存在.若Ｒ(r)为一力场，则Ｐ＝Rrdr就等于把一质点沿着搬动时力Ｒ所作的功.矢量曲线积分的计算公式以下：8/12个人采集整理仅供参照学习Rrdr＝XdxYdyZdzRrdr=Rrdr＋Rrdr(图8.14)1212Rrdr=－RrdrRrTrdr=Rrdr＋TrdrkRrdr=kRrdr(k为常数)[矢量的环流]若是为一闭曲线，则沿曲线的曲线积分Rrdr＝XdxYdyZdz称为矢量场Ｒ(r)沿闭曲线的环流.势量场沿任何闭曲线的环流都等于零.若是Ｒ(r)为一势量场，且它的势函数为时，则曲线积分BRrdr=Rrdr＝(B)－(A)A与连接A，B两点的路径没关，只依赖于A，B两点的地址(图8.15).[矢量的曲面积分]设S为一曲面，令N＝cos,cos,cos表示在曲面S上一点的法线单位矢量,而dS＝NdS表示面积矢量元素.又设(r)=(x,y,z)是定义在曲面S上的连续标函数，R(r)=(X(x,y,z),Y(x,y,z),Z(x,y,z))是定义在曲面S上的连续矢函数，则曲面积分有以下的三种形式：文档来自于网络找寻1标量场的通量(或流量)dS=dydzi＋dzdxj＋dxdykSSyzSzxSxy式中Syz，Szx，Sxy分别表示曲面S在Oyz平面，Ozx平面，Oxy平面上的投影.Sxy的正负号规定以下：当从ｚ轴正方这里规定法线单位矢量与曲面散布在切面的双侧.9/12个人采集整理仅供参照学习向看去时，看到的是曲面S的正面，以为Sxy为正，若是看到的是曲面的反面，则以为Sxy为负(图8.16).矢量场的标通量R·dS=Xdydz＋Ydzdx＋ZdxdySSyzSzxSxy式中Syz等的意义同1.矢量场的矢通量R×dS＝(Zj－Yk)dydz＋(Xk－Zi)dzdx＋(Yi－Xj)dxdySSyzSzxSxy式中Syz等的意义同1.[矢量的体积导数]若是S是包围体积V的闭曲面，并包括点r，则沿闭曲面S的曲面积分(dS,R·dS,R×dS)与体积V之比，当V趋于零时(即它的直径０)的极限称为标量场SSS(或矢量场R)在点r处的体积导数(或空间导数).文档来自于网络找寻1标量场的体积导数就是它的梯度：dSgrad＝limSV0V矢量场Ｒ的体积导数之一是它的散度：RdSdivR＝limSV0V矢量场Ｒ的另一个体积导数是它的旋度：RdSrotR＝－limSV0V四、矢量的积分定理[高斯公式]divRdV=R·dS=R·NdSVSS10/12个人采集整理仅供参照学习即XYZdxdydzXcosYcosZcosdSVxyzS式中Ｓ为空间地域Ｖ的界线曲面，N＝cos,cos,cos为在S上一点的法线单位矢量，R(r)=(X(x,y,z),Y(x,y,z),Z(x,y,z))在V＋S上有连续偏导数.[斯托克斯公式]rotＲ·dS＝rotR·NdS＝R·drSSL即ZYdydzXZdzdxYXSyzzxxdxdyy=ZYcosXZcosYXcosdSSyzzxxy=XdxYdyZdzL式中S为必然曲面的一侧，L为曲面S的闭界线曲线(L的正向与N组成右手系).S的每点有切面，其方向连续地依赖于曲面上的点，而界线曲线L上的每点都有切线(图8.1