《函数的应用（小结）》同步练习2

《函数的应用（小结）》同步练习（2）第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合，，则A∩B＝()A． B．{y|0＜y＜1}C． D．Ø[答案]A[解析]由x＞1可得，，因此A＝{y|y＞0}，，所以，故选A.2．若函数则f(f(10))＝()A．lg101 B．2C．1 D．0[答案]B[解析]∵f(10)＝lg10＝1，∴f(f(10)＝f(1)＝12＋1＝2.3．函数的定义域是()A．(－1,0) B．(－1,1)C．(0,1) D．(0,1][答案]B[解析]函数有意义应满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋x＞0,1－x＞0，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋x＞0,1－x＞0，))∴－1＜x＜1，故选B.4．设，则a，b，c的大小关系是()A．a＜b＜c B．b＜c＜aC．b＜a＜c D．c＜a＜b[答案]C[解析]a＝，又a＝，∴0＜a＜1.b＝，c＝，∴c＞a＞b，故选C.5．(2015·全国高考湖北理科，5题)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是()A．奇函数，且在(0,1)上是增函数B．奇函数，且在(0,1)上是减函数C．偶函数，且在(0,1)上是增函数D．偶函数，且在(0,1)上是减函数[答案]A[解析]显然f(x)的定义域为(－1,1)，关于原点对称，又∵f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，显然f(x)在(0,1)上单调递增，故选A.6．已知函数f(x)的定义域为R，f(x)在R上是减函数，若f(x)的一个零点为1，则不等式f(2x－1)＞0的解集为()A．B．C．(1，＋∞)D．(－∞，1)[答案]D[解析]由f(x)是定义在R上的减函数且f(x)的一个零点为1，易知当x＜1时f(x)＞0，所以f(2x－1)＞0等价于2x－1＜1，解得x＜1，因此选D.8．函数的图象大致是()[答案]D[解析]当x≥1时，y＝1，当0＜x＜1时，，故选D.9．函数在区间()内有零点()A．(－2，－1) B．(0,1)C．(－1,0) D．(1,2)[答案]C[解析]，，∴f(0)f(－1)<0，因此f(x)在(－1,0)上有零点，选C.10．某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品，已知经销甲商品与乙商品所获得的利润分别为P(万元)和Q(万元)，且它们与投入资金x(万元)的关系是：，Q＝(a＞0)；若不管资金如何投放，经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不少于5万元，则a的最小值应为()A. B．5C． D．[答案]A[解析]设投放x万元经销甲商品，则经销乙商品投放(20－x)万元，总利润y＝P＋Q＝.令y≥5，则，所以，即恒成立，而的最大值为，且x＝20时，也成立，所以，故选A.11．函数，则的大小关系是()A． B．C D．[答案]B[解析]，，∵lg4>lg3>lg2，∴，故选B.12．(2015·沧州市第一学期高一期末质量监测)定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，，则方程f(x)＝0的实数根的个数是()A．1 B．2C．3 D．4[答案]C[解析]，在(0，＋∞)上为增函数，又f(1)＝2015>0，当x无限接近零时，2015x近似为1，log2015x是负数且无限小，因此函数值为负，所以f(x)在(0，＋∞)上只有一根，又f(x)为奇函数，f(x)在(－∞，0)上递增且有一根，又f(0)＝0，因此，f(x)在R上有3个零点，故选C.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．若幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(25)的值是________．[答案][解析]，，∴，.14．设函数y＝x3与的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是(n，n＋1)，n∈N＋，则n＝________.[答案]1[解析]，又f(x)为增函数，∴x0∈(1,2)．15．对于函数f(x)＝x－2－lnx，我们知道f(3)＝1－ln3＜0，f(4)＝2－ln4＞0，用二分法求函数f(x)在区间(3,4)内的零点的近似值，我们先求出函数值f，若已知＝，则接下来我们要求的函数值是________．[答案]f[解析]由＝且f＝－2－≈＞0，以及f(3)＜0可知下一步应代入的x值为和3的平均数，即接下来我们需求的函数值为f．16．对于函数在其定义域内任意的x1，x2且x1≠x2，有如下结论：①f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)；②f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)；③；④，上述结论中正确结论的序号是________．[答案]②③[解析]对于①，取x1＝2，x2＝4，可知，而f(x1＋x2)＝，因此①不成立；对于②，由对数运算性质有＝，因此②成立；对于③，表示的正是两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))之间的变化率情况，由f(x)＝log2x的图象易知其函数图象上任意两点之间的变化率必为正，因此③成立；对于④，取x1＝2，x2＝8，可知＝＝2，＝log25，而，此时，因此④不成立．综上所述，应填②③.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2015·湖南省临澧二中高一数学检测题)求下列各式的值：(1)；(2)[解析](1)原式＝＝＝＝.(2)原式＝＝.18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，求实数a的取值范围．[解析]函数f(x)＝x2＋x＋a的对称轴方程为，故f(x)在(0,1)上递增．由已知条件f(0)f(1)＜0，即，故，解得－2＜a＜0，故a的取值范围为：(－2,0)．19．(本小题满分12分)设函数f(x)＝log2(4x)·log2(2x)，eq\f(1,4)≤x≤4.(1)若t＝log2x求t的取值范围；(2)求f(x)的最值，并求出最值时，对应x的值．[解析](1)∵，，∴log2eq\f(1,4)≤t≤log24，∴－2≤t≤2.(2)f(x)＝＝＝，设，∴y＝t2＋3t＋2＝当，即，时，当t＝2即，x＝4时，.20．(本小题满分12分)定义在[－1,1]上的偶函数f(x)，已知当x∈[0,1]时的解析式为f(x)＝－22x＋a·2x(a∈R)．(1)求f(x)在[－1,0]上的解析式．(2)求f(x)在[0,1]上的最大值h(a)．[解析](1)设x∈[－1,0]，则－x∈[0,1]，，又∵函数f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)，∴，x∈[－1,0]．(2)∵，x∈[0,1]，令t＝2x，t∈[1,2]．∴g(t)＝at－t2＝当，即a≤2时，h(a)＝g(1)＝a－1；当，即2＜a＜4时，；当，即时，h(a)＝g(2)＝2a－4.综上所述，21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常数且a＞0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．(1)求f(x)的解析式；(2)若不等式在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．[解析](1)由题意得⇒a＝2，b＝3，∴f(x)＝3·2x(2)设，则y＝g(x)在R上为减函数．(可以不证明)∴当x≤1时，因为在x∈(－∞，1]上恒成立，即，即，∴m的取值范围为：.22．(本小题满分12分)(2015·山东济宁月考)为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租．该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(日净收入＝一日出租自行车的总收入－管理费用)．(1)求函数y＝f(x)的解析式及其定义域；(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使日净收入最多？[解析](1)当x≤6时，y＝50x－115，令50x－115＞0，解得x＞.∵x∈N*，∴x≥3，∴3≤x≤6，x∈N*.当x＞6时，y＝[50－3(x－6)]x－115.令[5