2023届江苏省南京市育英外学校数学九年级第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（每题4分，共48分）1．抛物线y＝（x﹣1）2﹣2的顶点是（）A．（1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，2） D．（﹣1，﹣2）2．在一个晴朗的上午，小丽拿着一块矩形木板在阳光下做投影实验，矩形木板在地面上形成的投影不可能是（）A． B．C． D．3．方程5x2=6x﹣8化成一元二次方程一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．5、6、﹣8B．5，﹣6，﹣8C．5，﹣6，8D．6，5，﹣84．如图，，是四边形的对角线，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点，连接，，，，要使四边形为正方形，则需添加的条件是（）A．， B．，C．， D．，5．下列关于一元二次方程（，是不为的常数）的根的情况判断正确的是（）A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根C．方程没有实数根 D．方程有一个实数根6．如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①；②；③当时，随的增大而增大；④一元二次方程的两根分别为，；⑤；⑥若，为方程的两个根，则且，其中正确的结论有（）A．个 B．个 C．个 D．个7．将抛物线y=3x2﹣3向右平移3个单位长度，得到新抛物线的表达式为（）A．y=3（x﹣3）2﹣3 B．y=3x2 C．y=3（x+3）2﹣3 D．y=3x2﹣68．如图，已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，点D是上一点，BD交AC于点E，若BC=4，AD=，则AE的长是（）A．1 B．1.2 C．2 D．39．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，OC，OD，若∠A＝20°，则∠COD的度数为（）A．40° B．60° C．80° D．100°10．反比例函数的图像经过点，，则下列关系正确的是（）A． B． C． D．不能确定11．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，那么的值为（）A． B． C． D．12．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=1．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S1．则S1﹣S2+S3+S1等于（）A．1 B．6 C．8 D．12二、填空题（每题4分，共24分）13．两个函数和（abc≠0）的图象如图所示，请直接写出关于x的不等式的解集_______________．14．已知是一元二次方程的一个解，则的值是__________．15．已知在反比例函数图象的任一分支上，都随的增大而增大，则的取值范围是______．16．如图，已知反比例函数的图象经过斜边的中点，与直角边相交于点．若的面积为8，则的值为________．17．如图，已知直线y＝﹣x+2分别与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线y＝交于E，F两点，若AB＝2EF，则k的值是_____．18．如图，在A时测得某树的影长为4米，在B时测得该树的影长为9米，若两次日照的光线互相垂直，则该树的高度为___________米.三、解答题（共78分）19．（8分）如图，已知，直线垂直平分交于，与边交于，连接，过点作平行于交于点，连.（1）求证：；（2）求证：四边形是菱形；（3）若，求菱形的面积.20．（8分）先化简，再求值．，请从一元二次方程x2+2x-3=0的两个根中选择一个你喜欢的求值．21．（8分）（1）计算：；（2）解方程．22．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B(3，0)，C(0，3)，点M是抛物线的顶点．（1）求二次函数的关系式；（2）点P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．若OD＝m，△PCD的面积为S，①求S与m的函数关系式，写出自变量m的取值范围．②当S取得最值时，求点P的坐标；（3）在MB上是否存在点P，使△PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．23．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，求点D的坐标；（3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；24．（10分）如图，点D是AC上一点，BE//AC，AE分别交BD、BC于点F、G，若∠1=∠2，线段BF、FG、FE之间有怎样的关系？请说明理由.25．（12分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，PA是⊙O切线，PC交⊙O于点D．（1）求证：∠PAC＝∠ABC；（2）若∠BAC＝2∠ACB，∠BCD＝90°，AB＝，CD＝2，求⊙O的半径．26．（1）（问题发现）如图①，正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和AD上，连接CF．填空：①线段CF与DG的数量关系为；②直线CF与DG所夹锐角的度数为．（2）（拓展探究）如图②，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②进行说明．（3（解决问题）如图③，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝4，O为AC的中点．若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D的运动过程中，线段OE长的最小值为（直接写出结果）．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、A【分析】根据顶点式的坐标特点直接写出顶点坐标即可解决．【详解】解：∵y＝（x﹣1）2﹣2是抛物线解析式的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，﹣2）．故选：A．【点睛】本题考查了顶点式，解决本题的关键是正确理解二次函数顶点式中顶点坐标的表示方法.2、A【解析】解：将矩形木框立起与地面垂直放置时，形成B选项的影子；将矩形木框与地面平行放置时，形成C选项影子；将木框倾斜放置形成D选项影子；根据同一时刻物高与影长成比例，又因矩形对边相等，因此投影不可能是A选项中的梯形，因为梯形两底不相等．故选A．3、C【解析】根据一元二次方程的一般形式进行解答即可.【详解】5x2=6x﹣8化成一元二次方程一般形式是5x2﹣6x+8=0，它的二次项系数是5，一次项系数是﹣6，常数项是8，故选C．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．4、A【分析】证出、、、分别是、、、的中位线，得出，，，，证出四边形为平行四边形，当时，，得出平行四边形是菱形；当时，，即，即可得出菱形是正方形．【详解】点，分别是，的中点，点，分别是，的中点，、、、分别是、、、的中位线，，，，，四边形为平行四边形，当时，，平行四边形是菱形；当时，，即，菱形是正方形；故选：．【点睛】本题考查了正方形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定以及三角形中位线定理；熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．5、B【分析】首先用表示出根的判别式，结合非负数的性质即可作出判断．【详解】由题可知二次项系数为，一次项系数为，常数项为，，是不为的常数，，方程有两个不相等的实数根，故选：B.【点睛】本题主要考查了根的判别式的知识，解答此题要掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：①△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；②△=0⇔方程有两个相等的实数根③△＜0⇔方程没有实数根．6、C【分析】利用二次函数图象与系数的关系，结合图象依次对各结论进行判断．【详解】解：抛物线与轴交于点，其对称轴为直线抛物线与轴交于点和，且由图象知：，，故结论①正确；抛物线与x轴交于点故结论②正确；当时，y随x的增大而增大；当时，随的增大而减小结论③错误；，抛物线与轴交于点和的两根是和，即为：，解得，；故结论④正确；当时，故结论⑤正确；抛物线与轴交于点和，，为方程的两个根，为方程的两个根，为函数与直线的两个交点的横坐标结合图象得：且故结论⑥成立；故选C．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，关键在于二次函数的系数所表示的意义，以及与一元二次方程的关系,这是二次函数的重点知识.7、A【解析】根据二次函数的图象平移规律：左加右减，上加下减，即可得出.【详解】抛物线向右平移3个单位,得到的抛物线的解析式是故选A.【点睛】本题主要考查二次函数的图象平移规律：左加右减，上加下减.8、A【解析】利用圆周角性质和等腰三角形性质，确定AB为圆的直径，利用相似三角形的判定及性质，确定△ADE和△BCE边长之间的关系，利用相似比求出线段AE的长度即可．【详解】解：∵等腰Rt△ABC，BC=4，∴AB为⊙O的直径，AC=4，AB=4，∴∠D=90°，在Rt△ABD中，AD=，AB=4，∴BD=，∵∠D=∠C，∠DAC=∠CBE，∴△ADE∽△BCE，∵AD：BC=：4=1：5，∴相似比为1：5，设AE=x，∴BE=5x，∴DE=-5x，∴CE=28-25x，∵AC=4，∴x+28-25x=4，解得：x=1．故选A．【点睛】题目考查了圆的基本性质、等腰直角三角形性质、相似三角形的判定及应用等知识点，题目考查知识点较多，是一道综合性试题，题目难易程度适中，适合课后训练．9、C【分析】利用圆周角与圆心角的关系得出∠COB=40°，再根据垂径定理进一步可得出∠DOB=∠COB，最后即可得出答案.【详解】∵∠A=20°，∴∠COB=2∠A=40°，∵CD⊥AB，OC=OD，∴∠DOB=∠COB=40°，∴∠COD=∠DOB+∠COB=80°.故选：C.【点睛】本题主要考查了圆周角、圆心角与垂径定理的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.10、B【分析】根据点的横坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出y1、y2的值，比较后即可得出结论．【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，，

∴y1=3，y2=，

∵3＞，

∴．

故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据点的横坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出点的纵坐标是解题的关键．11、D【分析】把∠A置于直角三角形中，进而求得对边与斜边之比即可．【详解】解：如图所示，在Rt△ACD中，AD=4,CD=3,∴AC===5∴==.故选D.【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义；合理构造直角三角形是解题关键．12、B【解析】本题先根据正方形的性质和等量代换得到判定全等三角形的条件,再根据全等三角形的判定定理和面积相等的性质得到S、S、、与△ABC的关系,即可表示出图中阴影部分的面积和.本题的着重点是等量代换和相互转化的思想.【详解】解：如图所示,过点F作FG⊥AM交于点G,连接PF.根据正方形的性质可得:AB=BE,BC=BD,∠ABC+∠CBE=∠CBE+∠EBD=90,即∠ABC=∠EBD.在△ABC和△EBD中,AB=EB，∠ABC=∠EBD,BC=BD所以△ABC≌△EBD(SAS),故S=,同理可证,△KME≌△TPF,△FGK≌△ACT,因为∠QAG=∠AGF=∠AQF=90,所以四边形AQFG是矩形,则QF//AG,又因为QP//AC,所以点Q、P,F三点共线,故S+S=,S=.因为∠QAF+∠CAT=90,∠CAT+∠CBA=90,所以∠QAF=∠CBA,在△AQF和△ACB中,因为∠AQF=∠ACB,AQ=AC,∠QAF=∠CAB所以△AQF≌△ACB(ASA),同理可证△AQF≌△BCA,故S1﹣S2+S3+S1==31=6,故本题正确答案为B.【点睛】本题主要考查正方形和全等三角形的判定与性质.二、填空题（每题4分，共24分）13、或；【分析】由题意可知关于x的不等式的解集实际上就是一次函数的值大于反比例函数的值时自变量x的取值范围，由于反比例函数的图象有两个分支，因此可以分开来考虑．【详解】解：关于x的不等式的解集实际上就是一次函数的值大于反比例函数的值时自变量x的取值范围，观察图象的交点坐标可得：或.【点睛】本题考查一次函数的图象和性质、反比例函数的图象和性质以及一次函数、反比例函数与一次不等式的关系，理解不等式与一次函数和反比例函数的关系式解决问题的关键．14、4【分析】把x=-2代入x2+mx+4=0可得关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值.【详解】∵是一元二次方程的一个解，∴4-2m+4=0，解得：m=4，故答案为：4【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．15、【分析】根据反比例函数的图象与性质即可求出k的范围．【详解】解：由题意可知：，

∴，故答案为：．【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是熟练运用反比例函数的性质，本题属于基础题型．16、【分析】过D点作x轴的垂线交x轴于E点，可得到四边形DBAE和三角形OBC的面积相等，通过面积转化，可求出k的值．【详解】解：过D点作x轴的垂线交x轴于E点，∵△ODE的面积和△OAC的面积相等．的面积与四边形的面积相等，∴四边形DEAB＝8，设D点的横坐标为x，纵坐标就为∵D为OB的中点．∴∴四边形DEAB的面积可表示为：∴故答案为：【点睛】本题考查反比例函数的综合运用，关键是知道反比例函数图象上的点和坐标轴构成的三角形面积的特点以及根据面积转化求出k的值．17、．【分析】作FH⊥x轴，EC⊥y轴，FH与EC交于D，先利用一次函数图像上的点的坐标特征得到A点（2，0），B点（0，2），易得△AOB为等腰直角三角形，则AB＝2，所以，EF＝AB＝，且△DEF为等腰直角三角形，则FD＝DE＝EF＝1，设F点坐标是：（t，﹣t+2），E点坐标为（t+1，﹣t+1），根据反比例函数图象上的点的坐标特征得到t（﹣t+2）＝（t+1）•（﹣t+1），解得t＝，则E点坐标为（，），继而可求得k的值．【详解】如图，作FH⊥x轴，EC⊥y轴，FH与EC交于D，由直线y＝﹣x+2可知A点坐标为（2，0），B点坐标为（0，2），OA＝OB＝2，∴△AOB为等腰直角三角形，∴AB＝2，∴EF＝AB＝，∴△DEF为等腰直角三角形，∴FD＝DE＝EF＝1，设F点横坐标为t，代入y＝﹣x+2，则纵坐标是﹣t+2，则F的坐标是：（t，﹣t+2），E点坐标为（t+1，﹣t+1），∴t（﹣t+2）＝（t+1）•（﹣t+1），解得t＝，∴E点坐标为（，），∴k＝×＝．故答案为．【点睛】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k,即xy＝k．18、6【解析】根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△CDF，进而可得，代入数据可得答案．【详解】如图，在中，米，米，易得，，即，米.故答案为：6.【点睛】本题通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小，是平行投影性质在实际生活中的应用．三、解答题（共78分）19、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）24.【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质即可得出答案；（2）先判定AECF是平行四边形，根据对角线垂直，即可得出答案；（3）根据勾股定理求出DE的值，根据“菱形的面积等于对角线乘积的一半”计算即可得出答案.【详解】（1）证明：由图可知，又∵，∴，∴；解：（2）由（1）知：∴四边形是平行四边形，又∵∴是菱形；（3）在中，∴；【点睛】本题考查的是菱形，难度适中，需要熟练掌握菱形的判定以及菱形面积的公式.20、，【分析】根据分式的运算法则进行化简，再把使分式有意义的方程的根代入即可求解．【详解】解：＝＝＝＝，∵x2+2x-3=0的两根是-3，1，又∵x不能为1所以把x=﹣3代入，原式=．【点睛】本题考查分式的化简求值、解一元二次方程，注意代入数值时，要选择使分式有意义的数．21、（1）；（2）无解【分析】（1）先算开方，0指数幂，绝对值，再算加减；（2）两边同时乘以，去分母，再解整式方程.【详解】（1）解：原式==（2）解：两边同时乘以，得：经检验是原方程的增根，∴原方程无解．【点睛】考核知识点：解分式方程.把分式方程化为整式方程是关键.22、（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）①S＝﹣m2+3m，1≤m≤3；②P(，3)；（3）存在，点P的坐标为(，3)或(﹣3+3，12﹣6)．【分析】（1）将点B，C的坐标代入即可；（2）①求出顶点坐标，直线MB的解析式，由PD⊥x轴且知P（m，﹣2m+6），即可用含m的代数式表示出S；②在①的情况下，将S与m的关系式化为顶点式，由二次函数的图象及性质即可写出点P的坐标；（3）分情况讨论，如图2﹣1，当时，推出，则点P纵坐标为3，即可写出点P坐标；如图2﹣2，当时，证，由锐角三角函数可求出m的值，即可写出点P坐标；当时，不存在点P．【详解】（1）将点B（3，0），C（0，3）代入，得，解得，∴二次函数的解析式为；（2）①∵，∴顶点M（1，4），设直线BM的解析式为，将点B（3，0），M（1，4）代入，得，解得，∴直线BM的解析式为，∵PD⊥x轴且，∴P（m，﹣2m+6），∴，即，∵点P在线段BM上，且B（3，0），M（1，4），∴；②∵，∵，∴当时，S取最大值，∴P（，3）；（3）存在，理由如下：①如图2﹣1，当时，∵，∴四边形CODP为矩形，∴，将代入直线，得，∴P（，3）；②如图2﹣2，当∠PCD＝90°时，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，解得（舍去），，∴P（，），③当时，∵PD⊥x轴，∴不存在，综上所述，点P的坐标为（，3）或（，）．【点睛】本题考查了二次函数的动点问题，掌握二次函数的性质以及解二次函数的方法是解题的关键．23、（1）y＝x2﹣x﹣6；（2）点D的坐标为（，﹣5）；（3）△BCE的面积有最大值，点E坐标为（，﹣）．【分析】（1）先求出点A，C的坐标，再将其代入y＝x2+bx+c即可；（2）先确定BC交对称轴于点D，由两点之间线段最短可知，此时AD+CD有最小值，而AC的长度是定值，故此时△ACD的周长取最小值，求出直线BC的解析式，再求出其与对称轴的交点即可；（3）如图2，连接OE，设点E（a，a2﹣a﹣6），由式子S△BCE＝S△OCE+S△OBE﹣S△OBC即可求出△BCE的面积S与a的函数关系式，由二次函数的图象及性质可求出△BCE的面积最大值，并可写出此时点E坐标．【详解】解：（1）∵OA＝2，OC＝6，∴A（﹣2，0），C（0，﹣6），将A（﹣2，0），C（0，﹣6）代入y＝x2+bx+c，得，解得，b＝﹣1，c＝﹣6，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣6；（2）在y＝x2﹣x﹣6中，对称轴为直线x＝，∵点A与点B关于对称轴x＝对称，∴如图1，可设BC交对称轴于点D，由两点之间线段最短可知，此时AD+CD有最小值，而AC的长度是定值，故此时△ACD的周长取最小值，在y＝x2﹣x﹣6中，当y＝0时，x1＝﹣2，x2＝3，∴点B的坐标为（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx﹣6，将点B（3，0）代入，得，k＝2，∴直线BC的解析式为y＝2x﹣6，当x＝时，y＝﹣5，∴点D的坐标为（，﹣5）；（3）如图2，连接OE，设点E（a，a2﹣a﹣6），S△BCE＝S△OCE+S△OBE﹣S△OBC＝×6a+×3（﹣a2+a+6）﹣×3×6＝﹣a2+a＝﹣（a﹣）2+，根据二次函数的图象及性质可知，当a＝时，△BCE的面积有最大值，当a=时,∴此时点E坐标为（，﹣）．【点睛】本题考查的是二次函数的综合，难度适中，第三问解题关键是找出面积与a的关系式，再利用二次函数的图像与性质求最值.24、BF2=FG·EF.【解析】由题意根据BE∥AC，可得∠1=∠E，然后有∠1=∠2，可得∠2=∠E，又由∠GFB=∠BFE，可得出△BFG∽△EFB，最后可得出BF2=FG•FE．【详解】解：BF2=FG·EF.证明：∵BE∥AC，∴∠1=∠E.∵∠1=∠2，∴∠2=∠E.又∵∠BFG=∠EFB，∴△BFG∽△EFB.∴，∴BF2=FG·EF.【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是根据BE∥AC，得出∠1=∠E，进而判定△BFG∽△EFB．25、（1）见解析；（2）⊙O的半径为1【分析】（1）连接AO延长AO交⊙O于点E，连接EC．想办法证明：∠B+∠EAC=90°，∠PAC+∠EAC=90°即可解决问题；

（2）连接BD，作OM⊥BC于M交⊙O于F，连接OC，CF．设⊙O的半径为x．求出OM，根据CM2=OC2-OM2=CF2-FM2构建方程即可解决问题；【详解】（1）连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．∵AE是直径，∴∠ACE＝90°，∴∠EAC+∠E＝90°，∵∠B＝∠E，∴∠B+∠EAC＝90°，∵PA是切线，∴∠PAO＝90°，∴∠PAC+∠EAC＝90°，∴∠PAC＝∠ABC．（2）连接BD，作OM⊥BC于M交⊙O于F，连接OC，CF．设⊙O的