2020届辽宁省葫芦岛协作校高三4月质量检测(一模) 数学(理)

---BE=仝，故BCj3,0,0),AC,l,j3),E(0,0,0),BCj3,0八3),tan60o1uuu(一)uuu(一)uuuv(一_)EB=Vv3,0,0,EA=0,1八3,EB=Jp3,0,、3uv设面uv设面BA1E法向量为n1=%人,z1uuv面B1A1E法向量为—2,打，叮，uvuuuvn-EBuvuuuvn-EB=0uv1uuuvnvn-EA=011—y/3x=0/，取z_y+13z=011得^=6=3,1),8分uuvuuuvn-EBuuvuuuvn-EB=0uvuuunvn-EA=021—p3x+z—022y+\:3z=022得n=C,f3,1),210分则二面角B-则二面角B-A1E-B］的余弦值cos9uvuvn-n=4*1_uVn-n1122020．（本题满分12分）”c=1解：（I）由题知v丄+丄=12分TOC\o"1-5"\h\z、a22b2解得a2=2，b2=1，3分x2所以椭圆C的方程为亍+y2=14分(II)设A(x,y)，B(x,y)因为直线l的斜率不为零，令l的方程为：x=my+11122x=my+1由vx24得(m2+2)y2+2my一1=05分——+y2=1〔2

2m则人+y2一E，yi-y2=小'因为以AP为直径的圆与直线X二2的另一个交点为Q，所以AQ丄PQ，则Q(2,yj…7分y—yy—y则k=2「故BQ的方程为：y―y=21(x―2)BQx—21x—2226分8分令y=6分8分—y(x—2)—y(my—1)—myy+yX=1_2+2=12+2=4^1+2y—y2-1y2-y12—y2—y19分2mm2+2my1y210分y+y丄—t缶+y所以x=-—y—y2111分3故直线BQ恒过定点，且定点为(㊁,。)12分21.(本题满分12分)解：(I)因为f'(x)=a—1—lnx.分所以f'(x)在(0,+g)上单调递减且f'(ea-1)=0①若ea-1<1即a<1,则当X>1时，f'(x)<0,所以f(x)在G'+g)上单调递减②若ea-1>1即a>1,则当1<x<ea一1时，f'(x)>0,所以f(x)在C,ea-1)上单调递增；--5当x>ea一1时，f'(x)<0,所以f(x)在Ca一1,+g)上单调递减.6分(II)h(x)=x(a-lnx)-x2-e-x，h'(x)=a-1-lnx-2x+e-x是(0,+g)上的减函数7分当xt0时h，(x)t+8,xt+x)时h(x)t-8所以存在唯一正实数x满足h，(x)=0即a=1+lnx+2x-e-x0'0000当xe所以存在唯一正实数x满足h，(x)=0即a=1+lnx+2x-e-x0'0000当xe(0,x)时h，C)>0,h(x)是(0,x)上的增函数；00当xe(x,+g)时h，(x)<0,h(x)是(x,+g)上的减函数.00所以h(x)=h(x)=ax—xlnx—X2—e-x0将(*)式代入整理得00000h(x)=h(x)=x+x2-xe—x0—e—x0=(1+x)(x—e—x0)000000max(*)8分9分10分max由题设h(x)=0而1+x>0所以x—e-x0=0艮卩e-x0二x所以—x=lnx—11分00000max所以a=1+lnx+2x-e—x0=1—x+2x—x=10000012分请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】解:(I)曲线C的普通方程为(x-石)2+(y—2)2=4,1即X2+y2—2\：''3x—4y+3二02分又x=pcos9,y=psin9，代入上式3分得C的极坐标方程为p2—2P3pcos9—4psin9+3=0.15分(II)设P(p,9),Q(p,9),12将9=f代入p2—213pcos9—4psin9+3=0,6分7分8分所以pp二3,129分所以丨OPI-1OQI二3.10分23．（本题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】2分IxW—1解：(I)当m=1时，丨x—1I—12x+2I>12分丨x+3>1—1<x<1-3x—1>1x>1-x-3>1……3分2解得—2<x<——32所以原不等式的解集为[—2,—3].……5分(II)f(x)+11—11<11+11of(x)<11+11—11—11对任意xGR恒成立，对实数t有解.x+3m,x<—m\*f(x)=<—3x—m,—m<x<m,6分—x—3m,x>m根据分段函数的单调性可知：x=—m时，f(x)取得最大值f(—m)=2m,7分VIIt+11—11—1