江苏2023高三数学一轮复习-直线与圆

直线与圆第1讲直线的斜率与方程考试要求1.直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线斜率的计算公式，B级要求；2.确定直线位置的几何要素，直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，C级要求；3.斜截式与一次函数的关系，A级要求．知识梳理1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；②规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；③范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π)．(2)直线的斜率①定义：当直线l的倾斜角α≠eq\f(π,2)时，其倾斜角α的正切值tanα叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tan_α；②斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).2．直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率y＝kx＋b与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率y－y0＝k(x－x0)两点式过两点eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有直线3．线段的中点坐标公式若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋x2,2)，,y＝\f(y1＋y2,2)，))此公式为线段P1P2的中点坐标公式．诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．()(2)直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α.()(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．()(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．()(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．()解析(1)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1＞α2，但其对应斜率k1＝－1，k2＝1，k1＜k2.(2)当直线斜率为tan(－45°)时，其倾斜角为135°.(3)斜率相等的两直线的倾斜角一定相等．(4)当直线的斜率不存在时，不可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√2．(2023·衡水金卷)直线x－y＋1＝0的倾斜角为________．解析由题得，直线y＝x＋1的斜率为1，设其倾斜角为α，则tanα＝1，又0°≤α＜180°，故α＝45°.答案45°3．如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过第________象限．解析由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－eq\f(C,A)>0，在y轴上的截距－eq\f(C,B)>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．答案三4．(必修2P73练习3改编)已知A(3,5)，B(4,7)，C(－1，x)三点共线，则x＝______.解析∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，∴eq\f(7－5,4－3)＝eq\f(x－5,－1－3)，∴x＝－3.答案－35．过点P(2,3)且在两轴上截距相等的直线方程为________________．解析当纵、横截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；当截距不为0时，设直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，则eq\f(2,a)＋eq\f(3,a)＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0.答案3x－2y＝0或x＋y－5＝0考点一直线的倾斜角与斜率(典例迁移)【例1】(1)直线2xcosα－y－3＝0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))))的倾斜角的取值范围是________．(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，eq\r(3))为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．解析(1)直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα，因为α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))，所以eq\f(1,2)≤cosα≤eq\f(\r(3),2)，因此k＝2·cosα∈[1，eq\r(3)]．设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，eq\r(3)]．又θ∈[0，π)，所以θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))，即倾斜角的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3))).(2)如图，∵kAP＝eq\f(1－0,2－1)＝1，kBP＝eq\f(\r(3)－0,0－1)＝－eq\r(3)，∴直线l的斜率k∈(－∞，－eq\r(3)]∪[1，＋∞)．答案(1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))(2)(－∞，－eq\r(3)]∪[1，＋∞)【迁移探究1】若将题(2)中P(1,0)改为P(－1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．解∵P(－1,0)，A(2,1)，B(0，eq\r(3))，∴kAP＝eq\f(1－0,2－－1)＝eq\f(1,3)，kBP＝eq\f(\r(3)－0,0－－1)＝eq\r(3).如图可知，直线l斜率的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\r(3))).【迁移探究2】将题(2)中的B点坐标改为B(2，－1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的范围．解如图：直线PA的倾斜角为eq\f(π,4)，直线PB的倾斜角为eq\f(3π,4)，由图象知直线l的倾斜角的范围为[0，eq\f(π,4)]∪[eq\f(3π,4)，π)．规律方法直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))与eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝eq\f(π,2)时，斜率不存在；当α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))时，斜率k∈(－∞，0)．【训练1】(2023·常州期末)直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是________．解析设直线的倾斜角为θ，则有tanθ＝－sinα.因为sinα∈[－1,1]，所以－1≤tanθ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤eq\f(π,4)或eq\f(3π,4)≤θ<π.答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))考点二直线方程的求法【例2】根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为eq\f(\r(10),10)；(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.解(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sinα＝eq\f(\r(10),10)(0≤α<π)，从而cosα＝±eq\f(3\r(10),10)，则k＝tanα＝±eq\f(1,3).故所求直线方程为y＝±eq\f(1,3)(x＋4)．即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.(2)由题设知纵横截距不为0，设直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,12－a)＝1，又直线过点(－3,4)，从而eq\f(－3,a)＋eq\f(4,12－a)＝1，解得a＝－4或a＝9.故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0满足题意；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋10－5k＝0.由点线距离公式，得eq\f(|10－5k|,\r(k2＋1))＝5，解得k＝eq\f(3,4).故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.规律方法根据各种形式的方程，采用待定系数的方法求出其中的系数，在求直线方程时凡涉及斜率的要考虑其存在与否，凡涉及截距的要考虑是否为零截距以及其存在性．【训练2】求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍；(3)经过点B(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．解(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(4,1)，∴l的方程为y＝eq\f(1,4)x，即x－4y＝0.若a≠0，则设l的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，∵l过点(4,1)，∴eq\f(4,a)＋eq\f(1,a)＝1，∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0.综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.(2)由已知：设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.∵tanα＝3，∴tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝－eq\f(3,4).又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－eq\f(3,4)(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1.又过点(3,4)，由点斜式得y－4＝±(x－3)．所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.考点三直线方程的综合应用【例3】已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．(1)证明直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2＝0，,1－y＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝1.))∴无论k取何值，直线总经过定点(－2,1)．(2)解由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－eq\f(1＋2k,k)，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)≤－2，,1＋2k≥1，))解得k>0；当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞)．(3)解由题意可知k≠0，再由l的方程，得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)，0))，B(0,1＋2k)．依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)<0，,1＋2k>0，))解得k>0.∵S＝eq\f(1,2)·OA·OB＝eq\f(1,2)·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1＋2k,k)))·|1＋2k|＝eq\f(1,2)·eq\f(1＋2k2,k)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4k＋\f(1,k)＋4))≥eq\f(1,2)×(2×2＋4)＝4，“＝”成立的条件是k>0且4k＝eq\f(1,k)，即k＝eq\f(1,2)，∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.规律方法在求直线方程的过程中，若有以直线为载体的求面积、距离的最值问题，则可先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．【训练3】已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．解法一设直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a＞0，b＞0)，点P(3,2)代入得eq\f(3,a)＋eq\f(2,b)＝1≥2eq\r(\f(6,ab))，得ab≥24，从而S△ABO＝eq\f(1,2)ab≥12，当且仅当eq\f(3,a)＝eq\f(2,b)时等号成立，这时k＝－eq\f(b,a)＝－eq\f(2,3)，从而所求直线方程为2x＋3y－12＝0.法二依题意知，直线l的斜率k存在且k＜0.则直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k＜0)，且有Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(2,k)，0))，B(0,2－3k)，∴S△ABO＝eq\f(1,2)(2－3k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(2,k)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12＋－9k＋\f(4,－k)))≥eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12＋2\r(－9k·\f(4,－k))))＝eq\f(1,2)×(12＋12)＝12.当且仅当－9k＝eq\f(4,－k)，即k＝－eq\f(2,3)时，等号成立，即△ABO的面积的最小值为12.故所求直线的方程为2x＋3y－12＝0.[思想方法]1．直线的倾斜角和斜率的关系：(1)任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率．(2)直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k0k>0不存在k<02.在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．[易错防范]1．求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．2．根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性．3．截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点.基础巩固题组(建议用时：30分钟)1．直线eq\r(3)x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为________．解析直线的斜率为k＝tanα＝eq\r(3)，又因为0°≤α＜180°，所以α＝60°.答案60°2．(2023·福建卷改编)已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则直线l的方程为________．解析圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.由点斜式得直线l：y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.答案x－y＋3＝03．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围为________．解析∵直线的斜率k＝－eq\f(1,a2＋1)，∴－1≤k＜0，则倾斜角的范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))4．(2023·扬州期中)经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方程为________．解析因为抛物线y2＝2x的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，直线3x－2y＋5＝0的斜率为eq\f(3,2)，所以所求直线l的方程为y＝eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，化为一般式，得6x－4y－3＝0.答案6x－4y－3＝05．已知三角形的三个顶点A(－5,0，)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为________．解析BC的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(1,2)))，∴BC边上中线所在直线方程为eq\f(y－0,－\f(1,2)－0)＝eq\f(x＋5,\f(3,2)＋5)，即x＋13y＋5＝0.答案x＋13y＋5＝06．若直线l的斜率为k，倾斜角为α，而α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))，则k的取值范围是________．解析当eq\f(π,6)≤α<eq\f(π,4)时，eq\f(\r(3),3)≤tanα<1，∴eq\f(\r(3),3)≤k<1.当eq\f(2π,3)≤α<π时，－eq\r(3)≤tanα<0，即－eq\r(3)≤k＜0，∴k∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))∪[－eq\r(3)，0)．答案[－eq\r(3)，0)∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))7．(2023·南通调研)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为________．解析依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋7＝2，,b＋1＝－2，))解得a＝－5，b＝－3，从而可知直线l的斜率为eq\f(－3－1,7＋5)＝－eq\f(1,3).答案－eq\f(1,3)8．(2023·泰州调研)在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是________(填序号)．解析当a>0，b>0时，－a<0，－b<0.②符合．答案②9．(2023·衡水一模)已知直线l的斜率为eq\r(3)，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为________．解析∵直线x－2y－4＝0的斜率为eq\f(1,2)，∴直线l在y轴上的截距为2，∴直线l的方程为y＝eq\r(3)x＋2.答案y＝eq\r(3)x＋210．过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________．解析①若直线过原点，则k＝－eq\f(4,3)，所以y＝－eq\f(4,3)x，即4x＋3y＝0.②若直线不过原点，设直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，即x＋y＝a.则a＝3＋(－4)＝－1，所以直线的方程为x＋y＋1＝0.答案4x＋3y＝0或x＋y＋1＝011．(2023·苏州测试)若直线ax＋by＝ab(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为________．解析∵直线ax＋by＝ab(a＞0，b＞0)过点(1,1)，∴a＋b＝ab，即eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，∴a＋b＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4，当且仅当a＝b＝2时上式等号成立．∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4.答案412．直线l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0，则直线l恒过定点________．解析直线l的方程变形为a(x＋y)－2x＋y＋6＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,－2x＋y＋6＝0，))解得x＝2，y＝－2，所以直线l恒过定点(2，－2)．答案(2，－2)能力提升题组(建议用时：15分钟)13．已知直线l过点(1,0)，且倾斜角为直线l0：x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为________．解析由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α，2α，因为直线l0：x－2y－2＝0的斜率为eq\f(1,2)，则tanα＝eq\f(1,2)，所以直线l的斜率k＝tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×\f(1,2),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(4,3)，所以由点斜式可得直线l的方程为y－0＝eq\f(4,3)(x－1)，即4x－3y－4＝0.答案4x－3y－4＝014．(2023·苏北四市模拟)设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，则点P横坐标的取值范围为________．解析由题意知y′＝2x＋2，设P(x0，y0)，则k＝2x0＋2.因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，则0≤k≤1，即0≤2x0＋2≤1，故－1≤x0≤－eq\f(1,2).答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2)))15．已知直线l过坐标原点，若直线l与线段2x＋y＝8(2≤x≤3)有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．解析设直线l与线段2x＋y＝8(2≤x≤3)的公共点为P(x，y)．则点P(x，y)在线段AB上移动，且A(2,4)，B(3,2)，设直线l的斜率为k.又kOA＝2，kOB＝eq\f(2,3).如图所示，可知eq\f(2,3)≤k≤2.∴直线l的斜率的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，2)).答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，2))16．在平面直角坐标系xOy中，设A是半圆O：x2＋y2＝2(x≥0)上一点，直线OA的倾斜角为45°，过点A作x轴的垂线，垂足为H，过H作OA的平行线交半圆于点B，则直线AB的方程是________．解析直线OA的方程为y＝x，代入半圆方程得A(1,1)，∴H(1,0)，直线HB的方程为y＝x－1，代入半圆方程得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋\r(3),2)，\f(－1＋\r(3),2))).所以直线AB的方程为eq\f(y－1,\f(－1＋\r(3),2)－1)＝eq\f(x－1,\f(1＋\r(3),2)－1)，即eq\r(3)x＋y－eq\r(3)－1＝0.答案eq\r(3)x＋y－eq\r(3)－1＝0第2讲两条直线的位置关系考试要求1.根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直，B级要求；2.用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标，B级要求；3.两点间的距离、点到直线的距离、两条平行直线间的距离，B级要求．知识梳理1．两条直线的位置关系斜截式一般式方程y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq\o\al(2,1)＋Beq\o\al(2,1)≠0)，A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq\o\al(2,2)＋Beq\o\al(2,2)≠0)相交k1≠k2A1B2－A2B1≠0垂直k1＝－eq\f(1,k2)或k1k2＝－1A1A2＋B1B2＝0平行k1＝k2且b1≠b2eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，,B2C1－B1C2≠0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，,A2C1－A1C2≠0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当C2≠0，记为\f(A1,A2)＝\f(B1,B2)≠\f(C1,C2)))重合k1＝k2且b1＝b2A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当C2≠0，记为\f(A1,A2)＝\f(B1,B2)＝\f(C1,C2)))2．两直线相交直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一一对应．相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解．3．距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离OP＝eq\r(x2＋y2).(2)点到直线的距离公式平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).(3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.()(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．()(4)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.()(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．()解析(1)两直线l1，l2有可能重合．(2)如果l1⊥l2，若l1的斜率k1＝0，则l2的斜率不存在．答案(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√2．(2023·北京卷改编)圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为________．解析圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心坐标为(－1,0)，由y＝x＋3得x－y＋3＝0，则圆心到直线的距离d＝eq\f(|－1－0＋3|,\r(12＋－12))＝eq\r(2).答案eq\r(2)3．(2023·扬州中学质检)直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m＝________.解析直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有m(m＋1)＝2×3，故m＝2或－3.答案2或－34．直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是________．解析先将2x＋2y＋1＝0化为x＋y＋eq\f(1,2)＝0，则两平行线间的距离为d＝eq\f(|2－\f(1,2)|,\r(2))＝eq\f(3\r(2),4).答案eq\f(3\r(2),4)5．(必修2P77习题6改编)已知P(－2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________.解析由题意知eq\f(m－4,－2－m)＝1，所以m－4＝－2－m，所以m＝1.答案1考点一两直线的平行与垂直【例1】(1)已知两条直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则a＝________.(2)已知两直线方程分别为l1：x＋y＝1，l2：ax＋2y＝0，若l1⊥l2，则a＝________.解析(1)若a＝0，两直线方程分别为－x＋2y＋1＝0和x＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a≠0；当a≠0时，两直线平行，则有eq\f(a－1,1)＝eq\f(2,a)≠eq\f(1,3)，解得a＝－1或2.(2)因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1.即(－1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))＝－1，解得a＝－2.答案(1)－1或2(2)－2规律方法(1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．【训练1】(1)(2023·南京一中检测)若直线l1：(a－1)x＋y－1＝0和直线l2：3x＋ay＋2＝0垂直，则实数a的值为________．(2)(2023·西安模拟)已知a，b为正数，且直线ax＋by－6＝0与直线2x＋(b－3)y＋5＝0平行，则2a＋3b的最小值为________．解析(1)由已知得3(a－1)＋a＝0，解得a＝eq\f(3,4).(2)由两直线平行可得，a(b－3)＝2b，即2b＋3a＝ab，eq\f(2,a)＋eq\f(3,b)＝1.又a，b为正数，所以2a＋3b＝(2a＋3b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(3,b)))＝13＋eq\f(6a,b)＋eq\f(6b,a)≥13＋2eq\r(\f(6a,b)·\f(6b,a))＝25，当且仅当a＝b＝5时取等号，故2a＋3b的最小值为25.答案(1)eq\f(3,4)(2)25考点二两直线的交点与距离问题【例2】(1)已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－eq\f(1,2)x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________．(2)直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为________．解析(1)法一由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2k＋1，,y＝－\f(1,2)x＋2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2－4k,2k＋1)，,y＝\f(6k＋1,2k＋1).))(若2k＋1＝0，即k＝－eq\f(1,2)，则两直线平行)∴交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2－4k,2k＋1)，\f(6k＋1,2k＋1))).又∵交点位于第一象限，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2－4k,2k＋1)＞0，,\f(6k＋1,2k＋1)＞0，))解得－eq\f(1,6)＜k＜eq\f(1,2).法二如图，已知直线y＝－eq\f(1,2)x＋2与x轴、y轴分别交于点A(4,0)，B(0,2)．而直线方程y＝kx＋2k＋1可变形为y－1＝k(x＋2)，表示这是一条过定点P(－2,1)，斜率为k的动直线．∵两直线的交点在第一象限，∴两直线的交点必在线段AB上(不包括端点)，∴动直线的斜率k需满足kPA＜k＜kPB.∵kPA＝－eq\f(1,6)，kPB＝eq\f(1,2).∴－eq\f(1,6)＜k＜eq\f(1,2).(2)法一当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由题意知eq\f(|2k－3＋k＋2|,\r(k2＋1))＝eq\f(|－4k－5＋k＋2|,\r(k2＋1))，即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－eq\f(1,3).∴直线l的方程为y－2＝－eq\f(1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．法二当AB∥l时，有k＝kAB＝－eq\f(1,3)，直线l的方程为y－2＝－eq\f(1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当l过AB中点时，AB的中点为(－1,4)．∴直线l的方程为x＝－1.故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.答案(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)，\f(1,2)))(2)x＋3y－5＝0或x＝－1规律方法(1)求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．(2)利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数分别化为对应相等．【训练2】(1)曲线y＝2x－x3在横坐标为－1的点处的切线为l，则点P(3,2)到直线l的距离为________．(2)(2023·苏州调研)若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为________．解析(1)曲线y＝2x－x3上横坐标为－1的点的纵坐标为－1，故切点坐标为(－1，－1)．切线斜率为k＝y′|x＝－1＝2－3×(－1)2＝－1，故切线l的方程为y－(－1)＝－1×[x－(－1)]，整理得x＋y＋2＝0.由点到直线的距离公式，得点P(3,2)到直线l的距离为eq\f(|3＋2＋2|,\r(12＋12))＝eq\f(7\r(2),2).(2)因为l1∥l2，所以eq\f(1,a－2)＝eq\f(a,3)≠eq\f(6,2a)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa－2＝3，,2a2≠18，,a≠2，,a≠0，))解得a＝－1，所以l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋eq\f(2,3)＝0，所以l1与l2之间的距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(6－\f(2,3))),\r(2))＝eq\f(8\r(2),3).答案(1)eq\f(7\r(2),2)(2)eq\f(8\r(2),3)考点三对称问题【例3】已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；(3)直线l关于点A对称的直线l′的方程．解(1)设A′(x，y)，再由已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y＋2,x＋1)·\f(2,3)＝－1，,2×\f(x－1,2)－3×\f(y－2,2)＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(33,13)，,y＝\f(4,13)，))∴A′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,13)，\f(4,13))).(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点必在m′上．设对称点为M′(a，b)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋2,2)))－3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋0,2)))＋1＝0，,\f(b－0,a－2)×\f(2,3)＝－1，))解得M′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,13)，\f(30,13))).设m与l的交点为N，则由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0，))得N(4,3)．又∵m′经过点N(4,3)，∴由两点式得直线方程为9x－46y＋102＝0.(3)法一在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如M(1,1)，N(4,3)，则M，N关于点A的对称点M′，N′均在直线l′上．易知M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.法二设P(x，y)为l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，∵P′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.规律方法(1)解决点关于直线对称问题要把握两点，点M与点N关于直线l对称，则线段MN的中点在直线l上，直线l与直线MN垂直．(2)如果直线或点关于点成中心对称问题，则只需运用中点公式就可解决问题．(3)若直线l1，l2关于直线l对称，则有如下性质：①若直线l1与l2相交，则交点在直线l上；②若点B在直线l1上，则其关于直线l的对称点B′在直线l2上．【训练3】光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程．解法一由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋5＝0，,3x－2y＋7＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝2.))∴反射点M的坐标为(－1,2)．又取直线x－2y＋5＝0上一点P(－5，0)，设P关于直线l的对称点P′(x0，y0)，由PP′⊥l可知，kPP′＝－eq\f(2,3)＝eq\f(y0,x0＋5).而PP′的中点Q的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0－5,2)，\f(y0,2)))，又Q点在l上，∴3·eq\f(x0－5,2)－2·eq\f(y0,2)＋7＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y0,x0＋5)＝－\f(2,3)，,\f(3,2)x0－5－y0＋7＝0.))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－\f(17,13)，,y0＝－\f(32,13).))根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x－2y＋33＝0.法二设直线x－2y＋5＝0上任意一点P(x0，y0)关于直线l的对称点为P′(x，y)，则eq\f(y0－y,x0－x)＝－eq\f(2,3)，又PP′的中点Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋x0,2)，\f(y＋y0,2)))在l上，∴3×eq\f(x＋x0,2)－2×eq\f(y＋y0,2)＋7＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y0－y,x0－x)＝－\f(2,3)，,3×\f(x＋x0,2)－y＋y0＋7＝0.))可得P点的横、纵坐标分别为x0＝eq\f(－5x＋12y－42,13)，y0＝eq\f(12x＋5y＋28,13)，代入方程x－2y＋5＝0中，化简得29x－2y＋33＝0，∴所求反射光线所在的直线方程为29x－2y＋33＝0.[思想方法]1．两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合的两条直线l1，l2，l1∥l2⇔k1＝k2；l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意．2．对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称．利用坐标转移法解决问题．[易错防范]1．在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑．2．在运用两平行直线间的距离公式d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))时，一定要注意将两方程中x，y的系数分别化为相同的形式.基础巩固题组(建议用时：30分钟)1．直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是________．解析直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直线x＋2y＋n＝0的斜率为k2＝－eq\f(1,2)，则k1≠k2且k1k2≠－1.答案相交但不垂直2．(2023·盐城中学模拟)“a＝－1”是“直线ax＋3y＋3＝0和直线x＋(a－2)y＋1＝0平行”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选填一个)．解析依题意得，直线ax＋3y＋3＝0和直线x＋(a－2)y＋1＝0平行的充要条件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa－2＝3×1，,a×1≠3×1，))解得a＝－1.答案充要3．点(2,1)关于直线x－y＋1＝0的对称点为________．解析设对称点为(x0，y0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y0－1,x0－2)＝－1，,\f(x0＋2,2)－\f(y0＋1,2)＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝0，,y0＝3，))故所求对称点为(0,3)．答案(0,3)4．过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为________．解析法一由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3y＋4＝0，,2x＋y＋5＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(19,7)，,y＝\f(3,7)，))则所求直线方程为：y＝eq\f(\f(3,7),－\f(19,7))x＝－eq\f(3,19)x，即3x＋19y＝0.法二设直线方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，即(1＋2λ)x－(3－λ)y＋4＋5λ＝0，又直线过点(0,0)，所以(1＋2λ)·0－(3－λ)·0＋4＋5λ＝0，解得λ＝－eq\f(4,5)，故所求直线方程为3x＋19y＝0.答案3x＋19y＝05．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是________．解析设所求直线上任一点(x，y)，则它关于直线x＝1的对称点(2－x，y)在直线x－2y＋1＝0上，即2－x－2y＋1＝0，化简得x＋2y－3＝0.答案x＋2y－3＝06．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________．解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,x＋y＝3，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2.))∴点(1,2)满足方程mx＋2y＋5＝0，即m×1＋2×2＋5＝0，∴m＝－9.答案－97．平面直角坐标系中直线y＝2x＋1关于点(1,1)对称的直线方程是________．解析在直线y＝2x＋1上任取两个点A(0,1)，B(1,3)，则点A关于点(1,1)对称的点为M(2,1)，点B关于点(1,1)对称的点为N(1，－1)．由两点式求出对称直线MN的方程为eq\f(y＋1,1＋1)＝eq\f(x－1,2－1)，即y＝2x－3.答案y＝2x－38．(2023·无锡模拟)若直线l1：x＋3y＋m＝0(m＞0)与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为eq\r(10)，则m＝________.解析直线l1：x＋3y＋m＝0(m＞0)，即2x＋6y＋2m＝0，因为它与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为eq\r(10)，所以eq\f(|2m＋3|,\r(4＋36))＝eq\r(10)，求得m＝eq\f(17,2).答案eq\f(17,2)9．(2023·成都调研)已知直线l1过点(－2,0)且倾斜角为30°，直线l2过点(2,0)且与直线l1垂直，则直线l1与直线l2的交点坐标为________．解析直线l1的斜率为k1＝tan30°＝eq\f(\r(3),3)，因为直线l2与直线l1垂直，所以k2＝－eq\f(1,k1)＝－eq\r(3)，所以直线l1的方程为y＝eq\f(\r(3),3)(x＋2)，直线l2的方程为y＝－eq\r(3)(x－2)．两式联立，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝\r(3)，))即直线l1与直线l2的交点坐标为(1，eq\r(3))．答案(1，eq\r(3))10．从点(2,3)射出的光线沿与向量a＝(8,4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为________．解析由直线与向量a＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k＝eq\f(1,2)，所以直线的方程为y－3＝eq\f(1,2)(x－2)，其与y轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式得反射光线所在的直线方程为x＋2y－4＝0.答案x＋2y－4＝011．(2023·南京师大附中)已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2，2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为________．解析显然直线l的斜率不存在时，不满足题意；设所求直线方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，由已知，得eq\f(|－2k－2＋4－3k|,\r(1＋k2))＝eq\f(|4k＋2＋4－3k|,\r(1＋k2))，∴k＝2或k＝－eq\f(2,3).∴所求直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.答案2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝012．(2023·淮安一调)已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．解析设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b－4,a－－3)·1＝－1，,\f(－3＋a,2)－\f(b＋4,2)＋3＝0，))解得a＝1，b＝0.又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为eq\f(y－0,6－0)＝eq\f(x－1,2－1)，即6x－y－6＝0.答案6x－y－6＝0能力提升题组(建议用时：15分钟)13．(2023·南京模拟)在直角坐标平面内，过定点P的直线l：ax＋y－1＝0与过定点Q的直线m：x－ay＋3＝0相交于点M，则MP2＋MQ2的值为________．解析由题意知P(0,1)，Q(－3,0)，∵过定点P的直线ax＋y－1＝0与过定点Q的直线x－ay＋3＝0垂直，∴M位于以PQ为直径的圆上，∵PQ＝eq\r(9＋1)＝eq\r(10)，∴MP2＋MQ2＝PQ2＝10.答案1014．如图所示，已知两点A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是________．解析易得AB所在的直线方程为x＋y＝4，由于点P关于直线AB对称的点为A1(4,2)，点P关于y轴对称的点为A2(－2,0)，则光线所经过的路程即A1(4,2)与A2(－2,0)两点间的距离，于是A1A2＝eq\r(4＋22＋2－02)＝2eq\r(10).答案2eq\r(10)15．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则PA·PB的最大值是________．解析易知A(0,0)，B(1,3)且两直线互相垂直，即△APB为直角三角形，∴PA·PB≤eq\f(PA2＋PB2,2)＝eq\f(AB2,2)＝eq\f(10,2)＝5.当且仅当PA＝PB时，等号成立．答案516．在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．解析设平面上任一点M，因为MA＋MC≥AC，当且仅当A，M，C共线时取等号，同理MB＋MD≥BD，当且仅当B，M，D共线时取等号，连接AC，BD交于一点M，若MA＋MC＋MB＋MD最小，则点M为所求．∵kAC＝eq\f(6－2,3－1)＝2，∴直线AC的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.①又∵kBD＝eq\f(5－－1,1－7)＝－1，∴直线BD的方程为y－5＝－(x－1)，即x＋y－6＝0.②由①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝0，,x＋y－6＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4，))所以M(2,4)．答案(2,4)第3讲圆的方程考试要求确定圆的几何要素，圆的标准方程与一般方程，C级要求．知识梳理1．圆的定义和圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心C(a，b)半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)充要条件：D2＋E2－4F＞0圆心坐标：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半径r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)2．点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)d＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；(2)d＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)d＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内．诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．()(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆．()(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．()(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.()解析(2)当a＝0时，x2＋y2＝a2表示点(0,0)；当a＜0时，表示半径为|a|的圆．(3)当(4m)2＋(－2)2－4×5m＞0，即m＜eq\f(1,4)或m＞1时才表示圆．答案(1)√(2)×(3)×(4)√2．(2023·北京卷改编)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是________．解析由题意得圆的半径为eq\r(2)，故该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.答案(x－1)2＋(y－1)2＝23．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是________．解析因为点(1,1)在圆的内部，所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，所以－1<a<1.答案(－1,1)4．(2023·浙江卷)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．解析由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆．答案(－2，－4)55．(必修2P111练习1(3)改编)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为________．解析设圆心坐标为C(a,0)，∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上，∴CA＝CB，即eq\r(a＋12＋1)＝eq\r(a－12＋9)，解得a＝2，所以圆心为C(2,0)，半径CA＝eq\r(2＋12＋1)＝eq\r(10)，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.答案(x－2)2＋y2＝10考点一圆的方程【例1】(1)过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2,1)，则圆C的方程为________．(2)已知圆C经过P(－2,4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6，则圆C的方程为________．解析(1)法一由已知kAB＝0，所以AB的中垂线方程为x＝3.①过B点且垂直于直线x－y－1＝0的直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0，②联立①②，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝0，))所以圆心坐标为(3,0)，半径r＝eq\r(4－32＋1－02)＝eq\r(2)，所以圆C的方程为(x－3)2＋y2＝2.法二设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，∵点A(4,1)，B(2,1)在圆上，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－a2＋1－b2＝r2，,2－a2＋1－b2＝r2，))又∵eq\f(b－1,a－2)＝－1，解得a＝3，b＝0，r＝eq\r(2)，故所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝2.(2)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，将P，Q两点的坐标分别代入得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2D－4E－F＝20，,3D－E＋F＝－10.))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(①,②))又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③设x1，x2是方程③的两根，由|x1－x2|＝6，得D2－4F＝36，④由①，②，④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8，或D＝－6，E＝－8，F＝0.故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.答案(1)(x－3)2＋y2＝2(2)x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0规律方法求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.【训练1】(1)(2023·天津卷)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，eq\r(5))在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为eq\f(4\r(5),5)，则圆C的方程为________．(2)(2023·武汉模拟)以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，与该抛物线的准线相切的圆的标准方程为________．解析(1)因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a＞0，所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝eq\f(2a,\r(5))＝eq\f(4\r(5),5)，解得a＝2，所以圆C的半径r＝CM＝eq\r(4＋5)＝3，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.(2)抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，准线为x＝－1，故所求圆的圆心为(1,0)，半径为2，所以该圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝4.答案(1)(x－2)2＋y2＝9(2)(x－1)2＋y2＝4考点二与圆有关的最值问题【例2】已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求eq\f(y,x)的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值．解原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，eq\r(3)为半径的圆．(1)eq\f(y,x)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设eq\f(y,x)＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时eq\f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq\r(3)，解得k＝±eq\r(3)(如图1)．所以eq\f(y,x)的最大值为eq\r(3)，最小值为－eq\r(3).(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时eq\f(|2－0＋b|,\r(2))＝eq\r(3)，解得b＝－2±eq\r(6)(如图2)．所以y－x的最大值为－2＋eq\r(6)，最小值为－2－eq\r(6).(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)．又圆心到原点的距离为eq\r(2－02＋0－02)＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋eq\r(3))2＝7＋4eq\r(3)，x2＋y2的最小值是(2－eq\r(3))2＝7－4eq\r(3).规律方法把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化极为常见：(1)形如m＝eq\f(y－b,x－a)的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题．【训练2】(1)(2023·泰州模拟)圆心在曲线y＝eq\f(2,x)(x＞0)上，与直线2x＋y＋1＝0相切，且面积最小的圆的方程为________．(2)(2023·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．解析(1)设圆心坐标为Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(2,a)))(a＞0)，则半径r＝eq\f(2a＋\f(2,a)＋1,\r(5))≥eq\f(2\r(2a×\f(2,a))＋1,\r(5))＝eq\r(5)，当且仅当2a＝eq\f(2,a)，即a＝1时取等号．所以当a＝1时圆的半径最小，此时r＝eq\r(5)，C(1,2)，所以面积最小的圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.(2)直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)，由题意，得半径最大的圆的半径r＝eq\r(1－22＋0＋12)＝eq\r(2).故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.答案(1)(x－1)2＋(y－2)2＝5(2)(x－1)2＋y2＝2考点三与圆有关的轨迹问题【例3】设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．解如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，\f(y,2)))，线段MN的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0－3,2)，\f(y0＋4,2))).由于平行四边形的对角线互相平分，故eq\f(x,2)＝eq\f(x0－3,2)，eq\f(y,2)＝eq\f(y0＋4,2).从而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝x＋3，,y0＝y－4.))又N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.因此所求轨迹为圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但应除去两点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5)，\f(12,5)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(21,5)，\f(28,5)))(点P在直线OM上时的情况)．规律方法求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．【训练3】(2023·全国Ⅰ卷)已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．(1)求M的轨迹方程；(2)当OP＝OM时，求l的方程及△POM的面积．解(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0,4)，半径为4.设M(x，y)，则eq\o(CM,\s\up6(→))＝(x，y－4)，eq\o(MP,\s\up6(→))＝(2－x,2－y)．由题设知eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(MP,\s\up6(→))＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，eq\r(2)为半径的圆．由于OP＝OM，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM.因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－eq\f(1,3)，故l的方程为x＋3y－8＝0.又OM＝OP＝2eq\r(2)，O到l的距离为eq\f(4\r(10),5)，所以PM＝eq\f(4\r(10),5)，S△POM＝eq\f(1,2)×eq\f(4\r(10),5)×eq\f(4\r(10),5)＝eq\f(16,5)，故△POM的面积为eq\f(16,5).[思想方法]1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法，是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数．2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．[易错防范]1．求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程．2．求轨迹方程和求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指明轨迹表示什么曲线．基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程为________．解析AB的中点坐标为(0,0)，AB＝eq\r([1－－1]2＋－1－12)＝2eq\r(2)，∴圆的方程为x2＋y2＝2.答案x2＋y2＝22．(2023·扬州模拟)圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为________．解析已知圆的圆心C(1,2)关于直线y＝x对称的点为C′(2,1)，∴圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.答案(x－2)2＋(y－1)2＝13．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的取值范围是________．解析方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,2)))2＋(y＋a)2＝1－a－eq\f(3a2,4)表示圆，则1－a－eq\f(3a2,4)＞0，解得－2＜a＜eq\f(2,3).答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(2,3)))4．(2023·全国Ⅱ卷改编)已知三点A(1,0)，B(0，eq\r(3))，C(2，eq\r(3))，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为________．解析由点B(0，eq\r(3))，C(2，eq\r(3))，得线段BC的垂直平分线方程为x＝1，①由点A(1,0)，B(0，eq\r(3))，得线段AB的垂直平分线方程为y－eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，②联立①②，解得△ABC外接圆的圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(3),3)))，其到原点的距离为eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))2)＝eq\f(\r(21),3).答案eq\f(\r(21),3)5．若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________．解析设圆心C坐标为(2，b)(b<0)，则|b|＋1＝eq\r(4＋b2).解得b＝－eq\f(3,2)，半径r＝|b|＋1＝eq\f(5