第一章 生命表

第一章生命表引言按寿险保单的约定，保险人（即寿险公司）将根据被保险人在约定时间内的生存或死亡决定是否给付保险金。被保险人在未来某个时期的生死是一个不确定性事件，对这个不确定性事件的研究是寿险精算中最重要的工作之一，它决定着保险金的给付与否。它的研究把数学和生存与死亡概率结合在一起。所以，应从生存或死亡概率的探讨而着手生存状况的研究。生存模型就是对生命个体从“生存”状态到“死亡”状态这一过程建立的一个数学模型，用数学公式进行清晰的描述，从而对死亡率的问题作出一些解释。从数学的角度，生存状况是一个简单的过程。这个过程有如下的特征：存在两种状态：生存和死亡。单个的人──经常称作生命个体──可被划分为生存者或死亡者，也就是说，我们可说出他们所处的状态。生命个体可从“生存”状态到“死亡”状态，但不能相反。任何个体的未来生存时间都是未知的，所以我们应从生存或死亡概率的探讨而着手生存状况的研究。生存模型就是对此过程建立的一个数学模型，用数学公式进行清晰的描述，从而对死亡率的问题作出了一些解释下面就是生存模型可回答的例子：一个45岁的人在下一年中死亡的概率是多少？假若有1000个45岁的人，那么他们中有多少人可能在下一年内死亡？如果某一45岁的男性公民，在投保了一个10年的定期的某种人寿保险，那么应该向他收多少保费？

一些特定因素(如一天吸50根烟)对于45岁的男性公民的未来生存时间的影响是怎样的？本章结构寿命分布生命表各年龄内的寿命分布生命表1.1

寿命分布主要内容寿命X的分布（分布函数和生存分布）未来寿命（余命）的分布死力（瞬时死亡率）重点掌握：

a.各函数的符号表示及理解其涵义

b.各种函数之间的关系1.1.1寿命X的分布函数连续型死亡年龄1.X:死亡年龄（从生存到死亡的时间长度）是一连续型随机变量

2.(x)：x岁的人

3.分布函数：

F(x)=Pr(X≤x)x≥0

含义：新生婴儿在x岁前死亡的概率

4.概率密度：f(x)=F′(x)

5.数学期望：EX=∫xf(x)dx

新生婴儿的平均寿命1.1.2生存函数s(x)=1-F(x)=Pr(X>x),x≥0含义新生婴儿x岁以后死亡的概率新生婴儿活过x岁的概率性质

a.

b.单调递减函数例题分析[例1.1]

用生存函数表示下列事件的概率：

a.新生婴儿在60岁至70岁之间死亡的概率s(60)-s(70)1.1.3未来寿命T的分布

未来寿命（x岁的人剩余寿命）:

T(x)＝X-x，X≥xT(x),简记为T，是一连续型随机变量隐含的条件：新生婴儿在x岁仍活着购买保险的被保人，往往是已活到某个年龄x岁的人，因此，研究剩余寿命的分布更为重要。用概率来反映生存者未来寿命T(x)是精算学中一项基本内容。1.1.3未来寿命T的分布T的分布函数

含义：(x)在x+t前死亡的概率1.1.3未来寿命T的分布

概率密度

生存函数

平均余命

含义：(x)在x+t岁时仍活着的概率1.1.3未来寿命T的分布

其他特殊符号a含义：

(x)生存t年后，在x+t岁与x+t+u岁之间死亡的概率

(x)在活过t年后的u年内死亡的概率等于(x)在x+t岁时仍活着的条件概率与(x+t)在以后的u年内死亡的概率之积。1.1.3未来寿命T的分布

其他特殊符号b

特别地

x=0时，有含义：新生婴儿的未来寿命等于他的死亡年龄t=1时，有u=1时，有记住！1.1.3未来寿命T的分布说明：

概率实质上都是条件概率，隐含的条件是新生婴儿在x岁是活着的。

重点掌握这几个符号的含义[例1.2]

用国际通用符号和概率符号表示下述事件的概率。（1）20岁的人活到80岁的概率；（2）50岁的人在52岁至55岁之间死亡的概率。

例题分析60p20，2|3q501.1.4离散型未来寿命的分布取整余命（

K）1.1.4离散型未来寿命的分布思考下式为何成立及其含义是什么？（k为整数）记住！后面会多次用到1.1.5死力

定义：

含义：

a)瞬时死亡率，描述了(x)将在某一瞬间内死亡的变化情况；

b)在到达x岁的人当中，瞬间死亡的人所占的比率

c)生存函数的相对变化率。1.1.5死力1.1.5死力

生存函数与死力关系：1.1.5死力

与死力之间的关系这说明：未来寿命的分布可由死力决定，如果有了死力的解析表达式或者有了生存函数的解析表达式，问题就可以得到解决。1.1.5死力1）deMoivre假设（1729）：其中的ω为极限年龄，即假定在此年龄下，所有的人均已死亡。

几种常见的假设：1.1.5死力2）Gompertz假设（1825）：3）Makeham假设（1860）：4）Weibull假设（1939）：1.1.5死力（参数模型的问题）虽然每一假设都比前一假设更符合实际，但至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。这四个常用模型的拟合效果不令人满意。使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布。在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。1.2

生命表本节的主要内容了解生命表的类型掌握生命表的构成要素（各类函数）能够利用一般生命表进行计算理解选择－终极生命表的含义，并能够利用它解决简单问题。1.2生命表含义是根据以往一定时期那各种年龄的死亡统计资料编制的每个年龄死亡率组成的汇总表。是过去生命资料的记录。最重要的是产生每个年龄的死亡率，影响死亡率的因素很多：年龄，性别，职业，习惯，以往病史等。但一般情况下，在设计生命表时，只注重考虑年龄和性别。是描述人的寿命或未来寿命概率分布的一种表格形式，是寿险公司计算保费的重要依据之一。含有一些基本函数的数值，并按各个年龄制成表格。反映的是离散型的寿命规律构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布假定（非参数方法）1.2.1生命表的类型生命表类型国民生命表经验生命表终极生命表选择生命表男性生命表女性生命表男性生命表女性生命表年金生命表寿险生命表1.2.1生命表的类型国民生命表：根据全国范围内的人口统计资料构造出来，反映的是一个特定时期内全国人口的寿命分布情况。经验生命表：许多家人寿保险公司对被保险人的统计资料构造出来，反映的是这些公司的综合经验和他们的被保险人的寿命分布情况。我国经验生命表中国人寿保险业经验生命表（1990—1993）

1996.6我国保险监管机构颁布，1997.4.1开始使用共六张：非年金保险男（女）表、非年金保险混合表年金保险男（女）表、年金保险混合表中国人寿保险业经验生命表（2000—2003）2005年12月22日，中国保监会颁布新生命表使用于2006.1.1起生效共四张：非养老金业务男（女）表养老金业务男（女）表新旧经验生命表的比较1.2.2生命表的构成考察一封闭式的生存群体，具有以下性质：设定期初总人数随着年龄的增加，活着的人数减少，最后活着的人数为零，且死亡的总人数等于期初的总人数设定一极限年龄ω1.2.2生命表的构成1.群体的年龄x

x=0,1,2,…,ω，ω为极限年龄2.各年龄内活着的人数lx

lω=01.2.2生命表的构成3.死亡人数

在x～x＋1岁之间死亡的人数：

在x~x+k之间死亡的人数：1.2.2生命表的构成4.死亡概率1.2.2生命表的构成5.生存概率6.生存函数7.平均余命

a)连续型平均余命：

b)离散型平均余命：1.2.2生命表的构成含义：x岁未来平均存活的整数年数，不包括不满1年的零数余寿1.2.2生命表的构成8.生存人年数9.累积生存人年数

x岁的人在x~x+n之间生存的人年数

x岁的人群未来累积生存的人年数

在死亡均匀分布假设下，1.2.2生命表的构成10.中心率（中心死亡率）在区间(x，x+n)上的中心率在区间(x，x+1)上的中心率1.2.2生命表的构成（例题分析）[例1.3]某生命表一部分如下：（1）新生婴儿活到3岁的概率；（2）新生婴儿在1岁和3岁之间死亡的概率。年龄xlxdx010000001580199842068029977404853997255435[例1.4]

右表是某个生命表的一部分,试计算下列概率：(1)34岁的人在35岁时活着的概率；(2)34岁的人在2年内死亡的概率；(3)34岁的人在36岁至37岁之间死亡的概率。年龄x未来一年内死亡的概率300.00133310.00134320.00137330.00142340.00150350.00159360.00170370.001831.2.2生命表的构成（例题分析）答案：[例1.5]已知：计算下面各值：（1）（2）20岁的人在50~55岁死亡的概率。1.2.2生命表的构成（例题分析）1.2.2生命表的构成（例题分析）选择-终极生命表构造的原因：需要构造选择生命表的原因：刚刚接受体检的新成员的健康状况会优于很早以前接受体检的老成员。需要构造终极生命表的原因：选择效力会随时间而逐渐消失1.2.3选择－终极生命表选择-终极表实例[x]选择表终极表70.0175.0249.0313.0388.0474.05457571.0191.0272.0342.0424.0518.05967672.0209.0297.0374.0463.0566.06527773.0228.0324.0409.0507.0620.07147874.0249.0354.0447.0554.0678.07817975.0273.0387.0489.0607.0742.08558076.0298.0424.0535.0664.0812.09368177.0326.0464.0586.0727.0889.1024821.2.3选择－终极生命表构成要素

[x]：被选择人的年龄

[x]＋k：被选择的人所达到的年龄

l[x]＋k

：x岁经过选择的人，在x+k岁存活的人数

q[x]＋k

：x岁经过选择，在x+k至x+k+1岁之间死亡的概率选择期r：经验表明，相同年龄的死亡率会随着选择时间的推移而增大，即1.2.3选择－终极生命表

随着时间的推移，当达到某一年龄时，上述现象会消失（差别越来越小）。实务中，通常确定一个年限r，当选择经过r年后，忽略这个差别，即对于选择时间超过r后的死亡概率采用如下近似公式计算：此时的r称为选择期。1.2.3选择－终极生命表选择生命表依据选择期各年度的死亡概率编制的生命表终极生命表依据终极死亡概率编制的生命表终极死亡概率：即保险公司对被保险人依据体检，接受承保后超过选择期的死亡概率

利用选择－终极生命表计算时，首先应确定选择期！当k≥r时，有

相关概率1.2.3选择－终极生命表1.2.3选择-终极生命表（例题分析）[例1.6]某选择生命表如下：

（1）指出选择期r为多少；（2）计算2p[31]和2q[31]+2同时指出各概率的含义。（3）现年31岁且一年前经过选择的人在32岁至33岁之间死亡的概率。[x]l[x]l[x]+1lx+2x+230313233100099699498799899499098399598898297032333435（1）r=2；（2）（3）答案：1.2.4生命表的构造根据人口统计中的死亡率编制生命表采用假设同批人方法编制，即把某一时期某个年龄的死亡水平当做同时出生的一批人在一生中经历各年龄时的死亡水平看待，编制的生命表称为时期生命表或假设同批人生命表。编制步骤：

1.计算根据人口统计的数据得到的中心死亡率

2.计算根据生命表得到的中心死亡率，并在一定假设下，将其表示成关于qx的函数

3.令上述两者近似相等，即可得到生命表中的qx1.2.4生命表的构造根据原始资料按统计方法估计死亡概率qx1.计算死亡率2.修匀死亡率曲线（消除异常波动）3.附加安全幅度（消除正常的随机波动）4.设置极限年龄（到该年龄仍生存者也按死亡者的待获得保险金而终止其保险合同，或一次领取其积累额）1.3

各年龄内的寿命分布使用背