第8章 计量资料的统计描述

第8章计量资料的统计描述学习目标1.掌握平均指标的意义、种类、应用及其计算方法2.熟悉变异指标的意义、种类及标准差的计算与应用3.了解正态分布的概念，熟悉正态分布的特征4.掌握正态曲线下的面积分布规律及其应用第1节平均指标平均指标又称平均数(average)，是描述计量资料的常用指标，用以表示一组同质变量值的集中趋势或平均水平。常用的平均数算术均数几何均数中位数

一、算术均数1.定义:将各观察值相加后除以观察值个数所得的商即为算术均数。符号

:总体均数用希腊字母“”表示

样本均数用“”表示2.应用条件变量值呈正态分布或对称分布的计量资料。正态分布或对称分布的计量资料

⑴正常人某些生理、生化指标值的频数分布（身高、红细胞数、血糖浓度等）；⑵实验室内对同一样品多次重复测定结果的频数分布；⑶从正态或近似正态总体中抽取的样本均数的频数分布等。3.计算方法⑴直接法:变量值个数不多

公式为例8-1

测定了5名健康人第一小时末红细胞沉降率，分别是6、3、2、9、10mm，求均数。＝6(mm)=

⑵加权法:n≥100公式为=例8-2

某年某市120名12岁健康男孩身高(cm)资料如下表,求其平均数。142.3156.6142.7145.7138.2141.6142.5130.5132.1135.5134.5148.8134.4148.8137.9151.3140.8149.8143.6149.0145.2141.8146.8135.1150.3133.1142.7143.9142.4139.6151.1144.0145.4146.2143.3156.3141.9140.7145.9144.4141.2141.5148.8140.1150.6139.5146.4143.8150.0142.1143.5139.2144.7139.3141.9147.8140.5138.9148.9142.4134.7147.3138.1140.2137.4145.1145.8147.9146.7143.4150.8144.5137.1147.1142.9134.9143.6142.3143.3140.2125.9①132.7152.9147.9141.8141.4140.9141.4146.7138.7160.9②154.2137.9139.9149.7147.5136.9148.1144.0137.4134.7138.5138.9137.7138.5139.6143.5142.9146.5145.4129.4142.5141.2148.9154.0147.7152.3146.6139.2139.9计算步骤⑴编制频数分布表1）求全距（极差）R=最大值-最小值2）划分组段①确定组段数:8~15组②确定组距:组距i

=全距/组段数

③划分组段3）列表归组组段划记频数f(1)(2)(3)125～一1129～止4133～正止9137～正正正正正下28141～正正正正正正正35145～正正正正正丁27149～正正一11153～止4157～161—1合计

=120120名12岁男孩身高(cm)资料的频数分布⑵用加权法计算均数

=

组段组中值x频数ffx(1)(2)(3)(4)＝(2)×(3)125～1271127129～1314524133139283892141～143355005145～147273969149～151111661153～1554620157～1611591159合计---=120=17172

120名12岁健康男孩身高(cm)均数的加权法计算=＝143.10(cm)二、几何均数(几何平均数)1．定义将n个变量值的乘积开n次方所得的根即为几何均数。符号用G表示

2．应用条件⑴变量值的对数值呈正态分布或近似正态分布资料，如正常人体内某些微量元素的含量；⑵变量值呈等比数列的资料，如抗体的滴度、药物的效价、卫生事业发展速度等；⑶变量值呈倍数关系的资料，如细菌计数、人口的几何增长等。3.计算方法⑴直接法变量值个数不多公式为G=

例8-35人的血清滴度分别为1:2、1:4、1:8、1:16、1:32，求平均滴度。故平均滴度为1:8。⑵加权法:变量值个数较多或变量值为频数表资料

例8-4某年某市100名儿童接种某种疫苗后，测定抗体滴度的资料如第(1)、(2)列所示，求该疫苗的抗体平均滴度。抗体滴度人数

滴度倒数

(1)(2)(3)(4)(5)＝(2)×(4)1:2220.30100.60201:41140.60216.62311:81880.903116.25581:1636161.204143.34761:3222321.505133.11221:648641.806214.44961:12831282.10726.3216合计=120------=7119抗体平均滴度的加权法计算

G＝()

=(1.2071)=16.11

这100名儿童的抗体平均滴度为1:16.11。三、中位数和百分位数（一）中位数1.定义将一组变量值按大小顺序排列，位次居中的变量值即为中位数。符号用M表示2.应用条件

⑴偏态分布资料，包括正偏态和负偏态分布的资料，如正常人必需微量元素含量分布、儿童少年视力分布等；⑵一端或两端无界（无确定数值）的资料，即所谓开口资料，如传染病平均潜伏期等；⑶频数分布类型不明的资料，如确定不了资料的分布类型，用中位数描述集中趋势比较稳妥。3.计算方法⑴直接法当变量值个数为奇数时计算公式为

M=

当变量值个数为偶数时计算公式为

M=

例8-5某地11例某传染病患者，其潜伏期（天）分别为2，2，4，3，5，6，3，8，9，11，15，求其平均潜伏期。n=11，为奇数M====5（天）

即有序数列中，第6位上的变量值为5，故其平均潜伏期为5天。例8-6如上例资料在第21天又发生1例该传染病患者，其平均潜伏期又为多少？先将变量值按从小到大的顺序排列：2，2，3，3，4，5，6，8，9，11，15，21。n=12，为偶数

M=

=

=

=5.5（天）即有序数列中，第6位和第7位所对应的变量值5和6的均数为5.5，故其平均潜伏期为5.5天。⑵频数表法计算步骤①先编制频数表;②按所分组段数，由小到大计算累计频数，编成中位数计算表;③确定中位数所在的组段；④代入公式计算中位数.计算公式

M＝L+

例8-7

238名正常人发汞值的频数分布如表下第(1)、(2)列，求中位数。发汞值频数累计频数

(1)(2)(3)0.3～20200.7～66861.1～601461.5～481.9～182.3～162.7～63.1～13.5～03.9～4.33合计238238名正常人发汞值(μg／g)的中位数计算可确定中位数所在组段是1.1～，故L＝1.1，i＝0.4，m＝60，n＝238，＝86。代入公式，得

M

（μg／g）即该地238名正常人发汞值的中位数为1.32μg／g。

（二）百分位数1．定义指将n个观察值从小到大依次排列，再把它分成100等份，对应于%位的数值即为第百分位数。2．计算方法

例8-1资料为例，求第25百分位数，则在先要找到第25百分位数所在组，P25

在“0.7～”组段,L=0.7,

=0.4,=66,

=20,则将这些数据代入公式得第2节变异指标极差方差标准差例8-8甲组2628

30

3234乙组2427303336丙组2629303134

三组均数都为30㎏，但这三组数据的分布特征却不尽相同。一、极差（又称全距）

是一组变量值中最大值与最小值之差，反映一组变量值的变异范围。以符号R表示R=max-minR甲=34-26=8（㎏）R乙=36-24=12（㎏）R丙=34-26=8（㎏）优点：简单缺点：①只用到最大、最小值，样本信息没能充分利用②当资料呈明显偏态时，最大、最小值不稳③样本例数越多，R可能越大，2组观察值例数悬殊时不用R比较二、方差=样本方差：=总体方差：为了得到总体方差的较好估计值，将样本方差分母中变量值个数n减去1，则

=

自由度：n-1计算甲、乙、丙三组数据的方差分别为

=10=22.5=8.5方差愈小，说明变量值的变异程度愈小；方差愈大，说明变异程度愈大。

三、标准差

把方差开平方，恢复了原来的单位，这就是标准差由于克服了方差的不足因而最常用符号

s表示样本标准差，σ表示总体标准差1.样本标准差的计算公式

s=2.标准差的意义说明变量值的变异程度。标准差愈小，说明变量值的变异程度愈小；标准差愈大，说明变异程度愈大。

3.标准差的计算方法直接法小样本资料求标准差

s=

例8-9

求[例8-1]资料的标准差。将n=5，∑=6+3+2+9+10=30∑

=36+9+4+81+100=230，代入公式得s==3.54(mm)

加权法

s=

例8-10求[例8-2]资料的标准差。

身高组段组中值频数

(1)(2)(3)(4)=(2)×(3)(5)=(2)×(4)125～127112716129129～131452468644133～13591215164025137～139283892540988141～143355005715715145～147273969583443149～151111661250811153～155462096100157～161159115925281合计∑

=120∑=17172∑=2461136120名12岁健康男孩身高(cm)标准差的加权法计算将表中的∑

＝120，∑

＝17172，

=2461136，代入公式（8-2-4）得s=

＝5.67(cm)3.标准差的应用1.表示一组变量值的变异程度2.用标准差计算变异系数3.用标准差估计变量值的频数分布情况

4.用标准差计算标准误

四、变异系数（CV）1.计算公式CV=无单位限制例8-11某地20岁男子160人，身高均数为166.06cm，标准差为4.95cm；体重均数为53.72kg，标准差为4.96kg。试比较身高与体重的变异程度。身高

CV＝体重

CV＝＝9.23％＝2.98％即该地20岁男子体重间的变异程度比身高间的变异程度大。例8-12某地130名10岁女生体重均数为26.96kg，标准差为3.9kg；150名17岁女生体重均数为49.18kg，标准差为5.3kg，试比较两个年龄别女生体重的离散程度。10岁女生CV＝17岁女生CV＝×100％＝10.92％×100％＝14.49％可见，10岁女生体重的离散程度大于17岁女生。2.变异系数应用当二组资料单位不同,而又要比较其变异程度当二组资料均数不同,而又要比较其变异程度第3节正态分布一、概述正态分布(normaldistribution)又称高斯分布(Gaussiandistribution)，是一种重要的连续型分布，应用甚广，是许多统计方法的理论基础。120名12岁健康男孩身高的频数分布频数接近正态分布示意图

正态分布曲线二、正态分布的特征

1.正态曲线在横轴的上方，以均数处最高；2.正态分布以均数为中心，左右对称；3.正态分布有二个参数，即总体均数和总体标准差；4.正态曲线下的面积分布有一定规律。三、正态曲线下面积的分布规律μ±1σ范围内的面积占68.27％；μ±1.96σ范围内的面积占95.00％；μ±2.58σ范围内的面积占99.00％。四、正态分布规律的应用1.估计频数分布情况2.估计医学参考值范围3.其它用途质量控制处理对数正态分布资料

估计频数分布情况

区间±本例区间身高范围理论分布实际分布人数

(cm)(％)构成(％)±1s143.10±1×5.67137.43～148.7768.278268.33±1.96s143.10±1.96×5.67131.99～154.2195.0011495.00±2.58s143.10±2.58×5.67128.47～157.3399.0011898.33估计医学参考值范围±

估计双侧95％界限例8-9

某地调查正常成年男子144人的红细胞数，近似正态分布。算得=5.38×1012／L，标准差s=0.44×1012／L，试估计该地成年男子红细胞数的95％参考值范围。因红细胞数过多或过少均为异常，故应估计双侧95％界限

下限为

-1.960s=5.38-1.960