第八讲-用假设法解题

用假设法解题情景引入我国古代趣题：今有雉兔共笼，上有三十五头，下有九十四足.问雉、兔各有几何？这就是著名的鸡兔同笼问题，这类问题我们该如何解答呢？专题介绍有些应用题看起来很难求出答案，但如果我们合理进行“假设”，往往会使问题得到解决.“假设”是数学思维中思考问题的一种常用方法，所谓“假设法”就是依照已知条件进行推算，根据数量上出现的矛盾，作适当调整，从而找到正确答案.我国古代趣题中的“鸡兔同笼”问题就是运用假设法解决问题的一个范例.例题精讲例1：见情景引入.将题目翻译过来就是：现有一笼鸡兔，数鸡头和兔头共35个，数鸡脚和兔脚共94只，问鸡兔各共几只？分析：方法一：1）假设35只全是鸡，那么，笼子中脚的总数应该是×35＝70（只）.2）题中脚的总数是94只，假设后比原来少了94－＝24（只），这是因为我们把其中的兔子当成了鸡来算.一只兔子当成一只鸡就少了2只脚，那么，少的24只脚是把多少只兔子当成了鸡？因此，可知道兔子有24÷＝（只），则鸡有35－＝23（只）.3）列综合算式：兔子的只数：（94－×35）÷2＝（只）；鸡的只数：35－＝（只）.方法二：1）假设35只全是兔子，那么，笼子中脚的总数应该是×35＝140（只）.2）题中脚的总数是94只，假设后比原来多了－＝46（只），这是因为我们把其中的当成了来算.一只鸡当成一只兔子就多了只脚，那么，多的只脚是把多少只鸡当成了兔子？因此，可知道鸡有46÷＝（只），则兔子有35－＝（只）.3）列综合算式：鸡的只数：（×35－94）÷2＝（只）；兔子的只数：35－＝（只）.答：鸡有23只，兔有12只.巩固练习：1.鸡兔共30只，共有脚84只，鸡兔各有多少只？解：方法一：1）假设30只全是鸡，那么，笼子中脚的总数应该是×＝（只）.2）题中脚的总数是84只，假设后比原来少了84－＝（只），一只兔子当成一只鸡就少了只脚，少了只脚就说明兔子有÷＝（只），则鸡有－＝（只）.3）列综合算式：兔子的只数：（－×）÷＝（只）；鸡的只数：－＝（只）.方法二：1）假设，那么，笼子中脚的总数应该是×＝（只）.2）题中脚的总数是84只，假设后比原来多了－＝（只），一只鸡当成一只兔子就多了只脚，多了只脚就说明鸡有÷＝（只），则兔子有－＝（只）.3）列综合算式：鸡的只数：；兔子的只数：.答：.2.鸡兔同笼,共有头100个,足316只,那么鸡兔各有几只？（用两种方法解答）解答解答“鸡兔同笼”问题，通常采用假设法.（1）可以先假设都是鸡，然后以兔换鸡，也可以先假设都是兔，以鸡换兔；（2）根据“假设前后脚数的总差量÷单只鸡兔脚数的差量2”，求出鸡或兔的数量.锦囊妙计例2：有1角、5角的硬币共35枚，一共9块5角，求两种硬币各多少枚？分析：1）假设35枚硬币全是1角的，那么，总钱数应该是×35＝（角）.2）原来的钱数是95角，假设后比原来少了95－＝（角）；一枚5角硬币当成1角就少了角，那么，少了60角就说明5角硬币有÷＝（枚），则1角硬币有－15＝（枚）.想一想：此题还可以怎样假设？3）列综合算式：想一想：此题还可以怎样假设？5角硬币：（95－）÷（－1）＝（枚）；1角硬币：－15＝（枚）.答：5角硬币有枚，1角硬币有枚.巩固练习：1.小军用10元钱买5角和8角邮票共17张，问这两种邮票各买了多少张？解：1）假设17张全是5角的邮票，那么，总钱数应该是×＝（角）.2）原来的钱数是角，假设后比原来少了－＝（角）；一枚8角邮票当成5角就少了角，那么，少了角就说明8角邮票有÷＝（张），则5角邮票有－＝（张）.3）列综合算式：8角邮票：；5角邮票：.答：.2.车棚里停放着45辆车，包括三轮车和自行车，两种车轮子的总和为105个，问三轮车和自行车各多少辆？这类题类似与鸡兔同笼问题，用假设法解题时，这类题类似与鸡兔同笼问题，用假设法解题时，（1）一般可假设要求的两种物品是同一种；（2）根据“假设前后总的差量÷两种物品的面值差（或其它差量）”，求出一种物品，再求出另一种物品.锦囊妙计例3：某校进行的数学竞赛共15道题，规定每做对一题得10分，每做错一题倒扣4分，小明在这次数学竞赛中得了66分，问他做错、对了几道？分析：1）假设小明把题目全部做对了，那么，应得的分数是×15＝（分）.2）而题中所得分数是66分，假设后比原来多了－66＝（分），这是因为我们把做错的题当成了做对的题来算.每做错一个题，就比做对一个题要少得＋＝（分），那么，少得了分就说明答错的题目有÷＝（道），则答对的题目有－＝（道）.3）列综合算式：答错的题目：；答对的题目：.答：.巩固练习：1.某玻璃杯厂要为商店运送1000个玻璃杯，双方商定每个运费为1元，如果打碎一个，这一个不但不给运费，而且要赔偿4元.结果运到目的地后结算时，玻璃杯厂共得运费895元，求打碎了几个玻璃杯？解：1）假设1000个玻璃杯全部运到并完好无损，那么，应得的运费是×1000＝（元）；2）而题中所得运费是895元，比假设后少收入了－＝105（元），这是因为我们把其中打碎了的玻璃杯当成了没打碎来算，每打碎一个玻璃杯，就比没打碎要少收入＋＝（元），那么，少收入105元就说明打碎的玻璃杯有÷＝（个）.3）列综合算式：打碎的玻璃杯数：.答：.2.某车间生产一批服装共250件，生产一件可得25元，如果有一件不符合要求，则倒扣20元，生产后得到费用5350元.问有几件不合格？对于这类问题使用假设法解题时，注意两种量单个数值的差，如每做错一个题扣a分，每做对一个题加b分，那么，每做错一个题要比做对一个题少得对于这类问题使用假设法解题时，注意两种量单个数值的差，如每做错一个题扣a分，每做对一个题加b分，那么，每做错一个题要比做对一个题少得（a+b）分.锦囊妙计例4：学校买来8张办公桌和6把椅子，共花去550元.每张办公桌的价钱是每把椅子的2倍，每张办公桌和每把椅子各多少元？分析：1）假设学校买的全是办公桌，根据“每张办公桌的价钱是每把椅子的2倍”，则买6把椅子的价钱只能买÷2＝3（张）办公桌.2）题中共花的550元就相当于8＋3＝（张）办公桌的价钱，所以，每张办公桌的价钱为550÷＝（元）.3）列综合算式：办公桌：550÷（÷2＋）＝50（元）；椅子：50÷＝25（元）.答：办公桌的价钱为50元，椅子的价钱为25元.巩固练习：1.学校买来4个篮球和5个排球共用了185元，已知一个篮球比一个排球贵8元，那么篮球和排球的单价各是多少元？解：1）假设学校买的全是排球，根据“一个篮球比一个排球贵8元”，则买4个篮球比买4个排球贵×4＝32（元）.2）题中共花的185元，相当于买了4＋5＝（个）排球还多余32元，所以，排球的单价为（－）÷9＝（元）.3）列综合算式：排球：（－×4）÷（＋）＝（元）；篮球：＋＝（元）.答：.2.小明买2个乒乓球和4个皮球共用去52元，6个乒乓球的价钱相当于1个皮球的价钱.乒乓球和皮球的单价各是多少元？用假设法解这类问题，用假设法解这类问题，（1）假设两种物品为同一种物品；（2）将已知条件转化为直接可用的条件，如“甲的单价是乙的n倍”，那么，买a个乙的价钱就只能买（a÷n）个甲.（3）根据总钱数与对应的一种物品数量，求出这种物品的单价，再求另一种.锦囊妙计模块5例5：水果糖的块数是巧克力糖的3倍，如果小明每天吃2块水果糖，1块巧克力糖，几天后，水果糖还剩下7块，巧克力糖正好吃完.原来水果糖有多少块？分析：1）根据题中“水果糖的块数是巧克力糖的3倍”，假设小明每天吃1块巧克力，3块水果糖，那若干天后，两种糖刚好吃完.2）现在小明每天吃2块水果糖，少吃了3－＝1（块），结果，若干天后，水果糖还剩下7块.则吃的天数为7÷＝7（天），则原来水果糖的块数即可求得.3）列式如下：÷（1×3－）＝7（天）；2×＋7＝21（块）.答：原来水果糖有21块.巩固练习：1.小红家有些梨和苹果，苹果的个数是梨的3倍，爸爸和小红每天各吃1个苹果，妈妈每天吃1个梨.若干天后，苹果还剩9个，而梨恰好吃完，原来苹果有多少个？解：1）根据题中“苹果的个数是梨的3倍”，假设小红和爸爸妈妈每天吃1个梨，3个苹果，那若干天后，两种水果刚好吃完.2）现在小红和爸妈每天一共吃2个苹果，1个梨，少吃了－＝（个）苹果，结果，若干天后，苹果还剩下9个.则吃的天数为÷＝（天），则原来苹果个数即可求得.3）列式如下：÷（1×3－）＝（天）；2×＋＝（个）.答：.2.某商店有些红气球和黄气球，红气球的只数是黄气球的4倍，每天卖出2只红气球和1只黄气球，若干天后，红气球剩下12只，黄气球刚好卖完.红气球原来有多少？这类题通常是这类题通常是“吃东西”、“卖东西”等消耗东西的问题，用假设法解这类题时，（1）如何假设是关键，一般题中会出现“甲总数是乙总数的n倍”，那么，可以假设每天消耗乙的数量为1，甲为n，则若干天后，甲和乙都刚好消耗完.（2）再根据假设前后的差量求出天数，进而求出甲或乙的总数.锦囊妙计练习题1.鸡兔共100只，共有脚280只，鸡兔各有多少只？2.三一班的同学在献爱心活动中共有34名同学捐款，共捐了89元，这些同学有捐2元的，有捐5元，求捐