【S】数列极限、平面向量【高三第一轮复习】上海名校数列极限易错题、2015年一模、2016年二模数列汇编

勤都道大J***高中数学上海市重点中学讲义汇编专题：数列+极限+平面向量名校级

姓学年积土成山，风雨兴焉；积水成渊，蛟龙生焉；积善成德，而神明自得，圣心备焉。故不积跬步，元以至千里；不积小流，无以成江海。骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍。锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。蚓无爪牙之利，筋骨之强，上食埃土，下饮黄泉，用心一也；蟹六跪而二螯，非蛇鳝之穴无可寄托者，用心躁也。是故无冥冥之志者元昭昭之明，无惛惛之事者无赫赫之功。行衢道者不至，事两君者不容。目不能两视而明，耳不能两听而聪。螣蛇无足而飞，梧鼠五技而穷。《诗》目：“尸鸠在桑，其子七令。淑人君子，其伙一令。其伙一令，心如结今。”故君子结于一也。 ＜＜劝学＞＞（荀子）

勤部道天勤部道天,।-ftJ*It-I?1i*AP»*I»§数列极限【华师大二附中】1、一个正数无穷等比数列｛aJ中，已知：a2+a3+a4+<g，则公比qe.2、设｛aJ是等差数列，记：b「aan+1an+2(neN*)，设｛1｝是数列｛bn｝的前n项和，且有3a5=8a^>0,若｛S｝取最大值，则n=-n3、若数列a｝是等差数列，则数列b=ai+a2+…+a(neN*)也为等差数列；类比上述性质，n nn相应地若数列1｝是等比数列，且c>0，则有d= 也是等比数列.n n n 4、两个等差数列｛a｝和｛b｝的前n项和分别为A和B，且g=7n+：5，则a= nn nnBn+3 b从“上至Uk+1”左端需增加的代数式为5、用数学归纳法证明：工+-1-+工+…+-1->13C>2,neN*)的过程中，n+1n+2n从“上至Uk+1”左端需增加的代数式为(11D. - 2k+12k+26、若数列｛an｝前8项的值各异，且an+8=an对任意的neN都成立，TOC\o"1-5"\h\z则下列数列中可取遍｛an｝前8项值的数列为 ( )A、｛a2k+1｝ B、｛a3k+1｝ C、｛a4k+1｝ D、｛a6k+1｝【七宝中学】- 1—xn+2,1、用数学归纳法证明1+X+X2++xn+1=-——(X中1)，在验证当n=1等式成立时，其左边为( )1-X•••A、1 B、1+XC、1+X+X2 D、1+X+X2+X32、(2011年上海高考理14)已知点O(0,0)、Q(0,1)和R(3,1)，记QR的中点为P，取QP和PR中的一0 0 00 1 01 10条，记其端点为Q1、R1,使之满足(IOQ11-2)(1OR11-2)<0；记Q1R1的中点为P2,取Q1P2和P2R1中的一条，记其端点为Q2、R2,使之满足(IOQ21-2)(1OR21-2)<0；依次下去，得到点P1,P2,,Pn,,则limQ0P4. 4、(2,C4+—,0

In4、(2,C4+—,0

In其中n为正整数，设Sn表示AABC外接圆的面积，再由勺作P3—b于点,…,这样无限继续下去，若Ppj=8,P2P3I=7，求所有这些垂线段长度的总和?b物都遭人，4一“b>•l»»<M"«»t … 一.一2X, 八、.一一3、如图所示：矩形ABPQ的一边AB在x轴上，另两个顶点P,Q在函数f(X)=-―-(X>0)的图像上,nnnn nn nn 1+X2(其中点B，的坐标为(n,0)(n>2,neN*)),矩形ABPQ的面积记为二,则limS”=.nfs(-2)已知点A0,-,BIn)则limS=nnfs5、如图，已知a,b是两条相交直线，由直线a上一定点4作翼1b于点，由G作P2P3,〃于点勺丁、已知等比数列{2}.色>出=1.则使不等式^-―+a,--+…+^-―>u<a\)<%)I%,成；.的最乂自然数内为勤鲫道大队设数列｛4｝的前刊项和为可,关于塞列｛氏)有下列三个命题:①若｛2｝即是等差数列，又是等比数列，则%=%,][任')母书0=3/十加15力E),则是等基数列：门W*=2—%/则佃)是事比数列这些命题中，克命题的序号是一也」如〃灯是定义域为正整数集的函数.具初如下性质才对:“义域内任心如果/代卜/成立，则/仕+1)=」-5成立，那次下列命题正确的是K+1 K+2①若〃4)=:成立，则对于任意上之5,均有,网=击②若『⑸」,成立，则对于任意1人“，均有③若"6)=1成立，期对于任意1必王5,均有f化)工£1id，把数列2«-1"的所有数技既从大到小的原则写成如下数表:id，把数列2«-1"的所有数技既从大到小的原则写成如下数表:第it行有21个数,第t行的第」T•数(从九敏起)记为“仃).则4*17)=—物都遭人.ft'It}b>•I»»«■X«-t****【交大附中】1、等比数列L｝中，limS=—，求j的取值范围 .n na1ns 12、已知数列《J是一个首项为a,公比q>0的等比数列，前n项和为sn,记Pn=a「a3+ +a2n1,求limn-83、有一列正方体，棱长组成以1为首项，2为公比的等比数列，体积分别记为匕丫2,…匕,…则lim(V+V+…+V)=n-8 1 24、设数列^a｝4、设数列^a｝，n8｝均为等差数列，nalim—n—4，

bn-8n则limn-8b+b+…+b-4 2 2nna3n2n2n一1,(1<n<2,neN*)5、慢n —,(n>3,neN*)[3n数歹|」la”}的前n项和为S/贝UlimS〃=n nn-8n6、P1是长为G的一条线段AB的中点，BP1的中点是P2,P1P2的中点是P3，依此类推，Pn-2Pn_1中点是Pn,求APn的长，如果无限的进行下去，求APn的长，如果无限的进行下去，那么Pn的极限位置在哪里?P1 P3P2勤聊遣天1I-AJHIi一hh±F—匕,t7、在如图，已知扇形AOB的半径为〃，中心角为6，从A向半径OB作垂线，垂足为B1,由B1作弦AB的平行线，与OA交于A】，反复如此做，得到^881，拄邛2,…，认8080+1,…，它们的面积分别为Si,S?，S3，...，求所有这些面积的和。【复旦附中】1、如图，4是一块半径为1的半圆形纸板，在4的左下端剪去一个半径为2的半圆得到图形P2，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径是前一个被剪掉半圆的半径）可得图形P^，J,…,P/…,记纸板P的面积为S，则limS二nn

n—g2、一条曲线是用以下方法画成：AABC是边长为1的正三角形，曲线C41、A1》4&分别以A、B、C为圆心，AC、BA、CA2为半径画的弧,CA1A2A3为曲线的第圆心，AC、BA、CA2为半径画的弧,这样画到第n圈，则所得曲线CA1A2A3 A3n2A3n1A3n的总长度Sn为( )n(n+1%..A.n(3n+1加 B. C.2兀(3n-1) D,n(n+1,勤聊道天I•衣Jd・9h尸2.h*HJtr h 13、在xOy平面上有一系列的点P1(xi,yj,P2(x2,y2),,Pn(xn,yn),，对于所有正整数n,点Pn位于函数y=x2(x>0)的图像上，以点Pn为圆心的圆Pn与x轴相切，且圆Pn与圆Pn+1又彼此外切，且x<x，则limnx等于.n-84、在数列4J中，如果存在非零常数T，使得am+T=am对于任意非零正整数m均成立，那么就称数列On｝为周期数列，其中t叫做数列a｝的周期.已知周期数列《｝满足x=x一x|(n>2,ngN*)且x=1,n n n+i n n-i ix2=a(aGR,a牛0)，当%n｝的周期最小时，该数列前2016项和是 .【格致中学】1、(2013年上海高考)如图，O为直线A0A2013外一点，若A0,A1,A2,A3,A4,A5, ,A2013中任意相邻两点的距离相等，I2；②(.b)飞,2 T“f-二a•b；③若|3a+2bI2；②(.b)飞,2 T“f-二a•b；③若|3a+2b=3a-2b▼** V*1JI—2、设a,b,c是互不共线的非零向量，给出下列命题：①a.b2<a则a与b垂直；④在等边AABC中，AB则a与b垂直；④在等边AABC中，1个2个1个2个3个4个3、若矩阵A=cos6U3、若矩阵A=cos6U-sin6(ysin60Pcos6。-2V2]2227，则AB=物都遭大.ft>IItL>•I>MH«»t4、定义x,x，…，x的"倒平均数''为 (neN*).12n x+x++xTOC\o"1-5"\h\z(1)若数列｛0｝前n项的“倒平均数”为^-1-，求｛a｝的通项公式；n 2n+4 n(2)设数列｛b｝满足：当n为奇数时，b=1,当n为偶数时，b=2.若T为｛b｝前n项的倒平均数，求limT；n n n nn nn-8a(3)设函数f(x)=-x2+4x，对(1)中的数列｛a｝，是否存在实数九，使得当x分时，f(x)<nn n+1对任意neN*恒成立？若存在，求出最大的实数九；若不存在，说明理由.勤叫道夫【2015年一模选择填空精选】S,S成等差数列，则q=n n+1 nn+21、（虹口区2015届）设等比数列｛q｝的公比为q，前n项和为S，若S,2、（嘉定区2015届高三上期末）设数列｛〃“｝是等差数列，其首项。1=1,公差dS,S成等差数列，则q=n n+1 nn+2且对任意n£N*，总存在meN*，使得S=a.则d=.3、（金山区2015届高三上期末）等差数列｛an｝中，a2=8,S10=185,则数列U｛an｝的通项公式an=（neN*）.4、（静安区2015届高三上期末）已知数列的通项公式an=22-n+2n+1（其中neN*），则该数列的前n项和Sn=tTOC\o"1-5"\h\z5、（普陀区2015届高三上期末）若无穷等比数列｛an｝的各项和等于公比q，则首项a1的最大值是 .6、（青浦区2015届高三上期末）设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若S7=42，则a4=.7、（松江区2015届高三上期末）在等差数列｛an｝中，a2=6,a5=15,则a2+a4+a6+a8+a10=8、（徐汇区2015届高三上期末）设数列｛an｝的前n项和为Sn,若a1=1，Sn-2an,1=0（neN*），则｛a｝的通项公式为 .n9、（杨浦区2015届高三上期末）已知等差数列｛an｝中，a3=7,a7=3，则通项公式为a：.10、（浦东区2015届）等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若S17=170，则a7+a9+a11的值为 （ ）（A）10 （B）20 （C）25 （D）3011、（徐汇区2015届高三上期末）某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖，全部商品共有n类（neN*），分别编号为1,2, ,n，买家共有m名（meN*,m<n），分别编号为1,2,,m.若a=ija=ij1,第，•名买家购买第/类商品0,第，•名买家不购买第'类商品1<i<m,1<j<n，则同时购买第1类和第2类商品的人数是（A.A.a+a++a+a+a++aB.a+a++a+a+a++aaa.+aa.+aa++aaaa1+a1a'+ +a1a12、（杨浦区2015届高三上期末）对数列｛a｝,｛b｝,若区间［a,b］满足下列条件：nnnnn①[a,b]u[a,b](ngN*)；②lim(bn+1n+1主nn n-81则称｛［ab）为区间套。下列选项中，可以构成区间套的数列是（ ）B.ann+37n+2D.a- ,b- nn+2nn+113、（闸北区2015届高三上期末）已知等比数列｛〃｝前n项和为S，则下列一定成立的是 （则02015V0；则02015V0；B.若a4>0,则02014<0；C.若a3>0,则S2015>0；D.若a4〉0,则S2014>0.专题2:平面向量拓展【2016年二模选择填空精选】一、填空题1、（崇明县2016届高三二模）矩形ABCD中，AB-2,AD-1,P为矩形内部一点，且AP-11、AP-九AB+日AD（九,日£R），贝U2九+J3日的最大值是2、（奉贤区2、（奉贤区2016届高三二模）已知△ABC中，AB-2AC-3,AB•AC<0,一.3 且^ABC的面积为2，则NBAC-3、（黄浦区2016届高三二模）已知菱形ABCD,若13、（黄浦区2016届高三二模）已知菱形ABCD,若1ABI=1，AW，则向量AC在AB上的投影为4、（静安区2016届高三二模）已知4ABC外接圆的半径为2,圆心为O，且AB+AC=2AO,AB-AO贝UCA•CB-5、（闵行区2016届高三二模）平面向量a5、（闵行区2016届高三二模）平面向量a与b的夹角为60°,a=1,b=(3,0)，贝I」2a+b-6、（闵行区2016届高三二模）若AB是圆x2-+（y-3）2-1的任意一条直径，O为坐标原点，则OA-OB的值为勤螂1天7、（浦东新区2016届高三二模）设m,n分别为连续两次投掷骰子得到的点数，且向量a=（m,n）,b=（L-1）,rr则a与b的夹角为锐角的概率是8、（普陀区2016届高三二模）如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边B3c3上有10个不同的点P1,P2,…,P10，记M,=AB2-AP（i=1,2，…,10），则M1+M2+…+M10=9、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）已知平面上三点A、B、C满足IAB1=。3,1BC|=55，|CA|=2<2，则AB^C+BC^A+CA^B的值等于TOC\o"1-5"\h\z, 一 , n10、（杨浦区2016届高三二模）若向量a、b满足IaI=1,IbI=2，且a与b的夹角为1，\o"CurrentDocument"贝。Ia+bI= - -ff --11、（闸北区2016届高三二模）在直角坐标系my中，已知三点A（a,1）,B（2,b）,C（3,4），若向量QA，OB在向量OC方向上的投影相同，则3a-4b的值是 ————12、（虹口区2016届高三二模）在AABC中，a、b、c分别是内角A、B、C所对的边，若SAABCa2+b若SAABCa2+b2-c2 （其中S表示AABCAABC的面积），且（一\ABAC•BC=0,则AABC的形状是（）（B）等边三角形（D）等腰直角三角形（B）等边三角形（D）等腰直角三角形（C）直角三角形13、（浦东新区2016届高三二模）已知平面直角坐标系中两个定点E（3,2）,F（-3,2），如果对于常数九，在函数y=卜+2|+|x-2|-4,xe[-4,4]的图像上有且只有6个不同的点P，使得PE•PF='成立，勤叫道天LiPAPHSJt那么九的取值范围是（ ）( 9\\o"CurrentDocument"(( 9\\o"CurrentDocument"(A) -5,--V 5(9 \(B)-彳11V5(9 \-T，-1V5 7(-5,11)r14、（长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三二模）已知a,rbr14、（长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三二模）已知a,rb是平面内两个互相垂直的单位向量，r若向量。满足（。-a）•（。-b）=0，r则I。।的最大值是（）．(A)1(B)2（C）三(D)兀 兀15、在锐角AABC中，sinA=sin2B+sin(—+B)sin(--B).44(1)求角A的值；(2)若AB•AC=12,求AABC的面积.1一16、设a二（a1,a2），b=（b1,b2），定义一种向量运算a③b二（a1b1,a2b2），已知m=（2，2a，r兀n二（"0），点0a»）在函数ga）=sin"的图像上运动,点Q在函数尸山）的图像上运动,且满足OQ=m®OP+n（其中O为坐标原点）。（1）求函数f（"）的解析式;3(2)若函数h(3(2)若函数h(")=2asin2"H f("2+b，且h（"）的定义域为［-,兀］，值域为［2,5］，乙17、已知O是线段AB外一点，若OA=a,OB=b.(1)设点P、Q是线段AB的三等分点，试用向量a、b表示OP+OQ；(2)如果在线段AB上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论.18、已知向量a=(sinx,cosx),b=(sinx,sinx)， c=(-1,0).(1)若x=J3，求向量a、c的夹角0； 一3兀兀I .八，、.-t 1 (2)若xe--,-，函数f(x)=入a-b的最大值为2，求实数为的值.勤部遣天上海市2016届二模汇编一、填空、选择题3］、（崇明县2016届高三二模）若数列｛t｝是首项为1勤部遣天上海市2016届二模汇编一、填空、选择题3］、（崇明县2016届高三二模）若数列｛t｝是首项为1，公比为a-的无穷等比数列,且｛t｝各项的和为a,则a的值是2、（奉贤区2016届高三二模）无穷等比数列首项为1,公比为q（q>0）的等比数列前n项和为Sn,则limS”=2nn—8n3、（虹口区2016届高三二模）在正项等比数列｛an｝中，a1a3n4=1,a+a=—,则Q1im(a+a++a)=2 33 12 nn—84、（黄浦区2016届高三二模）已知数列｛〃｝中，若a=0a=k2(ieN*,2k<i<2k+1,k=1,2,3,),i则满足a+a2/100的i的最小值为5、（静安区2016届高三二模）已知数列满足％=81的前n项和Sn的最大值为6、（闵行区2016届高三二模）设数列｛an｝的前n项和为S(keN*)，则数列％n},S=n2+2aIn-2016I(a>0),则使得a<a（neN*）恒成立的a的最大值为7、（浦东新区2016届高三二模）已知数列｛a｝的通项公式为a=（-1）n•n+2〃，neN*，则这个数列的前n项nn和S-■8、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）在等差数列｛an｝中，首项4=3,公差d=2,若某学生对其中连续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为 ■9、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）对于给定的正整