小学数学教学的困惑与思考

小学数学教学的困惑

与思考2015年景洪市项目导师培训朱维宗云南师范大学

教师们要重视“课外”功夫的积累，时时注意自己知识的“厚积”

。

——著名特级教师杨一青

自我反思是教学过程的一个必要环节，是提高教学效益的重要途径，又是教师积累教学经验的有效方法。不断进行教学反思，努力做一个反思型教师，可以获得宝贵的经验、教训，及时发现新问题，激发教师把教学实践提升到新的高度，实现教师的自我超越。

——著名特级教师王海平

研修提纲一、引言二、小学数学10个知识点的解析三、思考与建议

随着课程改革的不断深入，新课程理念已为越来越多的一线数学教师所接受。对处于微观知识层面的一些现实性“诘问”，诸如“最小的一位数是0还是1？”、“400007000怎么读？”、“最大的分数单位是多少？”、“计算出勤率可不可以不乘100%？”……等等，看似“细节”的问题，却是彰显数学教学“科学性”、“严谨性”不可或缺的一环，处理不好可能直接影响到教学评估和考试命题。一、引言

但是也应该指出，小学一线教师大部分的教学困惑来自教辅资料或考试、测验试题。关于前者，要善于运用教辅资料，合则用，不合则弃；关于后者，要能合理地理解考试评价的理念。

下面简要介绍《考试学》的基本理论。一、引言（一）考试的历史发展

随着教育的发展，特别是学校教育的出现和发展，为了更准确，更精细、更客观地评价教育效果，比较受教育者之间的学习差异，以便决定何时转入下一阶段的教学，决定在转变教学内容时每个受教育者的升留取舍，就要求采取类似物件测量那样一种方法，以得出教育效果的数量化或等级化的反映。

一、引言

但是，教育效果——人的内部素质的提高，毕竟不同于物件外部特征的变化，测量起来是很困难的。人们在实践中逐步摸索出了这样的“测量”方法：从要求教育对象掌握的教学内容中选取出部分内容（在统计学中叫作“抽样”），再编制成便于回答的问题，待教育对象按要求回答后，再对回答的结果进行评等或判分。这就是考试。一、引言

考试的出现，是教育发展中的一件大事，对于教育评价、比较、反馈，具有难以估量的意义。教育评价和考试有着十分密切的关系，考试产生于教育评价，并大大推动了教育评价的发展。一、引言（一）考试的历史发展

(二)考试学的任务和内容体系

考试学是以考试为研究对象的科学。它的任务是揭示考试的客观规律，探究科学、准确地考查人的知识和能力水平的方法，以指导考试实践。

考试学的体系和内容目前尚在建立和探索之中。一、引言◆中国在古代学校中建立了定期对学生进行考核的制度,并在实践中采用了今天仍在应用的考试方法。例如“口试”、“策试”、“笔试”等。◆由于现代学校教育同时具有培养接班人和现代劳动者这两种职能，现代考试就着重考查人的知识、智力和技能。人类不同的个体在知识、智力和技能方面是有差别的，考试正是对这种差别的测量。

知识是人们在实践中获得的对客观的认识（包括感性的经验和理性的理论）。智力是人的一种能力，是人的能力中与获得知识（认识世界）和运用知识（能动地改造世界）相关联的那一部分。这种能力有时也称为智能。技能是人们通过练习而形成，完成某种任务的活动方式，是通过反复练习后而获得整个活动中近乎自动化的那部分动作。技能可以分为智力技能（如运算技能、写作技能等）和操作技能（如打字技能、游泳技能等）。

考试是一种抽样测量。命题，编制试题和制作试卷，既是选取测量样本的过程，又是制造、选取测量工具的过程，它是确保测试质量的关键的工作环节。

考试测量的有效性，是以被测人的积极配合为前提的，并且考试过程所提供的资料具有多方面的价值。

下面看几个有特点的小学数学试题。（二）考试学的任务和内容体系

看图编一道用乘法计算的问题，并列算式计算。4×3＝12（只）或3×4＝12（只）

如果三个平台上的物品和数量是一样的，猜一猜可能是什么？有几个？再编一道用乘法计算的问题。一号门二号门大人都走1号门，小孩走2号门，这样最省钱一号门

或

二号门二号家庭一律6元成人8元小孩4元一号门二号门三号家庭一号家庭

小刚的妈妈参观展销会买了一件衬衣，用了25.92元。一条裤子要34.50元，一件外套要75.80元。还需要什么数据，才可以算出售货员找给小刚妈妈的钱？（1）这件衬衣的原价是多少。（2）小刚妈妈参观展销会的日期是哪天。（3）小刚妈妈给售货员付了多少钱。（4）买这件衬衣节约了多少钱。（5）小刚妈妈带了多少钱去参观展销会。题例

有一个质数，是两个数字组成的两位数，两个数字之和是8，两个数字之差是2，请问这个质数是几？11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。题例

题例

数一数,有几条线段?几个角?公式：1+2+3+‥‥‥+n

1+2+3+4=10（条）1+2+3+4+5=15（个）

一个无盖的正方体纸盒，盒底有个洞，沿着图中红线剪开后得到的是()ABCC题例

已知正方形边长10厘米，求正方形中的4个半圆所围成的4个“花瓣”的面积。10厘米10厘米题例

两个圆面积10厘米10厘米两个圆面积减去正方形面积10厘米10厘米

师大附中招生试题

0.25＋－×－＋－÷

4

74137726

=－×

(1＋－＋－)73772641

=－×

(1＋－)76341

=－×1041

=2.5

=1×

－＋－×－＋－×－741377264141转化题例

六年级三个班派出运动员组成年级代表队。我们六三班派出了15人。六年级代表队共有多少人？我们六一班派出的人数是你们两个班派出总数的－

。21我们六二班派出的人数是你们两个班派出总数的－

。13我们六一班派出的人数是你们两个班派出总数的－

。21是你们两个班（六二班、六三班）是你们两个班派出总数的－

。21就是三个班派出总数的－

。31转化为六一班你们两个班（六二班、六三班）六一班转化

六年级三个班派出运动员组成年级代表队。我们六三班派出了15人。我们六年级代表队共有多少人？六一班是你们两个班总数的－

，就是三个班总数的－

。1231六二班是你们两个班总数的－

，就是三个班总数的－。1431六一班是三个班总数的－

。31六二班是三个班总数的－

14一班－

31二班－

41三班15人？人

15÷（1－－－－）=36（人）

3141解答

六年级代表队共有36人？题例

云大附中2009年初中招生试题美文诵读题例

小明、小丽、小云依次朗诵《大观楼长联》。我一口气读了45个字，是长联的—。小明14我读了剩下的－

。23小丽我应该从第（）个字开始读？小云题例

，。4是长联的－

1小明读了45个字小云应该从第（

）个字开始读？

45÷－－45

=135（个）剩下的

14135×－＋45＋1=136（个）

32小丽读了长联的－

42转化136小丽读了剩下的－

32135×－＋45＋1=136（个）

32解一解三

45×3

＋1=136（个）

解二

45×3

=135（个）剩下的

题例

汶川发生地震，师生们积极捐款献爱心。全校捐款情况如下统计图。师大附中招生试题高中小学5％

初三18％初一21％初二20％教师20％（1）全校师生共捐款多少元？（2）初一学生捐款多少元？补全统计图。（3）高中捐款数在统计图的圆心角是多少度？4500048000510005400057000600006300066000﹥小学初一初二初三高中教师6000060000540004800015000单位：元任选一组对应关系，求出共捐款300000元。300000×21％=63000（元），就可补全统计图。求出16％。360×

16％

≈58（度）。6300016％初一21％

下面对在“国培计划”项目实施过程中所收集到的小学一线教师的教学困惑作一番梳理，分为10个问题，逐一给出分析或思考，供各位老师参考。不妥之处，敬请提出批评、改正意见。二、小学数学10个知识点的解析

“数位”是指一个（非零）自然数的每个数字所占的位置。

“位数”是指一个自然数中含有数位的个数。

区别：

“数位”无法比较大小。数位顺序表从右端算起，第一位是“个位”，第二位是“十位”，第三位是“百位”，第四位是“千位”，第五位是“万位”，等等。平时只说个位数的数是几，十位上的数是几。只有数和数可以比较大小。

请看下面的例子：1.关于“数位”与“位数”

例1.

数位多的数一定大（）。分析：本题选×.理由是：数位不能比较大小。如将题目的条件改为：位数多的数一定大。则题目是对的。例如，三位数比两位数多一位，五位数比三位数多两位，所以前者比后者大。

例2.

最小的一位数是0还是1？分析：所谓最大的几位数，最小的几位数，通常是在非零自然数的范围研究。所以一位数共有九个，即：１、２、３、４、５、６、７、８、９。０不是最小的一位数。

1.关于“数位”与“位数”×【注1】在日常的教学中，一部分老师会对诸如，400007000怎么读，产生疑问。其实，这个数读作：4亿零7千。零在亿级和千中间，每级中间的零要读，但连续的几个零只读一个。

又如，1580150015

中的15是读十五还是读一十五？

这个数一般读作：15亿8千零15万零15.

再如，108000读作10万8千还是10万零8千？这个数一般读作10万8千.【注2】2014年后的小学数学教材中，十五亿八千零十五万零十五写作：

15亿8千零15万零15.

《课程标准》下的教材对“０也是自然数”的规定，颠覆了人们对自然数的传统认识。

中央教科所教材编写组主编陈昌铸如是说：“国际上对自然数的定义一直都有不同的说法，以法国为代表的多数国家都认为自然数从0开始，我国教材以前一直都是遵循前苏联的说法，认为0不是自然数。2000年教育部主持召开教材改编会议时，已明确提出将0归为自然数。这次改版也是与国际惯例接轨。”2.0为什么也是自然数?

从教学实践层面来说，将“０”规定为“自然数”也有着积极的现实意义。例如，集合论中，有一个集合，叫做空集：∅，它不含元素，因此，空集的基数为0.如果不把0作为自然数，那么空集的元素的个数就无法用自然数来表示。如果把“0”作为一个自然数，那么自然数就可以完成刻画“有限集合元素个数”的任务了。因此，从“自然数的基数性”这个角度，我们看到了把“0”作为自然数的好处。其次，“0”加入自然数集合，所有的自然数的“运算规则”(交换律、结合律、分配律)依旧保持

。2.0为什么也是自然数?

“0”加盟到自然数集合实属数学发展的需要，而不仅仅是人为的“规定”。它可以让我们更好地理解自然数和它的功能，同时也让我们意识到教学时不仅要知道和记住数学的“定义”和“规定”，还应该思考“规定”背后的数学涵义。2.0为什么也是自然数?

有效数字是对一个数的近似值的精确程度而提出的。同一个近似数如果在取舍时，保留的有效数字多，就比保留的有效数字少更精确。

一般说，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。这时，从左边第一个非零的数字起，到那一位上的所有数字（包含0）都叫做这个数的有效数字。如近似数0.00309有三个有效数字：3、0、9；0.520也有三个有效数字：5、2、0。而0.00309中左边的三个0，0.520中左边的一个0，都叫做无效数字。3.什么是有效数字、什么是无效数字？

（1）加法与减法、乘法与除法是否互为逆运算？

“加法与减法互为逆运算、乘法与除法互为逆运算”这似乎成了许多老师的口头禅，这样说对吗？这其实是一种误解。例如：

加法“２＋３＝５”，其逆运算为“５－２＝３”，“５－３＝２”。故此，加法的逆运算只有减法；减法“５－２＝３”，其逆运算有“５－３＝２”，“２＋３＝５”。故此，减法的逆运算有减法和加法两种运算。4.关于四则运算（1）加法与减法、乘法与除法是否互为逆运算？综上可知，只能说减法是加法的逆运算，而不能说加法与减法互为逆运算。同理，也只能说除法是乘法的逆运算，而不能说乘法与除法互为逆运算。4.关于四则运算

（2）为什么不写“倍”？在学习“求一个数是另一个数的几倍”应用题时，很多小学生会自然提出这样的疑问，如：“饲养小组养了12只小鸡，3只小鸭，小鸡的只数是小鸭的几倍？”

为什么“12÷3＝4”的后面不写“倍”呢？

分析：在解答应用题时，得数后面一般要写上单位名称。如：12只的“只”；8克的“克”。一个数只有带上单位名称，才能准确地表示出一个物体的多少、大小、长短、轻重等等。

4.关于四则运算

（2）为什么不写“倍”？分析：但是，“倍”不是单位名称，它表示两个数量之间的一种关系。例如，上面的计算结果“4”，表示12里面有4个3，也就是12只小鸡是3只小鸭的4倍。所以，在算式里不写“倍”，以免“倍”与单位名称发生混淆。4.关于四则运算

（3）“倍”和“倍数”的区别

在第一学段学生学习了“倍的初步认识”，认识了概念“倍”，而在第二学段，学生又学习到“倍数”这个概念。那么，“倍”和“倍数”这两个词到底是不是一回事呢？这两个词之间有什么区别呢？4.关于四则运算

（3）“倍”和“倍数”的区别

“倍”指的是数量关系，它建立在乘除法概念的基础上。例如：男生有10人，女生有30人，因为“10×3=30”或者“30÷10=3”，我们就说，女生人数（30）是男生人数（10）的3倍，也可以说，男生人数（10）的3倍等于女生人数（30）。所以，“倍”其实表示的是两个数的商（这个商可以是整数、小数、分数等各种表现形式）。4.关于四则运算

（3）“倍”和“倍数”的区别

“倍数”指的是数与数之间的联系，它建立在整除概念的基础上。例如，30能被6整除，30就是6的倍数。可见，“倍数”是不能独立存在的（具有特定的指向性），而且对数的形式有特别的要求（必须为整数）。同时又应该看到，30也是6的5倍，因为6×5＝30，“6×5”表示6的5倍。所以，从这个角度来说，“倍”的涵义应宽泛于“倍数”，后者可以视为前者在特定情形下的一种表现。4.关于四则运算（4）分数乘法的意义和整数乘法的意义相同吗？

分数乘法分两种情况：①分数乘（以）整数的意义与整数乘法的意义完全相同。②一个数乘（以）分数，表示求这个数的几分之几是多少。与整数乘法的意义不同。4.关于四则运算（5）一个因数的末尾有0，积一定有0.

分析：针对不同年级的学生有不同的答案：

三年级上册：一个因数末尾有零乘法。这时一个因数的末尾有0，积一定有0.

六年级上册：分数乘整数。这时一个因数的末尾有0，积不一定有0.如：10×1/2=5.4.关于四则运算（6）被除数和除数同时扩大，商就不变？

分析：该问题考察对除法基本性质的掌握。例如，4.关于四则运算

只有被除数和除数同时扩大相同的倍数，商才不变。

（7）0.4×0.5的积应该有几位小数？分析：人教版四年级教材有规定：小数乘法的结果，如果小数点后面有0，一般要把末尾的0去掉。对于这样的问题，如果做题要求是保留两位小数，那就必须写成0.20.如果没有具体要求保留小数数位，那么答案是0.2.

答案：0.4×0.5的积是一位小数。4.关于四则运算例：用8、6、4、1、0组成最大的两位小数，这个数是多少？

分析：不同的教学参考书，答案不同。有两个不同的答案：864.10和864.01.这让老师们很头疼！按上面的分析，答案应为：864.01.

个人认为，做类似这样的题目没有意义。4.关于四则运算【注3】

乘法是加法的简便运算。如,5+5+5=5×3，那么，除法和减法的关系是什么？

除法可以是看作是连续减去相同数的简便运算，被除数就是被减数，除数就是相同的减数，连减的最多次数就是商。如，20÷5=20-5-5-5-5=0.如果连续减去若干次后，刚好减完，说明余数为0；如果连续减去若干次后最后的差不是0，但比除数小，那么最后的差是余数。（8）关于整除、除尽、除不尽。

“整除”是整数范围内的除法。对于任意两个整数a和b（b≠0），如果存在一个整数q，使bq=a成立，则称a能被b整除。而“除尽”则不限于整数范围，只要求余数为零。“整除”与“除尽”的区别和联系在于：“整除”也可以称作“除尽”，但是“除尽”不一定是“整除”。“除尽”中包括了“整除”，“整除”只是“除尽”的一种特殊情况。4.关于四则运算（8）关于整除、除尽、除不尽。

“除不尽”，就是两个数相除，不用余数表示，商是无限小数，这样的两个数叫做“除不尽”。

“除不尽”又分为两种情形：商是无限循环小数，如：8÷6=1.333……；和商是无限不循环小数，如：圆的周长÷圆的直径=π.（小学阶段不学习无理数，约定π=3.14

）4.关于四则运算

（1）最大的分数单位是1/2还是1/1？先看分数单位的含义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份的数。在分数意义中，关键是“分”，没有“分”，就没有“份”。因为把单位“1”平均分成的最少份数是2份（如果是1份，也就无所谓“分”），由此得到的分数单位是1/2，所以1/2是最大的分数单位。尽管就广义的分数来说，1/1也可视作分数，但它已不是我们通常意义上认识的与整数对立的那种分数（在平均分的基础上所产生），故此，最大的分数单位应以1/2为宜。5.关于分数、百分数

（2）长方形对角线把其分成四部分，那么每部分都是1/4吗？（三年级）

分析：不对。长方形用两条对角线将其分成四份，四份不完全相等。把一个长方形沿对角线撕开变成四个三角形，它们不完全相等。5.关于分数、百分数（3）像0/3、0.2/3、3/0.2这样的数是不是分数?

小学教科书中分数的定义明确指出：把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数，叫分数。其中，分成的份数叫做分数的分母，要表示的份数叫做分子。由此可知，分数的分子和分母都应该是非零自然数。从这个意义来说，以上这几个数徒具分数的形式，而不具分数的实质，因此都不应该视为分数。5.关于分数、百分数（3）像0/3、0.2/3、3/0.2这样的数是不是分数?

进而，在考查学生对“分数”涵义的理解时，应着眼于通常意义上的分数，将上述这些变异形式纳入思考的范围，其本身对训练学生的思维并无多大实际意义，而且会令诸如“分数都大于0”等命题的真与假陷入尴尬。5.关于分数、百分数（4）比6多1/2的数”应该是“6+1/2”还是“6×(1+1/2)”

要弄清这个问题，先得弄清“6”的性质。显然，此处的“6”其实质是一个“数”，而非一个“量”，求“比6多1/2的数”应属于“求比一个数多几的数”的范畴，问题中的“多几”都是确定的具体数，这里的“几”既可以是整数，也可以是小数或分数。所以，这里的“1/2”是指在6的基础上“多1/2”这个“1/2”数的本身，而非“6的1/2”。所以，“比6多1/2的数”应该是“6+1/2”。当然，如果题目为：“比6多它的1/2的数”，那答案则属于后者。

5.关于分数、百分数62－61－61－分“数”游戏

把平均分给两个小朋友，每人得到一个分数，谁会分？62－103---103---145---145---41－41－21－53－75－题例

62－21－53－75－

如果是把它们平均分给五个小朋友，每人得到一个分数，你还会分吗？题例

（5）计算出勤率可不可以不乘100%？

同一《课程标准》下，不同的课本对此给出了不同的理解，这给教师带来了困惑：到底可不可以不乘100%呢？个人以为，求“××率”其结果必定为百分率。以出勤率为例，就是求实际出勤人数占应出勤人数的百分之几。如果公式只写成：出勤率=实际出勤人数／应出勤人数，这只是分数形式（也即是求实际出勤人数占应出勤人数的“几分之几”），并不是百分数。因此，在公式后面乘上“100％”，既可以使计算数值大小不变，又能保证结果形式满足百分数的要求。因此，计算出勤率、发芽率、出粉率、合格率……的公式中，都应乘“100％”。

5.关于分数、百分数（1）足球比赛记分牌上的“３:２”是数学中的“比”吗？至少可以从两个方面来理解它们的差别。第一，球类比赛中的“3:2”表示的是比赛双方的得分情况，是“差”比，即表示相差关系，一方得3分，另一方得2分，双方相差1分；数学中的“3:2”表示的是“3÷2”，是“倍”比，商为1.5.有鉴于此，球类比赛中的“比”（其实是比分），其后数可以为0的，而数学中的“比”，其后数（相当于除数）在小学阶段是不可以为0的。6.关于比例（1）足球比赛记分牌上的“３:２”是数学中的“比”吗？至少可以从两个方面来理解它们的差别。第二，数学中的“比”是可以化简的，如“4:2＝2:1”；同样的“4:2”放在球类比赛中，却不可以化简，如果化简就不能反映双方在比赛中的实际得分了。6.关于比例（2）小学阶段解答比例应用题的完整步骤是什么？

分析：解答比例应用题的完整步骤为：先判断题中的量成什么比例，再按比例的方法列出比例量，然后解答和检验。一般，小学阶段应将比例问题的答案化到不能约分为止。例如，“8a=6b（b≠0），那么，a:b=3:4”，而不写成“a:b=6:8”.6.关于比例

估算是在计算、测量时无法也没有必要进行精确计算或测量，对数量关系做合理的大概推断。在小学课堂教学中，何时“估算”、何时“精确计算”？可以参考下面的建议。7.关于估算用计算器问题情境用笔算需要计算需要近似答案估算需要精确答案用心算精算与估算“估算”教学的策略——教学生估算的方法1.凑整。

取整十数、四舍五入

3.利用特殊数据特点估数。127×26×7×3=127×26×21≈130×625=812502.取中间数。

672+678+673+679≈675×4=27004.寻找区间，看首位。首位-1：至少；首位都+1：最多。例如，4.3×3.7

至少：4×3=12最多：5×4=205.都往大估，或都往小估；一个估大，一个估小；或一个估，一个不估（视具体情境而定）先估后调。“估算”教学的策略——教学生估算的方法例：妈妈用100元钱买下列物品，够吗？24元33元44元6.利用乘法口诀估算。

“两位数除以一位数的估算”（三下）教科书中设计了如下一些估算题目：

59÷388÷391÷241÷462÷4……7.利用估算进行判断。612÷3≈24128×83=7994292×29=10128“估算”教学的策略——教学生估算的方法×××

A．

少于200B.400－500C.300－400D.200－300备选答案不是一个具体数值，而是一个数值区间。可以利用乘法估算来解决这样的问题。

公园平均每小时有36－45人乘坐碰碰车，估计6小时中，乘坐碰碰车的人数是：（）

题例

D教学案例

估算

（北京教科院吴正宪）青青和母亲去购物23元48元16元69元31元买了这么多物品，要多少钱呢？我带了200元钱，够不够呢？

在下列哪种情况下使用估算比精确计算有意义？A.当青青想确认200元钱是不是够用时；C.当青青被告知应付多少钱时。B.当销售员将每种食品的价钱输入收银机时；吴老师用这个情景说明：“估算”适用的范围。曹冲称象吴老师创设这个情景，目的是让学生体验“估算”的方法。

这么多的石头和大象一样重六次称石头的质量如下（单位：千克）次数123456质量328346307377398352

你能估计出这头大象多重吗？

这里可以有多种“估算”的方法，方法的选择：①“快”；②“误差尽可能小”。2108千克

20108千克哪个答案对？

“估算”的作用之一——对运算结果进行检验

350名同学要外出参观，有7辆车，每辆车56个座位，估一估够不够坐？

①7×56≈350（个）350个=350个

看作50②7×56≈420（个）420个>350个看作60“估算”意识的渗透

车重986千克，这辆车可以过桥吗？共6箱限重3吨每箱重285千克3t208×4=

哪个答案可能是正确的？A8032B823C832832

本案例完

总之，估算的方法有多种，要让学生在日常生活中多观察，鼓励学生用不同的方法解决问题，通过不失时机的估算训练，使学生感受到估算是解决问题的一种策略。用它可以简洁并迅速地解决某些问题，从而在培养学生估算技能的同时逐步向学生渗透估算的意识和理念。7.关于估算

首先应该明确的是，〔小〕时并非国际时间单位。在1984年国务院发布的《关于我国统一法定计量单位的命令》中，把秒作为时间的基本单位，把非国际单位制的时间单位天（日）、〔小〕时、分作为辅助单位。【注】〔〕里的字，在不致混淆的情况下，可以省略。这样，在我国范围内使用的法定时间单位就有：天（日）、〔小〕时、分、秒。

8.“时”和“小时”有什么不同？怎样使用“时”和“小时”？

由此，“时”既可以表示时间，又可以表示时刻。由于“时间”和“时刻”这两个不同的概念，容易产生混淆，在实际应用时间单位“时”时，现行课本作了如下处理：①当列式计算出时间的长短时，在得数的括号里写上时间的单位“时”。例如：超市营业时间：21-9=12（时）。（此处可省略“小”字）8.“时”和“小时”有什么不同？怎样使用“时”和“小时”？

②在用语言表述时间的长短时，为避免“时间”和“时刻”这两个概念产生混淆，则在“时”的前面加上一个“小”字。例如：超市营业时间12小时。③在用语言表示时刻时，一律不得出现“小时”字样。例如：公园每天早上7时30分开园（而非7小时30分）。8.“时”和“小时”有什么不同？怎样使用“时”和“小时”？

总之：表示经过的时段（时间）一般用“小时”表示，表示某一段瞬间（时刻）则用“时”来表示。“小时”是计量时间长短的一个辅助单位名称，但如果在不至于与表示时间的某一瞬间的“时”发生混淆时，这个“小”字可以省略。因为只有表示经过多少时间的量才能参加运算或换算，所以在算式中可以将“小时”省略为“时”。如：9-8=1（时），而在文字叙述中，这个“小”字一般不省略。8.“时”和“小时”有什么不同？怎样使用“时”和“小时”？

（1）x=0是方程还是方程的解?

分析：方程指含有未知数的等式。所以，x=0是方程。（2）简易方程用等式的性质去解太难、太麻烦怎么办？分析：《课标标准》规定用等式的性质解简易方程，目的是与中学解一元一次方程等的解法保持一致。在小学，教师可以利用加、减、乘、除各部分之间的关系来解简易方程。

9.关于简易方程（1）直径是圆的对称轴吗？

分析：所谓对称轴是指：如果沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴。在小学阶段，圆的直径是线段，对称轴要求是直线，所以，应该说：圆的对称轴是直径所在的直线。10.关于“图形与几何”的知识点（2）“路程”就是“距离”吗？

分析：这两个词在许多老师的教学语言中是替代使用的，其实不然。

“路程”是指从一个地点到另一个地点所经过路线的长度；而“距离”则指连接两个地点而成的直线段的长度。“路程”所经过的路线可以是曲线段，也可以是直线段，还可能是折线段。一般情况下，两个地点之间的“路程”要大于它们之间的“距离”，只有当两个地点之间的路线为直线时，路程和距离才相等。10.关于“图形与几何”的知识点（3）如右图，树叶的周长算不算叶柄的长度？10.关于“图形与几何”的知识点分析：按照人教版小学数学教材的说法：封闭图形一周的长度，是它的长度。（见下片教材截图）

仔细观察课本，情境图中的树叶并不含叶柄，课本中借用实物：树叶、国旗、课本、钟等，抽象成平面图形，然后探讨长方形周长的求法，再给出长方形的周长公式。

结论：树叶的周长不算叶柄的长度。10.关于“图形与几何”的知识点（3）树叶的周长算不算叶柄的长度？（4）小于90度的角都是锐角吗？

分析：根据新版小学数学教材定义：小于90度的角叫做锐角。答案似乎是肯定的，但由此又产生一个新的问题：0度的角是什么角，也是锐角吗？事实是，锐角定义中有一个隐含的前提，就是小学数学中所讨论的角都是正角。

10.关于“图形与几何”的知识点（4）小于90度的角都是锐角吗？

分析：习惯上把射线按逆时针方向旋转而得到的角叫做正角，射线按顺时针方向旋转而得到的角叫做负角，当一条射线没有做任何旋转时，就把它看成零角。如果将角的概念推广到任意大小的角，就应分为正角、负角、和零角。由此，严格意义上的锐角定义应是：大于0度而小于90度的角叫做锐角。10.关于“图形与几何”的知识点（5）小学一年级数学中“左右”应该让学生怎样区分？

例如：照片中小红的左边是谁？这个问题是以照片中的小红自己的左右为标准来观察，还是以观察者的左右为标准来观察呢？

分析：对于这个问题，有两种看法，一种以观察者为标准。理由是这里的“左边”并没有说明是照片中人物的左边。10.关于“图形与几何”的知识点（5）小学一年级