2020-2021学年福建省福州市高一下学期期末考试数学试题

2020-2021学年福建省福州市高一下学期期末考试数学试题（完卷时间：120分钟；满分：150分）友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！注意事项：答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。第II卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答，答案无效.考试结束，考生必须持试题卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.z+i1.已知复数z满足=1+i,贝y复数z=（）若xlog3=1,求3x若xlog3=1,求3x+3-x=（）251310A.B.C.—263某校新成立3个社团，A.2+iB.1+2iC.3+iD.3—2i2.设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB+FC=（）A.ADB.1ADC.1BCd.bC223D.2规定每位同学只能参加其中一个社团，假定每位同学参加各个社团的可能性相同，贝该校甲、乙两位同学参加同一个社团的概率为（）1D-3TOC\o"1-5"\h\z1121D-3A.963\o"CurrentDocument"已知复数z,z，贝y“z,zeR”是“z=z”的（）121212充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件将曲线C:y二2sinx上各点的战坐标缩短到原来的1倍（纵坐标不变），得到的曲线C,122把C向左平移?个单位长度，得到曲线C3:y=f（x），则下列结论正确的是（）263A.f（%）的最小正周期为4兀B.x的一条对称轴B.x的一条对称轴C.f(xC.f(x)在上的圾大值为£3D.f（x）在上单调递增I36丿7.在我国国旗的正五角星图形中有许多黄金分割点，如图所示的正五角星几何图形中，△CDE是顶角为36°的等腰三角形，C，D为线段AB上的两个黄金分割点，则有AC~ABBDABCDBC.据此计算cos216°AC~ABBDABCDBC.据此计算cos216°=A.B.C.—8•如图所示的一个圆锥形的金瓜配件，重75.06克，其轴截面是一个等边三角形，现将其打磨成一个体积最大的球形配件，则该形配件的重量约为（）A.34.37克B.34.03克C.33.36克D.32.69克二、选择题：本题共4小题，每小陋5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9•某地区经过一年的新农村延设，农村的经济收入增加了一倍，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：莊住谕毘讲收入构成出眦建枚用疑济收入椅成比例莊住谕毘讲收入构成出眦建枚用疑济收入椅成比例则下面结论中正确的是（）A.新农村建设后，种植收入减少了新农村建设后，养殖收入增加了一倍新农村建设后，其他收入增加了一倍以上(b(b-c)兀10•已知a，b是平面内夹角为3的两个单位向量，向量c在该平面内，且a-D.|C|的最小值为2D.|C|的最小值为2A.a+b=1B.a-b=1C.(a—C)丄b11.在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，点P、E、F分别为CC、BC、CD的11111中点，则下列说法正确的是（）AP与EF所成角为60°点A到平面PEF的距离为■--14C.直线C.直线A1B与平面PEF所成角的正弦值为v'6

TD.平面PED减正方体得到的截面图形是梯形112.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c,若C=b（a+b），则以下结论正确的是（）兀A.c>bb.C二2Bc.a>cd.0<B<—4三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.13•“幸福感指数”是某个人对自己目前生活状态满意程度的主观指标数值，常用区间[0,10]TOC\o"1-5"\h\z内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取6位小区居民进行调查，他们的“幸福感指数”分别为5，6，7，8，9，5，则这组数据的第80百分位数是.已知一个正六棱柱的所有顶点都在球面上，若正六棱柱的底面边长与侧棱长均为2，则这个球的表面积为.设向量e=（1,0）,e=（0,1）.若a=-2e+7e，b=4e+3e，则a•b=，向121212\o"CurrentDocument"量a在向量b上的投影向量为.某小微企业生产一种如下图所示的电路子模块：要求三个不同位置1，2，3接入三个不同的电子元件A，B，C，它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，假设接入三个位置的元件能否正常工作相互独立，当且仅当3号位元件正常工作同时1号位与2号位元件中至少有一件正常工作时，电路子模块才能正常工作，则该电路子模块能正常工作的概率最大值为.

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）如图，在三棱锥A-BCD中，AB丄AD，BC丄BD，平面ABD丄平面BCD.（1）求证：AD丄AC；（2）已知DE=2EA，DF=2FC，则棱BD上是否存在点G，使得平面EFG//平面ABC?若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由.ae（0,兀ae（0,兀）,已知sina+cosa二(1)求tana的值;(2)(2)若sin0二-10，卩e求a+0的值.19.（12分）2021年是“十四五”规划开局之年，也是建党100周年•为了传承红色基因，某学校开展了“学党史，担使命”的知识竞赛现从参赛的所有学生中，随机抽取100人的成绩作为样本,进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.0.0250JOjQ£—»-1■■0^005f-—（1）求频率分布直方图中a的值，并估计该校此次竞赛成绩的平均分X（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；（2）若根据成绩对该样本进行分层，用分层随机抽样的方法，从成绩不低于75分的学生中随机抽取7人查看他们的答题情况，再从这7人中随机抽取2人进行调查分析，求这2人中

至少有1人成绩在［85,95）内的概率.（12分）已知函数f（x）=ex+e-x.（1）根据函数单调性的定义，研究f（x）的单调性；（2）若g（x）=x2-2x+af（x-1）有唯一零点，求a的值.（12分）如图，AB是底部不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点•某学习小组准备了两种工具：测角仪（可测量仰角与俯角）与米尺（测量长度）•请你利用准备好的工具，设计一种测量建筑物高度AB的方案，包括：指出要测量的数据（用字母表示，并标示在图中）；用文字和公式写出计算AB的步骤.22.（12分）如图，已知正四棱锥S-ABCD与正四面体SA'B'C'所有的棱长均为a.（1）若M为SB的中点，证明：SD//平面MAC；（2）把正四面体S'-AB'C'与正四棱锥S-ABCD全等的两个面重合，排成一个新的几何体，问该几何体由多少个面组成？并说明理由.福州市2020-2021年第二学期质量检查数学参考答案及评分细则评分说明：1•本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。

对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半：如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。只给整数分数。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.B2.A3.A4.D5.B6.B7.C8.C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9.BCD10.BD11.CD12.AB三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.814.2515.13；(5239V5213.814.2515.13；(5239V52,25925)或255239e+ei25216.0.84612.【解答】因为c2=b(a+b)>be,所以c>b，故a正确;由余弦定理得，厂a2+c由余弦定理得，厂a2+c2一b2cosB-——2aca2+aba+bc一--，所以c-2bcosB,2b2ac2ccsinCsinC由正弦定理得，〒-，所以cosB-，即sinC-2sinBcosB,bsinB2sinB所以sinC—sin2B，所以C—2B或C+2B—兀，因为A+B+C—兀，若C+2B—兀，可得A—B，所以a—b，兀兀又c2-b(a+b)，所以c2—a2+b2，此时C——，A—B—，满足C—2B，故B正确；24,厂兀-兀当A-B—，C-—时，a<c，故C错误；42由B选项可知C-2B，故A—兀—(B+C)=兀—(B+2B)>0，即B<亍，故d错误。【解答】因为a=(—2,7)，b=(4,3)，所以a•b-13，向量云在向量b上的投影向量a•bb_(5239)为问•丽•同=〔亦厉J。【解答】将A，B，C型电子元件分别接入3号位，1号位，2号位，或者将A，B，C型电子元件分别接入3号位，2号位，1号位时，该电路子模块能正常工作的概率最大，记事件E-“A元件正常工作”事件F-“B元件正常工作”记事件G-“C元件正常工作”，记事件H=“电路子模块能正常工作”，则P(H)=P(E){1—P(F)P(G”=0.9x[1—(1—0.8)x(1—0.7)]=0.846.四、解答题：本大题共6小题，共70分.

【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；考查空间想象能力、逻辑推理能力；考查化归与转化思想、数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理等核心素养；体现基础性和综合性.4分・5分D【解答】(1)因为平面ABD丄平面BCD，平面ABD门平面BCD=BD，BCu平面BCD，BC丄BD，所以BC丄平面ABD……2分因为ADu平面ABD，所以BC丄AD，又AB丄AD，而AB^BC二B，ABu平面ABC,BCu平面ABC，所以AD丄平面ABC.・又因为ACu平面ABC，所以AD4分・5分DTOC\o"1-5"\h\z(2)存在点G，满足DG=2GB时，使得平面EFGII平面ABC6分dgde理由如下：在平面ABD内，因为DE=2EA，DG=2GB，即=——，GBEA所以EG//AB7分又因为EG电平面ABC，ABu平面ABC，所以EG//平面ABC，同理可得FG//平面ABC9分又EGFG=G，EGu平面EFG，又FGu平面EFG，故平面EFG//平面ABC.故存在点G，满足DG=2GB时，使得平面EFG〃平面ABC10分【命题意图】本小题主要考查同角三角函数的关系、三角恒等变换等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；考查逻辑推理、数学运算等核心素养；体现基础性.【解答】解法一：(1)由＜.1

sina【解答】解法一：(1)由＜5,sin2a+cos2a=1联立可得25sin2a-5sina-12=0,43解得sina=一或sina=—,又ae(0,兀)，sina>0，故sina=—5不合题意，舍去.13cosa=——sina=—,554于是tana13cosa=——sina=—,554于是tana=-3,6分（2）由sin0=臬,卩ef0,占10\25分7分所以sin（a+0）=sinacos0+cosasin0=±J忑+—-=5101029分又因为aw（0,兀），cosa=—5<o,所以a+02'2丿10分所以a+0二手412分解法二：（1）由sina+cosa=”,可知（可知（sina+cosa=1+2sinacosa=—,2512所以12所以sinacosa=—-252分tanasinacostanasinacosa即snE；atan2a+112253分43解得tan43解得tana=一一或tana=——344分又ae（0，兀），则sina>0,44当tana=—44当tana=—3时，sina=5a33当tana=——，sma=，\o"CurrentDocument"454综上所述，tana二—312分2）同解法一.3cosa二—5，符合题意.4cosa=-5，不合题意，舍去.6分5分【命题意图】本小题主要考查频率分布直方图、数字特征、古典概型等基础知识；考查运算求解能力；考查化归与转化思想、必然与或然的思想；考查数据分析、数学运算、数学建模、数学抽象等核心素养；体现基础性、综合性、应用性.【解答】解法一：（1）由频率分布直方图可得，（0.005+0.025x2+O.Olxa）x10=1，解得a二0.035.…2分样本数据的平均数为：50x0.05+60x0.25+70x0.35+80x0.25+90x0.1=71.5分（2）由频率分布直方图可知，成绩在【75,85）,【85,95〕内的频率分别为0.25,0.1,所以采用分层抽样的方法从样本中抽取的7人中，成绩在【75,85）内的有5人，成绩在【85,95］的有2人……7分从这7人中随机抽取2人进行调查分析,记事件A=“2人中至少有1人成绩在【85,95〕内”,事件A=“2人中恰有1人成绩在【85,95〕内”，1事件A=“2人成绩都在【85,95〕内”则A=AUA.212因为A与A互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得P（A）=P（A）+P（A）.1212将成绩在【75,85）内的5个人分别记为B，B，B，B，B，将成绩在【85,95］内2个12345人分别记为C，C，12设从这7人中第一次抽取的人记为x，第二次抽取的人记为x，则可用数组（x,x）表示样1212本点.可知样本空间0=｛（B,B）,（B,B）,（B,B）,（B,B）,（B,C）,…,（C,C）｝,121314151112A=｛（B,C）,（B,C）,（B,C）,（B,C）,（B,C）,…,（C,B）｝,111221223125A=｛（C,C）,（C,C）｝,1221因为样本空间包含的样本点个数为n（O）=42，…8分10分且每个样本点都是等可能的，又因为n（A1）=20，n（A2）=210分12分由古典概型公式可得p（A）=42+42=12分解法二：（1）同解法一.5分2）由频率分布直方图可知，成绩在【75,85），【85,95〕内的频率分别为0.25，0.1，所以采用分成抽样的方法从样本中抽取的7人中，成绩在【75,85）内的有5人，成绩在【85,95〕的有2人……7分

从这7人中随机抽取2人进行调查分析,记事件A二“2人中至少有1人成绩在【85,95〕内”,事件A=“2人中恰有1人成绩在【85,95］内”，1事件A二“2人成绩都在【85,95］内”则A二AA.212因为A与A互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得P(A)=P(a)+P(a).1212

将成绩在【75,85)内的5个人分别记为1，2，3，4，5，将成绩在【85,95〕内2个人分别记为6,7,设从这7人中抽取的2个人记为x1，x2,不妨设x1<x2，则可用数组(x1，x2)表示样本点.可知样本空间。={(x,x)|x,xe{1,2,3,4,5,6,7},且x<x}121212A={(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),-(5,7)}，A={(6,7)},12因为样本空间包含的样本点个数为n因为样本空间包含的样本点个数为n(。)=21,8分10分且每个样本点都是等可能的，10分1212分由古典概型公式可得P(a)=+=-12分424221【命题意图】本小题主要考查函数的奇偶性、单调性、函数与方程等基础知识；考查逻辑推理能力、直观想象能力、运算求解能力；考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养；体现基础性、综合性.解答】解法一(1)f(x)的定义域为(-a,+a),对任意的x，有解答】解法一f(-x)=e-x+ex=f(x),所以函数f(x)=ex+e-x为偶函数1分考虑f(x)在(—a,+a)上的单调性：Vx,xw(0,+a)，且x<Vx,xw(0,+a)，且x<x,1)-Cx2+e-x2)22分ex1+x2(ex1-ex2)(ex1(ex1-ex2)(ex1+x2-1)4分ex1+x2由x>x>0，得exj—ex2<0，e专+x2>1，e舟+x2>0，2112121212即f(x)<f(x)，所以f(x)在(0,+8)上单调递增.125分又因为f(x)是偶函数，所以f(x)在(-8,0)上单调递减.综上所述，f(x)在区间(0,+8)上单调递增，在区间(-8,0)上单调递减.6分(2)因为g(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)=(x-1)2+aex-i+e-(x-1)-1将g(x)的图像向左平移1个单位得到h(x)=x2+a(ex+e-x)-1，…7分9分对任意的x，有h(-x)=h(x)，故h(x)是偶函数9分要使g(x)有唯一零点，即h(x)有唯一零点，而h(x)的图像关于y轴对称,11分故h(0)=0，求得a=211分厶由(1)可知，当a=*时，h(x)在区间(0,+8)上单调递增，在(—8,0)上单调递减，又12分h(0)=0，故可知h(x)有唯一零点0,符合题意，故a=12分厶6分解法二：(16分(2)因为g(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)=(x-=(x-1)2+aex-i+e-(x-1)—1g(2-x)=(2-x)2-2(2-x)+ae2—x-1+e-(2—x)+i=x2-4x+4-4+2x+a(e1-x+ex-1)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)9分所以g(2-x)=g(x)，即x=1为g(x)的对称轴.9分10分要使函数g(x)有唯一零点，所以g(x)的零点只能为x=10分即g(1)=12-2-1+a(ei-i+分2

由（1）可知，当a=-时，g（x）在区间（1,+8）上单调递增，在（—8,1）上单调递减，厶又g（1）=0，故可知g（X）有唯一零点1,符合题意，故a=2……12分厶【命题意图】本小题主要考查正弦定理等基础知识；考查逻辑推理能力、运算求解能力；考查化归与转化思想、数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算、数学建模、数学抽象等核心素养；体现基础性、综合性、创新性、应用性.【解答】解法一：①作图如下3分选择一条水平基线HG（如图），使得H，G，B三点在同一条直线上分在H，G两点用测角仪测得A的仰角分别为a，0.用米尺测得HG二a，即CD二a，测得测角仪的高度是h.（若没有做出DH，扣掉1分）6分②在AACD中，由正弦定理，可得-AC-=.CD0)，即AC=.00),sin0sin(a—0)sm(a—0)10分在Rt^ACD中，有AE=ACsina=aSi：aSi；0,sin(a—010分所以建筑物的咼度AB=AE+所以建筑物的咼度AB=AE+h=分asmasmopsm+h（若漏掉h，扣一分）.12解法二：①同解法一.6分AEae②在RtAACE，RtAADC中分别有DE=，CE=，8分tan0tana所以CD=DE—CE=AE所以CD=DE—CE=AEtan0AEtanaAE(tana—tan0)tanatan0所以AE=atanatan0tana—tan010分所以建筑物的高度AB=AE所以建筑物的高度AB=AE+h=atanatanPtana-tanP+h（若漏掉h,扣一分）.12分【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、平面与平面所成角等基础知识；考查空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力；考查化归与转化思想、数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养；体现基础性和综合性.TOC\o"1-5"\h\z【解答】解法一：（1）连接DB交AC于