倒易点阵介绍

1倒易点阵2倒易点阵倒易点阵概念及定义倒易点阵的物理意义倒易点阵的应用3倒易点阵概念倒易点阵是一个假想的点阵.将空间点阵(真点阵或实点阵)经过倒易变换,就得到倒易点阵,倒易点阵的外形也是点阵,但其结点对应真点阵的晶面,倒易点阵的空间称为倒易空间。1860年法国结晶学家布拉菲提出并作为空间点阵理论的一部分，但缺乏实际应用。1921年德国物理学家埃瓦尔德把倒易点阵引入衍射领域。此后，倒易点阵成了研究各种衍射问题的重要工具。4倒易点阵定义倒易点阵的定义倒易点阵的性质晶带定理5倒易点阵的定义倒易点阵的基本矢量垂直于正点阵异名矢量构成的平面。用a、b、c表示晶体点阵（正点阵）的基本矢量；用a*、b

*

、c

*表示倒易点阵的基本平移矢量，则倒易点阵与正点阵的基本对应关系为：点阵中单胞的体积：V=a·(b×c)=b·(a×c)

=c·(a×b)6倒易点阵基矢与正点阵基矢的关系（仅当正交晶系）7倒易点阵的性质1.正倒点阵异名基矢点乘为0;

a*·b=a*·c=b*·a=b*·c=c*·b=0

同名基矢点乘为1。

a*·a=b*·b=c*·c=1.2.在倒易点阵中，由原点O*指向任意坐标为hkl的阵点ghkl(倒易矢量)为：ghkl=ha*+kb*+lc*式中hkl为正点阵中的晶面指数3.倒易矢量的长度等于正点阵中相应晶面间距的倒数，即ghkl=1/dhkl4.对正交点阵，有a*∥a，b*∥b，c*∥c，

a*=1/a，b*=1/b，c*=1/c，5.只有在立方点阵中，晶面法线和同指数的晶向是重合（平行）的。即倒易矢量ghkl是与相应指数的晶向[hkl]

平行的。

8ghkl=ha*+kb*+lc*

表明：1.倒易矢量ghkl垂直于正点阵中相应的[hkl]晶面，或平行于它的法向Nhkl

2.倒易点阵中的一个点代表的是正点阵中的一组晶面9晶带定理在正点阵中，同时平行于某一晶向[uvw]的一组晶面构成一个晶带，而这一晶向称为这一晶带的晶带轴。图示为正空间中晶体的[uvw]晶带图中晶面（h1k1l1）、（h2k2l2）、（h3k3l3）的法向N1、N2、N3和倒易矢量gh1k1l1、gh2k2l2、gh3k3l3的方向相同.晶带定理：因为各倒易矢量都和其晶带轴r=[uvw]垂直，固有ghkl•r=0，即hu+kv+lw=0,这就是晶带定理。10倒易点阵的物理意义在研究晶体对X射线或对电子束的衍射效应时，某晶面{hkl}能否产生衍射的重要条件就是该晶面相对于入射束的取向以及晶面间距d(hkl)满足：d(hkl)sin=n，即著名的布拉格方程，其中-入射角，-波长。各晶面的散射波干涉加强的条件是，波程差为波长的整数倍。这是满足衍射的必要条件，但不是充分条件。11倒易点阵的物理意义为了从几何学上形象的确定衍射条件，人们就找到一个新的点阵（倒易点阵），使其与正点阵（实际点阵）相对应。对应的条件：新点阵中的每一个结点都对应着正点阵的一定晶面，该结点既反映该晶面的取向也反映该晶面的面间距。具体条件：a.新点阵中原点O到任意结点P(hkl)（倒易点）的矢量正好沿正点阵中{hkl}面的法线方向。b.新点阵中原点O到任意结点P(hkl)的距离等于正点阵中{hkl}面的面间距的倒数。将实际晶体中一切可能的的{hkl}面所对应的倒易点都画出来，由这些倒易点组成的点阵称为倒易点阵。12倒易点阵的物理意义Ewald图解是衍射条件的几何表达式。

sinθ=λ/2d令d=λ/ghkl

（此时比例系数用X射线的波长）则sinθ=ghkl/2即某衍射面（hkl）所对应的布拉格角的正弦等于其倒易矢量长度的一半。爱瓦尔德球（反射球）(P.P.Ewald)Ewald图解入射线反射线反射球反射方向BAPO1g(hkl)θθθ2θ14以一晶体为中心（O点），以1/λ为半径，在空间画一个球，这个球即为爱瓦尔德球Ewald作图法如图令电子束沿直径AO*的方向入射，经过晶体O点亦到达O*点，取O*G的长度为1/dhkl，若直角三角形ΔAO*G中,AO*与AG的夹角为θ，则ΔAO*G满足布拉格方程，即此时电子束波长λ，晶面间距dhkl

及取向关系θhkl之间可用直角三角形表示出来：即AO*=2/λ,∠O*AG=θ,O*G=1/d，沿AO*方向入射的电子束照射在O点处的晶体，一部份电子束透射过去，一部份使晶面间距为dhkl

的（hkl）面发生衍射，在OG方向产生衍射束。若入射波卡量用K表示，衍射波矢量用K表示，含O*G＝G，其方向平行于（hkl）晶面的法线，则有K‘–K=G，即为布拉格方程的矢量形式。15倒易点阵的应用倒易点阵使许多晶体几何学问题的解决变得简易。例如单胞体积，晶面间距、晶面夹角的计算以及晶带定理的推导等等。以下是倒易点阵的应用。1°由倒易点阵的基本性质可得：a*=1/d100，b*=1/d010，c*=1/d100（a*=G100=1/d100）在晶体点阵S中，点之间或点阵平面之间的距离用Å作单位，因此，a*、b*、c*的单位为Å－1。在用图解法解决实际问题时，用相对标度值表示相对大小即可。16倒易点阵的应用2°晶面间距公式（hkl）晶面的间距dhkl为:dhkl=1/IGhklI(dhkl)-2=G2hkl=ha*+kb*+lc*217倒易点阵的应用18倒易点阵的应用3°晶面之间的夹角ϕ，（h1、k1、l1）晶面与（h2、k2、l2）晶面之间的夹角ϕ（也即这两个晶面的法线之间的夹角ϕ即为Gh1、k1、l1与Gh2、k2、l2晶面之间的夹角），故19倒易点阵的应用20倒易点阵的应用4°晶带轴按定义，指数为（h1、k1、l1）和（h2、k2、l2）两晶面的晶带轴即为这两个晶面的交线方向，若含此交线平行于某一（正）矢量，puvwp=ua+vb+wc所求晶带轴即求出[uvw]三数即可。

（h1、k1、l1）和（h2、k2、l2）晶面的法线是平行Gh1k1l1

和Gh2k2l2于是它们的点乘为021倒易点阵的应用根据倒易基矢定义式，显然有：为了便于记忆，一般写成如下形式：22倒易点阵的应用证明23倒易点阵的应用24参考文献1黄昆原(著)．韩汝琦(改编)．固体物理学[M]．北京：高等教育出版社，19882王莉.WANGLi正点阵与倒易点阵中的对应关系[期刊论文]-唐山师范学院学报2004(5)3陈难先.