最佳检测系统(第二章)

第二章典型检测系统的理论分析2.1

最佳检测系统的基本概念2.2

在高斯条件下的最佳检测系统2.3

最佳预选滤波器和匹配滤波器的作用

本章小结 本章的目的是以理想化的水声检测系统为例，说明在设计或分析复杂检测系统时可能涉及到的基本物理概念和随机过程理论的应用。后续章节也将以此为例引出其它议题。2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析2.1最佳检测系统的基本概念 存在两种可能：（2.1.1）其中，噪声w(t)和信号s(t)都是随机过程。水听器输出x(t)只是这些过程的一个样本函数，一切判断或反应都只能根据x(t)来做出。海水媒质声压水听器输出电压x(t)2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析2.1.1判决规则

限时限带样本波形x(t)可以用n=2TW个采样值完全描述，其中T为样本波形的持续时间（观测时间），W

为波形的谱宽。N个取样点构成的向量记为x，全部样点的集合，称为观测空间D。

将观测空间分成两个子空间D0和D1，其分界恒能以某种解析方程Ψ(x)=K

描述，其中K为常数。即（2.1.2）D1：Ψ（x）≥K图2-1

观测空间D=D0⊕D1D0：Ψ（x）<K2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析

按判决规则Ψ(x)=K

对观测空间D进行划分：把一切落入D0的样本波形判为H0

，而把一切落入D1的样本波形判为H1。其中，称Ψ(x)

为检验统计量；称K

为阈值或门限。（a）≥0，判为:H1<0，判为:H0（人工或机器判决）门限Kz=Ψ(x)x={x(t)，-T<t<0}检测仪器（人工或机器判决）门限Kz=Ψ(x)x={

x(t’)，t-T<t’<t}（b）图2-2目标检测系统的功能：（a）断续判决（b）连续判决检测仪器≥0，判为:H1<0，判为:H02/1/2023第二章典型检测系统的理论分析2.1.2 检测概率、虚警概率和处理增益

任何判决规则都是对观测空间D作某种划分，可能出现四种情况：

（1）样本实际属于H1

而落入D1

，判决正确。出现这种情况的概率记为P(D1|H1），称为检测概率。（条件概率） （2）样本实际属于H0

而落入D0

，判决正确。出现这种情况的概率记为P(D0|H0)。 （3）样本实际属于H1而落入D0

，判决错误。出现这种情况的概率记为P(D0|H1)，称为漏报概率。显然P(D1|H1)+P(D0|H1)=1。 （4）样本实际属于H0

而落入D1

，判决错误。出现这种情况的概率记为P(D1|H0)，称为虚警概率。同样有：P(D0|H0)+P(D1|H0)=1。2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析

上述各种概率的大小，是随着观测空间D的划分方式的变化而变化的。因此，它们与所采用的检验统计量和门限值是密切相关的（见图2-3）。图2-3目标检测系统输出波形z(t)与门限K的关系z(t)t2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析

作用距离：根据前面讨论，作用距离的确切而有意义的提法是：在满足给定检测概率和虚警概率要求的条件下，系统所能敏感的目标舰的最大距离。

处理增益最大:

从检测的角度来说，就是在相同的输入信噪比

(S/N)x下，系统的输出信噪比

(S/N)z

最大。处理增益=输出信噪比/输入信噪比

黎曼-皮尔逊（Neyman-Pearson）准则:

作用距离（灵敏度）最大准则~处理增益最大准则~给定虚警概率下的最大检测概率准则。2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析2.1.3黎曼-皮尔逊准则下的最佳检测系统

将传感器输出的持续时间为T的样本波形x(t)提供给观测者，要求观测者对x(t)是属于H0

还是H1做出判决：

在双择一的约束下，以Ψ(x)=K作为分界面，对观测空间D={x}作一划分：D=D0⊕D1（符号⊕表示直和）。要求在给定的虚警概率下，具有最大的检测概率。

记x∈H1样本的概率密度p(x|H1)＝p1(x),

代表信号＋噪声过程的n维密度函数；记x∈

H0样本的概率密度为p(x|H0)＝p0(x),

代表纯噪声过程的n维密度函数。那么，在任意划分下的检测概率为(2.1.3)虚警概率为(2.1.4)2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析

现在的问题是如何选取D1，使P(D1|H1)达到最大？这种准则称为黎曼-皮尔逊准则。用数学语言来表示，就是(2.1.5)

依据Lagrange乘数法，与上述条件极值问题对应的目标函数为其中K≥0是待定的Lagrange

乘数。

把式(2.1.3)和(2.1.4)代入上式，得到(2.1.6)2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析

由∂Q/∂K=0

和∂Q/∂x=0，可求出Q取极值的条件，即(2.1.7)

由极值条件(2.1.7)可以看出，对于二择一判决的一种合理的准则就是： 当p1(x)/p0(x)>K

时，判为H1，它表示出现目标的可能性大于事先预定的虚警概率；反之，p1(x)/p0(x)<K，则应判为H0

。 显然，D0和D1的分界面是：p1(x)/p0(x)=K这种判别准则也称为最大后验准则（maximumafter-effectproving，MAP）2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析 因为p1(x)和p0(x)都是已知函数，所以L(x)

=p1(x)/p0(x)也是已知函数。称L(x)为x的似然比（LRT，Likelihoodratio）。黎曼-皮尔逊准则下最佳检测系统的功能可以叙述为：在虚警概率的约束下，若作为系统输出检验统计量的似然比就判定样本波形x∈

H1

；反之，则判定样本波形x∈H0

。2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析

从式(2.1.6)可以看出，由p1(x)/p0(x)≥K所确定的D1

既能保证虚警概率P(D1|H0)为给定的数值，又能保证Q是非负的。因此，总存在某个区域D1′是由Q≥0的全部x的集合所组成，当D1=D1′时，Q将达到最大值(2.1.5)

。 黎曼-皮尔逊准则下的最佳检测系统如图2-4所示。检测系统的输出z(t)，在任意时刻t的取值等于该时刻前一时段T

的输入样本波形的似然比，故称为似然比检测系统。≥0，判为：H1<0，判为：H0L()=p1()/p0()门限Kz=L(x）x={x(t’)，t-T<t’<t}似然比检测仪器图2-4

Neyman-Pearson准则下的最佳检测系统+2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析

用似然比L(x)作为样本x的统计量具有很直观的意义：它的分子p1(x)

代表信号＋噪声过程取为样本x的概率，分母p0(x)代表纯噪声过程取为样本x的概率。因此，比值

L(x)=p1(x)/p0(x)表示所采集的样本波形x

来自H1

比来自H0

的可能性大多少倍。

2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析2.2

在高斯条件下的最佳检测系统

本节考虑输入信号和噪声都是限时限带的零均值高斯过程，并具有任意功率谱的情况。2.2.1最佳检测系统的结构

设信号与噪声均受限于（-2πW,2πW）频率范围,并在截断时间T内被观察，则接收系统的输入过程x(t)=s(t)+w(t)可表示为(2.2.1)式中，ωn=2πn/T。2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析

频域采样点

{X(-TW),…,X(TW)}完全代表了原输入过程x(t)。不妨假设样本波形均无直流分量，即X(0)=0。由于

x(t)是实数序列，故有X(-n)=X*(n)。因此真正携带信息的频域样点只有TW个：X(1),X(2),…,X(TW)将这TW个复随机变量组成的列向量记为X。当{

x(t)}是一零均值高斯过程时，1.4.1节已经证明X

是一高斯向量，并具有以下形式[

参见式（1.4.5）]：(2.2.2)2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析其中

Φx(ωn)是随机变量x(t)的功率谱密度函数在ωn处的取值。 在H0（单纯噪声）情况下，x(t)=w(t)，将背景噪声的功率谱Φw(ω)记为N(ω)，则将上式代入式(2.2.2)，得到H0情况下X的概率密度函数

(2.2.3)

式中，A是与X(n)无关的量。2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析 在H1情况下，x(t)=s(t)+w(t)，将信号的功率谱Φs(ωn)记为S(ω)，并设信号与噪声相对独立，由高斯过程性质2，得代入式(2.2.2)，得到H1情况下

X的概率密度函数(2.2.4)其中，B是与X(n)无关的量。 由式(2.2.3)和(2.2.4)可求出似然比，即(2.2.5)2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析 为了简化计算，考虑式(2.2.5)

中的指数表达式，且把它记为φ(X)，则有(2.2.6)称φ(X)为对数似然比。由于指数函数的单值性和单调性，用L(X)=K对观测空间进行划分，就相当于用φ(X)=ln(A/B)+lnK=K’对观测空间进行划分,即2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析

若令某一滤波器H(jω)的幅频特性为(2.2.7)在H(jω)中略去j。并记XH(n)=X(n)H(ωn),则式(2.2.6)可改写为(2.2.8)

利用周期函数的Parseval

公式，可得到对数似然比的表达式：

(2.2.9)

其中xH(t)

表示x(t)

经过滤波后的时间波形，XH(n)是频率为ωn的傅立叶系数。2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析 上式表明，随机过程{x(t)}通过一个幅频特性由式(2.2.7)

确定的预选滤波器

H(ω)，然后进行平方积分，就可得到对数似然比。 略去式(2.2.9)中常数因子T/2，则相应的最佳接收系统的结构可用图2-5表示。xH(t’)x={x(t’)，t-T<t’<t}z（a）xH(t)x={x(t)，0<t<T}（b）图2-5目标检测：（a）断续判决（b）连续判决（滑移积分）(·)2z(·)22/1/2023第二章典型检测系统的理论分析 根据上述讨论，可以构造图2-6所示的似然比水声检测系统（也称为平方检波系统）。图中预选滤波器左边是空间处理器（图中未画出），用于补偿各水听器与目标之间的声程不一问题；右边是时间处理器，是用于处理经过声程补偿后的信号，从而估计和判决目标出现的时间。z(t)声纳基阵预选滤波器y(t)xH(t)…∑x1(t)xM(t)H(ω)(·)2I(ω)平方算法积分器(S/N)x(S/N)

xH(S/N)y(S/N)z图2-6

典型的多阵元声纳系统时间处理器空间处理器2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析

对空间处理器的工作条件作以下若干简化的假设：

（1）M个水声传感器的输出信号完全相同，记为s(t)。这相当于已通过某种补偿方法，使基阵“对准”目标的情况；

（2）信号和噪声都是零均值的平稳高斯过程，信号与噪声独立；

（3）信号与噪声具有相同形状的功率谱；

（4）M个水听器的输出噪声

wi(t)(i=1,2,…,M)彼此独立，且功率相等。 简化条件中最重要是各水声传感器输出噪声彼此独立。由于在多数应用场合下，这些简化条件都近似成立，因此不失其普遍意义。 在图2-6中，当水听器的输出噪声彼此独立时，最佳空间处理器就是把水听器的输出直接相加。2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析 如果将相加器输出的信号功率谱仍记为S(ω)，噪声功率谱记为N(ω)。那么预选滤波器H(ω)就具有式(2.2.7)所规定的幅频特性：(2.2.10)

根据前面讨论，图2-6中预选滤波器右边的时间处理器是最佳的。2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析2.2.2最佳检测系统的信噪比计算 从图2-6的终端z开始，逐级向前计算积分器（y→z）、非线性算法（x→y）和基阵（x→

xH）的输出 与输入信噪比的关系。

1.积分器输出信噪比计算 重新考虑式(2.2.9)：在T时段上求时间积分，等价于对有限个可能的独立数据进行统计相加，所以检测系统的输出

z(t)并不总是等于σxH2，而是以σxH2为平均值的、波动的随机变量。因此，应当用z(t)它的期望值来计算信噪比。 以E1(z|H1)

表示H1

情况下z(t)

的期望值，记为E1(z)；以

E1(z|H0)

表示H0

情况下z(t)

的期望值，记为E0(z)。两者之差2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析是用来判断目标信号是否存在的唯一依据。 在H1情况下，用[E1(z)-E0(z)]2

作为积分器输出端z(t)的信号功率；在H0情况下，积分器输出端z(t)的方差是σ2(z|H0)，记为σ02(z)，可视为积分器输出端的噪声功率。因此，将积分器输出端z处的信噪比定义为(2.2.11)

类似地，积分器输入端y处的信噪比可以定义为(2.2.12)

下面证明图2-6中积分器输出与输入之间的信噪比关系为2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析(2.2.13)式中(2.2.14)称为积分器的等效积分时间，而(2.2.15)称为积分器输入噪声过程的等效谱宽。其中，ρy(τ)为y(t)的自相关系数。2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析

证明

若把积分器的传递函数记为I(ω)，则有（1）其物理意义是：输出的直流成分＝输入的直流成分乘以滤波器的直流增益I(0)。

利用式（1），可将式（2.2.11）的分子写成（2）而式（2.2.11）的分母可按方差的定义计算，即式中，E(z

2)=Rz(0)，表示输入噪声过程时积分器输出z(t)的噪声功率。2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析

对Rz(0)作傅立叶变换，并利用线性系统的功率传递关系式（1.3.9），得到（3） 为了计算Sy(ω)，将积分器的输入y(t)分为均值项和波动项，即

于是，y(t)的相关函数可表示为2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析

对Ry(τ)作傅立叶变换，得到y(t)的功率谱将Sy(ω)的表达式代入式（3），并利用式（1），则有从而(4)

其物理意义是输出的交变功率是由输入的交变功率决定的。2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析

Sy(ω)的频谱如图2-7所示。其中位于ω=0处、强度为

E2(y)的谱线代表y(t)中的直流功率，而Sỹ(ω)

是协方差

Rỹ(τ)的谱密度，代表y(t)中的交变功率沿频率轴的分布。 可以把积分器理解为一个低通滤波器，其带宽与输入过程功率谱相比是很窄的，故典型的|I(ω)|2曲线如图2-8所示。图2-8

积分器传函的绝对值平方OωSỹ(ω)Sỹ(0)2πδ(ω)·

E2(y)Sy(ω)OωI2

(0)|I

2(ω)|图2-7

积分器输入过程的功率谱2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析 比较图2-7和图2-8可知，在|I(ω)|2具有显著值的范围内，Sỹ(ω)≈常数，因而，式（4）可写成 利用功率谱与相关函数之间的关系，即得 设ρy(τ)为y(t)的自相关系数，则有Rỹ(τ)=σ2(y)×ρy(τ)，于是，在H0情况下，上式变为（5）

其中[ρy(τ)]H0为纯噪声情况下y(t)的自相关系数。2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析

将式(5)和(2)代入式(2.2.11)，并利用式(2.2.12),

即可推出积分器的输出－输入信噪比关系。

（1）积分器等效积分时间Teq的物理意义假设图2-6中的积分器是一理想积分器，其输出z(t)与输入y(t)的关系为

其中Ti为积分时间。令y(τ)=δ(τ)，则可得到理想积分器的脉冲响应函数i(t)：对上式取傅立叶变换，得2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析

（2.2.16）

i(t)与|I(ω)|的曲线如图2-9所示。从图中可以看出，理想积分器相当于一低通滤波器，积分时间Ti愈长，积分器的通带就愈窄。当Ti→∞时，|I(ω)|的通带将趋于零，因而只允许直流成分通过。（b）i(t)|I(ω)|ω2π/TiOtOTi（a）图2-9

理想积分器：（a）脉冲响应函数（b）幅频特性2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析由式（2.2.16）可推知I(0)=Ti，以及 因此式（2.2.14）定义的等效积分时间Teq具有时间量纲，且Teq=Ti。积分器的等效时间Ti起着对输入波形截断和观察的作用，故Teq

也具有“等效观察时间”的意义。

（2）积分器输入噪声过程等效谱宽Wy

的物理意义将等效谱宽Wy

的定义式（2.2.15）改写成 将σ02(y)记为

σy2，把Rỹ(τ)=σy2×[ρy(τ)]H0代入上式，得2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析

上式的物理意义可用图2-10加以解释：噪声过程y(t)的等效谱宽Wy

就是y(t)的交变功率谱密度代之以高度为

Sỹ(0)=σy2/（2Wy）的矩形谱而维持其面积不变时的该矩形谱的谱宽。（b）ωω-2π·wy2π·wy阴影面积=2πσy2Sỹ(0)Sy(ω)2πδ(ω)·

E2(y)Sỹ(ω)阴影面积=2πσy2Sỹ(0)（a）图2-10

等效噪声谱宽Wy的物理意义OO2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析（3）积分器处理增益的物理意义 由处理增益的定义和 式（2.2.13）可知，积分器的处理增益为（2.2.18） 关于这一结论的物理意义可从以下几个方面来说明。

等效积分时间为Teq

的积分器对等效带宽为Wy

的输入波形y(t)的作用，相当于截取长度为

Teq

的一段波形进行积分，或者说把n=2TeqWy

个独立样点进行相加。 在式（2.2.11）和（2.2.12）中，信号功率是直流成分之差的平方，信号体现在直流成分上。由于n=2TeqWy个样点中直流成分的相加是以幅度相加的，故求和后的平方（即信号的功率）与单个样点相比增加了n2倍；但n个样点的交变2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析成分（噪声）是彼此独立的，而独立的噪声是以功率相加的，所以相加后输出噪声功率仅增加n倍。综合起来，输出的信噪比提高了n=2TeqWy倍。（信噪比的定义）

从信息论的角度来看，n=2TeqWy个样点代表了所利用的信息的数量。利用的数量愈多，系统性能可望改善的程度也就愈大。 从脉冲响应来说，积分时间Ti大，意味着电路的时间常数大，快速变化的噪声在输出端得不到显著的响应，因而被平滑了。此外，Wy越大，噪声中快速变化的成分越多，平滑效果相对地越好。 从频率特性来看，积分时间Ti愈大，意味着积分器作为低通滤波器的通频带愈窄，愈能滤去不需要的起伏干扰。而在相同的通频带情况下，谱宽Wy

越大，则噪声谱中落在通带外的成分所占的百分比就越大，低通滤波的相对效果就越显著。2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析2.平方检波器输出信噪比的计算 在图2-6中，平方检波器输出端y处与输入端xH

点处的信 噪比定义为

（2.2.19）（2.2.20） 平方检波器的输出特性是y=f(x)=x2。按照定义，有（2.2.21a）

（2.2.21b）2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析

（2.2.21c）其中，ρxH

(τ)为xH(t)的自相关系数。 在式（2.2.21c）中，令τ=0，并利用ρxH

(0)=1，则有（2.2.22） 将式（2.2.21a）和（2.2.22）代入式（2.2.19），并利用式（2.2.20），得（2.2.23） 上式表明，平方检波器的输出信噪比与输入信噪比的平方成比例。2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析

当输入信噪比很小，例如，(S/N)

xH

=1/10，输出信噪比将只有1/100。这种现象称为小信号抑制效应,这是平方检波器的特征。

下面计算线性阵平方检波系统的等效谱宽Wy。根据式（2.2.21a），（2.2.21c）和（2.2.22），y(t)的自相关系数可以表示为

在图2-6中，xH(t)点正好是预选滤波器的输出端。若以ρf(τ)表示预选滤波器输出噪声的自相关系数，那末，在H0情况下y(t)的自相关系数为2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析将它代入输入噪声过程的等效谱宽Wy

定义（2.2.15），得（2.2.24）

见最佳预选滤波器表达式(2.2.10)

。当S(ω)=kN(ω)，

k为常数，最佳预选滤波器是一预白化（whitening）滤波器。噪声通过该滤波器后，将变为限带白谱，如图2-11所示。

ω图2-11最佳预选滤波器输出噪声功率谱[Sf(ω)]0σf

2/2WH02πWH0Oω0-ω02/1/2023第二章典型检测系统的理论分析 下面要证明，式（2.2.24）中的Wy

正好是预选滤波器输出噪声的谱宽

WH0。

证明预选滤波器输出噪声（H0情况）的功率谱可表示为该输出噪声的自相关系数与相关函数有如下关系（注意零均值条件）： 利用傅立叶积分理论中的帕塞瓦（Parseval）公式，可算出2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析3.线性阵加预选滤波器的输出信噪比的计算

考虑图2-12所示的线性阵加预选滤波器。为了得到预选滤波器的输出信噪比

(S/N)xH

与输入过程信噪比

(S/N)x

之间的关系，首先应求出(S/N)v

与

(S/N)x

的关系，然后再求出(S/N)xH

与(S/N)v

的关系。它们分别定义为x1(t)xM(t)图2-12

线性阵加预选滤波器v(t)xH(t)…∑H(ω)2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析式中v(t)是各个传感器输入信号相加的结果：

在H1情况下，由于信号与噪声独立，各路噪声独立且噪声功率相等，故v(t)的方差为

在H0情况下，s(t)=0，故有于是，有（2.2.25）

2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析

记v(t)中信号的功率谱为S(ω)，噪声功率谱为N(ω)，于是，(S/N)v

和(S/N)xH

的可分别表示为

如果S(ω)=kN(ω)，将这一关系代入以上二式，就有：(S/N)v

=(S/N)xH

换言之，谱形状相同的信号和噪声通过同一滤波器，其信噪比保持不变。综合以上结果，最后得到线性阵加预选滤波器的输出信噪比为（2.2.26）2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析2.3

最佳预选滤波器和匹配滤波器的作用

前面证明了信号和噪声具有相同的谱形状的情况下，预选滤波器的处理增益为1。为何还要采用预选滤波器呢？2.3.1预白滤波器

将 S(ω)=k·N(ω)（k为常数），将它代入预选滤波器的幅频特性表达式就可得到白化（Whitening）滤波器的表达式：

(2.3.1)

式中略去了无关紧要的常数项。2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析 当噪声经过白化滤波器后，功率谱变为常数1，成为“白谱”；当信号通过白化滤波器后，功率谱变为S(ω)/N(ω)，其输出信噪比保持不变。

现要证明：白化滤波器可以提高预选滤波器的等效噪声谱宽，从而提高整个检测系统的处理增益。 参照式（2.2.24），线性阵平方检波系统的等效谱宽Wy可表示为其中ρf(τ)表示预选滤波器输出噪声的自相关系数（为了简化，这里略去下标H0）。已知2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析 利用傅立叶变换理论中的Parseval公式，可以得到 归一化功率谱Sf

(ω)/σf

2应取什么形状，才能使平方检波系统的等效谱宽Wy为最大？根据Wy的定义可知，要使Wy为最大，必须使上式右边的积分值为最小。这相当于解下面的极值问题：在噪声功率

保持常数的约束条件下，求使积分2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析为最小的函数形式Sf

(ω)。 因σf

2为常数，将它乘以常数“-k”再加到I上，不会改变其极值的大小，故上述问题可转化为求下式的极值问题：对上式取变分，并令δI=0，得

因对任意变化量δSf

(ω)上式均成立，故[2Sf

(ω)-k]=0。于是，Sf

(ω)的极小值为(2.3.2)2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析

可见，在H0情况下，当最佳预选滤波器的输出是一白谱过程（即最佳预选滤波器是一预白网络）时，Wy

取得极大值。其中，常数k/2可由约束条件给定。通常要求滤波器输出过程的功率谱Sf

(ω)是限带的，只在（-2πW，2πW）范围内有非零值，因此相应的约束条件变成由此得出k=σ

f

2/W。

在H1情况下，当最佳预选滤波器的输出是S

(ω)/N(ω),后面还要接匹配网络，以提高信噪比。这时，虽然Wy

未达到最大值，但是，整个系统的输出信噪比2TWy·(S/N)y却达到了极大值。2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析2.3.2厄卡特（匹配）滤波器

当输入过程的功率谱不是白谱时，则可资利用的信息不仅有能量的差异，而且还有谱形状的差异。在图2-6似然比检测系统中，谱形状信息的利用体现在预选滤波器H(ω)的幅频特性上：对于小输入信噪比，上式可简化为(2.3.3)上式所描述的滤波器称为厄卡特（Eckart）滤波器，或匹配滤波器。2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析

将厄卡特滤波器的幅频特性|

H(ω)|分解为成这两个因子的两种基本作用如图2-13所示：

1/N1/2(ω)

对噪声起预白化作用；S1/2(ω)/N1/2(ω)

对经过预白处理后的信号进行匹配。在任何频率点，只要经过预白处理后的信号功率谱取较大的值，匹配网络也相应地有较大的功率传递系数。S(ω)1S(ω)/N(ω)N(ω)匹配预白图2-13

最佳预选滤波器的两种基本作用S2(ω)/N2(ω)S(ω)/N(ω)2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析

匹配网络的传递特性是用来突出那些信噪比较大的频率成分，而抑制信噪比较小的频率成分，这无疑能提高预选滤波器的输出信噪比。

证明

考虑图2-14，设h0(t)是滤波器的单位脉冲响应，滤波器的输入信号为

不妨设s(t)是已知信号，其功率谱为S(ω)；n(t)为零均值的平稳噪声，它的功率谱为N(ω)。

要证明滤波器的功率传递函数等于S(ω)/N2(ω)，也即滤波器的幅频特性可用式(2.3.3)表示时，滤波器的输出信噪比最大。 由图2-14可知，滤波器的输出为y0(t)n(t)x(t)s(t)h0(t)图2-14线性滤波器的输入-输出2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析（1）式中分别表示滤波器输出中的信号成分和噪声成分。在t=Tc

时刻滤波器输出信噪比定义为（2）2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析 应用卷积定理和傅立叶反演公式，则滤波器输出的信号成分可改写成(3)式中，H0(ω)和s(ω)分别是h0(t)和s(t)的傅立叶变换。于是，s0(t)在Tc

时瞬时功率为(4)

令N(ω)为加性噪声n(t)的功率谱密度，则滤波器输出的噪声功率谱密度为2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析因此，输出噪声的平均功率可以写成（5） 将式（4）和（5）代入输出信噪比定义式（2）后，有（6）利用Cauchy-Schwarz不等式，并令

S(ω)=|s(ω)|2=s(ω)·s*(ω)2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析上式等号成立时，滤波器的输出信噪比达到最大值。

若将输出信噪比达到最大值的滤波器，定义为匹配滤波器，记为Hopt

(ω)，则由Cauchy-Schwarz不等式取等号的条件知（参见式6）于是，匹配滤波器的频率传递函数为2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析(2.3.4)

上式两边取共轭后，再与自身相乘，就有(2.3.5)

比较式(2.3.3)和(2.3.5)可知，厄卡特滤波器就是使输出信噪比达到最大值(2.3.6)的匹配滤波器。从输出信噪比最大化的意义上讲，匹配滤波器也称为最优线性滤波器。 以上分析表明，当信号与噪声具有相同的功率谱形状时2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析最佳预选滤波器就是起着增大等效谱宽

WH

作用的预白网络；当信号与噪声功率谱形状不同时，预选滤波器（等价于匹配滤波器）具有增大其输出信噪比的作用。这样，整个系统的输出信噪比达到了最大。2.3.3匹配滤波器的性质

性质1

在所有的线性滤波器中，匹配滤波器的输出信噪比最大。 若原信号的单边带功率谱密度为Gs(ω)，噪声的单边带平均功率等于N0

时，则由式(2.3.6)可知匹配滤波器的最大输出信噪比为其中，σs2是零均值信号的平均功率。2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析

性质2

如果

Tc

等于原信号的持续时间，则匹配滤波器输出信号在Tc

时刻的瞬时功率达到最大。 详细证明过程留给读者完成。

性质3

匹配滤波器对波形相同而幅值不同的时延信号具有适应性。

证明

设s1(t)是与原信号s(t)波形相同而幅值不同的时延信号，且时延为τ，则 对上式取傅立叶变换，得到 因此，对于s1(t)信号而言，使输出信噪比在Tc时刻达到最大的匹配滤波器H1(ω)为2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析式中，H(ω)是T时刻针对原信号s(t)的匹配滤波器，N(ω)是加性噪声的功率谱。 由上式可见，当Tc=T+τ时，就有H1(ω)=AH(ω)，二者之间只相差一个尺度因子A。

性质4

匹配滤波器对频移信号不具有适应性。 对原信号匹配的滤波器，其选频特性是固定的，故对频移信号就不再匹配了。

例2-1

已知信号是一单频过程：加性噪声为有色噪声，其功率谱为2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析求使输出信噪比达到最大的线性滤波器的频率传递函数。

解令ωc=2πfc，则信号的频谱可写成故有 上式利用了δ函数的性质，δ(x)=δ(-x)。于是，由式(2.3.4)可得2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析其单位脉冲响应函数为2.3.4匹配滤波器的实现

分两种情况简单讨论匹配滤波器的物理实现问题。2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析

（1）白噪声情况当加性噪声n(t)是零均值的白噪声，不妨设N(ω)=1，故式(2.3.4)简化为(2.3.7)

若已知信号s(t)的频率结构s(ω)，直接利用式(2.3.7)的逆傅立叶变换即可确定匹配滤波器的单位脉冲响应h0(t)，即

(2.3.8)

可见h0(t)

是原信号s(t)的镜像信号。由于s(t)是实测信号，故h0(t)是物理可实现的。通常，只能估计出原信号的功率谱密度为S(ω)，因而，需要从功率谱

S(ω)中分离出信号的频谱表达式s(ω)。2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析

（2）有色噪声情况将式(2.3.4)改写成(2.3.9)

显然s(t)[s(ω)]是应用白化滤波器1/√N(ω)对原信号s(t)的滤波结果，由式(2.3.7)可知，

H0(ω)=s*(ω)exp(-jωTc)是白噪声情况下的匹配滤波器。因此，有色噪声情况下使信噪比最大的线性滤波器Hopt(ω)

是由白化滤波器1/√N(ω)和白噪声情况下的匹配滤波器

H0(ω)

串联而成的。通常，称为广义匹配滤波器。2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析

对于有色信号n(t)，也往往只知道噪声的功率谱N(ω)。为了设计白化滤波器1/√N(ω)，也需要分解噪声的功率谱，以便得到噪声的频谱n(ω)=√N(ω)。由功率谱获得频谱的因式分解，简称谱分解。 考虑任一平稳过程x(t)，其傅立叶变换为X(ω)。它的功率谱Px(ω)=|X(ω)|2是非负的、实偶函数，即Px(ω)=

Px*(ω)由此可知，Px(ω)的零、极点必定是共轭成对出现。因此，Px(ω)总可以分解成有理分式函数(2.3.10)2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析式中，αi

和βl分别为功率谱Px(ω)的零、极点。通常，约定Px(ω)没有相同的零、极点，且有m≤n；k为Px(ω)的前置系数。 将

Px(ω)在jω

轴左半平面的零、极点组成的因式记为Px+(ω)；而右半平面的零、极点组成的因式记为Px-(ω)。并将Px(ω)在jω轴上的零、极点对半分给Px+(ω)和Px-(ω)。这样，Px(ω)就可因式分解为(2.3.11)

为了使匹配滤波器是物理可实现的，只要取

(2.3.12)

将它代入式(2.3.7)就可得到白噪声情况下的物理可实现匹配滤波器。2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析

类似地，选择(2.3.13)将上式代入式(2.3.9)，即得到有色噪声情况下的物理可实现匹配滤波器。 用MATLAB函数[r,p,k]=residue(num,den)很容易实现上式谱分解。注意：请用s

代替ω。 例2-2

试用Matlab/Simulink

仿真两组不相关的、限时限带的高斯过程{s(t)}和{w(t)}，并要求分别计算{s(t)}和{w(t)}的功率谱密度。2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析

解

首先打开Matlab/Simulink

软件平台，建立如图2-14所示的仿真框图，并双击各功能方快图，在弹出的表格上填入相应的参数。

（1）为了产生两组不同的高斯数据{s(t)}和{w(t)}，在每次仿真前应双击RandomSource（Simulink/DSPSources）方快图，在表格中的Initialseed一栏应填入不同数据（比如0和1）；选择Inheritoutputportattributes。为获得限时信号，可对高斯信号加窗。图2-14限时限带的高斯过程的仿真框图2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析 双击PulseGenerator（Simulink/Sources），在弹出的表格的Period(secs)一栏填入信号的持续时间T（比如，T=1.28secs

），在Pulsewidth(%)一栏填入100。这样，高斯数据与矩形窗函数相乘（Simulink/Math/Production）后,就得到限时信号。

（2）由互谱密度与互相关函数的关系可知，当{s(t)}与{w(t)}各自通过频带不重叠的滤波器后，它们是不相关的（参见1.3.1节中分离系统）。故在仿真{s(t)}或{w(t)}前，应双击Filter(Simulink/DSPFiltering)方快图，在弹出表格中应填入不同频带参数，使二者的频带不重叠。 也可以用习题1-6中正交变换方法产生一组正交数据（x服从高斯分布）。这个问题留给读者作为课外习题。2/1/2023第二章典型检测系统的理论分析 （3）双击仿真框图中的Scope方快图，在“示波器”的工具栏上单击Parameters，在General标签下选择满足采样定理的采样周期Ts（Ts=0.005）；在Datahistory标签下,选择Limitdatapointstolast:256(T/Ts)；选择SaveDatatoWorkspace。最后，在（Format）栏中填入Structurewithtime，在存取变量名(Varia