第2章 计算方法插值与拟合

第2章插值与拟合2.1插值问题2.2拉格朗日插值多项式2.3差商与牛顿插值多项式2.4差分与等距节点插值公式2.5分段低次插值2.6曲线拟合的最小二乘法

实际问题中常常需求函数的函数值、导数值、零点、极值或积分值。但往往不知道其确切表达式，或表达式很复杂，只是知道它在某些点处的函数值与导数值。因此，要寻求某种方法来确定这类函数的近似表达式。本章介绍两种方法（插值与拟合）求其近似式：2.1插值问题2.1.1插值问题的基本概念

设函数在区间[a,b]上有定义，在该区间上有n＋1个互异点，其函数值已知，记为：如果选简单函数

作为的近似表达式，并要求满足以下条件：这样的函数近似问题就称为插值问题。（2-1）式称为插值条件，满足插值条件（2-1）的近似函数称为插值函数，而

称为被插值函数，互异点称为插值节点（简称节点），而x称为插值点，区间[a,b]称为插值区间。x0x1xn在众多函数中，多项式最简单、最易计算。选取多项式为插值函数的插值问题为多项式插值问题，是本章的主要讨论内容。2.1.2插值多项式的存在唯一性

在n＋1个节点上满足插值条件（2-1）的不高于n次的多项式称为插值多项式。

这样的多项式是否存在且唯一呢？证明：

如果(2-2)式的n＋1个系数可以被唯一确定，则该多项式也就存在且唯一。根据插值条件(2-1)，(2-2)中的系数应满足以下n＋1阶线性方程组（2-4）

由克莱姆法则可知方程组（2-3）有唯一的一组解，即插值多项式（2-2）存在且唯一。定理2-1:

在n＋1个互异点

xi上满足条件的次数不高于n次的插值多项式存在且唯一。2.1.3插值余项插值多项式只是的近似值，其误差叫做插值多项式的余项或截断误差，记作：记为包含的最小闭区间，I

为包含于中的最大开区间，又记：定理2-2

设函数在区间I上具有n+1阶连续导数，是互异节点，则插值多项式（2-2）的余项为：证明:

当x为某个节点时定理显然成立。设x异于所有的节点，构造辅助函数：

显然，根据罗尔定理：在n＋2个点之间存在n＋1个使得在这n＋1个点之间存在n个点，使得n个点处在这n个点之间存在n－1个点，使得依次类推，在这些点之间存在一点，使得即：

由公式(2-7)可见，如果在上有界，即存在常数M，使，则必有由此又可知，x

(插值点)邻近节点中某点时，插值多项式的误差很小；不邻近任一节点时，误差可能很大。2.2拉格朗日(Lagrange)插值多项式Lagrange插值多项式是一种在形式上不同于（2-2）的插值多项式，只要给出了n＋1个互异点及对应的函数值，便能直接写出这种形式的多项式。

如果在方程组（2-3）上加一个方程将n＋2个方程，n＋1个未知量。根据非齐次线性方程组有解的充要条件，必有按照最后一列展开，并利用（2-4）列出的范德蒙行列式的计算公式，整理得到的表达形式：其中（2-10）叫作拉格朗日插值多项式的插值基函数，满足：由此不难看出（2-11）改写2-9式两边取对数求导特例：n=1时，根据式（2-9）和（2-10）得出就是通过两点（x0,y0）,(x1,y1)的直线方程，与直线的二点式一致。x0x1n＝2时，x0x1x2它们的局部截断误差，据公式（2-7），分别为：

例题已知特殊角，，的正弦函数分别为，求近似值，并估计截断误差。

解角化为弧度，分别为。按拉格朗日插值一次式（2-12），取为节点，得误差取为节点，得误差取为节点，按拉格朗日插值二次式（2-13），得误差

注意真值为0.7660444

，上述3个近似值的真正误差分别为0.010,0.0059,0.0006,与估计误差界相差不大。前两个近似值是按线性插值公式计算的,误差不同是因节点取法不同。前者插值点在节点之外，计算插值多项式值称外插或外推，一般误差较大。后者插值点在节点之间，计算插值多项式称内插，一般误差较小。

第三个近似值用到三个节点，充分利用了已知信息，通常误差更小。

2.3差商与Newton插值多项式2.3.1差商及其性质定义仍然讨论给定n+1个插值节点节点上的函数值称为关于节点的一阶差商。为关于节点的二阶差商。k阶差商：差商的性质:1.k阶差商可表示为函数值的线性组合，即2.差商与节点的排列次序无关。3.若f(x)在[a,b]上存在n阶导数，且节点则n阶差商与导数的关系如下，性质1证明：用数学归纳法。当k＝1时，根据差商定义：对于k＝1，（2-17）式成立。设k＝n-1时，（2-17）式也成立，即由定义，即推出k＝n时也成立，因此性质1得证。一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商2.3.2Newton插值公式计算差商可按下表进行：

记：注意：由于满足插值条件的插值多项式是唯一的，所以余项相同，从而，性质3得证。例题：用Newton插值公式求f(x)过三个点(0,1)，(-1,5)和(2,-1)的二次插值多项式N2(x)，并计算N2(1.5)。解：一阶差商二阶差商三阶差商-10251-1-4-112.4差分与等距节点插值公式2.4.1差分及其性质设函数y=f(x)在节点上的函数值为已知。其中h为常数，称为步长。

定义称函数在上的变化为在上以h为步长的一阶向前差分。记作同理，为在上以h为步长的一阶向后差分。利用一阶差分可以定义二阶及二阶以上的高阶差分。

差分的性质（1）各阶差分均可用函数值来表示其中，（2）差分与差商有如下关系（3）向前差分与向后差分的关系（2-23）（2-24）（2-25）（2-26）（4）差分与导数的关系2.4.2等距节点Newton插值公式

考虑Newton插值公式（2-21），由于节点为等距节点，假设要计算x0附近某点的值，令，显然，则得：将（2-24）和（2-28）代入Newton多项式，得到

（2-27）（2-28）（2-29）称为Newton前插公式，插值余项为：

（2-30）反之，若要求附近某点的值，先将Newton插值多项式按次序改写为

令，显然，由（2-25）得

称为Newton后插公式，插值余项为：

（2-32）（2-31）例题：已知等距节点及相应点上的函数值如下：i0123xi0.40.60.81.0yi1.51.82.22.8试求N3(0.5),N3(0.9)。解：先构造向前差分表，ixiyi00.41.50.30.10.110.61.80.40.220.82.20.631.02.8由题意，x0＝0.4，h＝0.2；当x＝0.5时，t＝（0.5-0.4）/0.2＝0.5，因此代入牛顿前插公式（2-32）得：

ixiyi00.41.50.30.10.110.61.80.40.220.82.20.631.02.8当x＝0.9时，t＝（1-0.9）/0.2＝0.5，因此代入牛顿后差公式，得：

2.5

分段低次插值

2.5.1高次插值多项式的缺陷插值多项式次数越高，利用被插函数节点信息越多，理应误差越小。由公式（2-7）可见，截断误差与有关，其绝对值不一定随次数增加而减小。龙格（Runge）就给出了一个例子：取等矩节点，作拉格朗日插值多项式。当时，函数及插值多项式的图形如2-1所示。由图可见，在区间[-0.2，0.2]上比较接近,但在区间[-1，1]两端则误差很大。当增大时，部分区间上插值多项式截断误差偏大的现象更重。这种现象称龙格现象。-11x0.51.01.5y0图2-1

龙格现象随插值多项式次数的提高，计算误差的影响也会增大。设函数值有误差变为，误差限为。则拉格朗日插值多项式的计算值也会有误差，而且很可能接近误差限。当n

很大时的误差就可能很大。这就是说，当很大时，数据的误差可能对插值多项式计算结果带来很大误差。即当增大时，拉格朗日插值法不稳定。为避免龙格现象和不稳定，通常限定，不采用高次插值多项式。2.5.2分段低次插值法(线性插值、二次插值)

为了得出的较好近似式，通常采用分段低次插值法——即把插值区间分成若干小区间，在每个小区间采用低次插值多项式。例如，设则节点把分成个小区间。当插值点在第个小区间上时，采用一次插值公式这实质上用分段线性函数近似表示被插函数，称为分段线性插值法。几何上，这表示用通过曲线个点的折线，去近似替代曲线。其截断误差设在上为常数，注意在上则可知，这表明，只要小区间长度充分小，便可保证充分靠近，即时分段线性插值函数收敛于被插函数。分段二次插值区间[a,b]分为若干子区间，每个子区间[xj-1,xj+1]上,j=1,2,n-1，用抛物线近似因此，在整个插值区间上，有2.6

曲线拟合的最小二乘法2.6.1函数逼近定义：对函数类A中给定的函数，要求在另一类较简单的便于计算的函数类B中，求函数使与在某种度量意义下达最小。（1）一致（均匀）逼近（2）均方（平方）逼近

2.6.2曲线拟合的最小二乘法

欲建立x,y之间的函数关系，可以用插值法实现。但由于这些数据往往是由实验得到的，会带有误差，而插值法要求经过这些点，就会将误差带入函数关系中；另外，这样的数据往往较多，就会使所求的插值多项式的次数较高，次数越高越会影响逼近效果。曲线拟合最小二乘法是用简单的函数逼近一组已知数据（xi,yi），不要求过每个点，只要求误差的平方和最小，即：图2-2最小二乘法拟合数据(xi,yi)，i＝0，1，…，n。用直线拟合最为简单利用（2-60），确定a0，a1。即：根据二元函数极值的必要条件：，