山东省聊城市古官屯乡中学高二数学理期末试题含解析

山东省聊城市古官屯乡中学高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.命题“若一个正数，则它的平方是正数”的逆命题是（）．A．“若一个数是正数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是正数”C．“若一个数不是正数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是正数”参考答案：B逆命题为条件、结论互换，选．2.若双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是（

）(A)

(B)

(C)2

(D)参考答案：D3.定义在R上的函数，满足，，若，且，则有（

）A.B.C.D.不确定参考答案：B4.执行如图所示的程序框图所表达的算法，输出的结果为（

）Ａ．2

Ｂ．1

Ｃ．

Ｄ．参考答案：D略5.已知与的线性回归方程为，则变量增加一个单位时，下列说法正确的是（

）A．平均增加1.5个单位

B．平均增加2个单位C．平均减少2个单位

D．平均减小1.5个单位参考答案：D6.平行线3x+4y﹣9=0和6x+8y+2=0的距离是（）A． B．2 C． D．参考答案：B【考点】两条平行直线间的距离．【分析】先将两平行直线的方程的系数统一，再代入平行线间的距离公式计算即可．【解答】解：两平行直线的距离d===2．故选B7.(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B8.已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A、B，过A、B分别作抛物线的两条切线，若直线交于点M，则点M所在的直线为（

）A．

B.

C．

D.参考答案：C略9.已知一个三棱锥的主视图与俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图面积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略10.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是

（）A．若,则 B．若,,,则C．若,则 D．若,则参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，若f（x）为奇函数，则a=．参考答案：【考点】函数奇偶性的性质．【分析】因为f（x）为奇函数，而在x=0时，f（x）有意义，利用f（0）=0建立方程，求出参数a的值．【解答】解：函数．若f（x）为奇函数，则f（0）=0，即，a=．故答案为12.(坐标系与参数方程)直线被曲线(为参数)所截得的弦长为_________.参考答案：略13.若函数f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极大值，且对于任意x∈[5，8]，f（x）﹣m≤0恒成立，则实数m的取值范围为．参考答案：[32，+∞）【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，计算f′（2）的值，求出c的值，从而求出f（x）在[5，8]的单调性，得到函数的最大值，求出m的范围即可．【解答】解：f（x）=x3﹣2cx2+c2x，f′（x）=3x2﹣4cx+c2，f′（2）=0?c=2或c=6；若c=2，f′（x）=3x2﹣8x+4，令f′（x）＞0?x＜或x＞2，f′（x）＜0?＜x＜2，故函数在（﹣∞，）及（2，+∞）上单调递增，在（，2）上单调递减，∴x=2是极小值点．故c=2不合题意，故c=6，对于任意x∈[5，8]，f（x）﹣m≤0恒成立，即m≥f（x）max，x∈[5，8]，而f（x）=x（x﹣6）2，f′（x）=3x2﹣24x+36=3（x﹣2）（x﹣6），令f′（x）＞0，解得：x＞6或x＜2，令f′（x）＜0，解得：2＜x＜6，故f（x）在[5，6）递减，在（6，8]递增，f（x）的最大值是f（5）或f（8），而f（5）=5，f（8）=32，故m≥32，故答案为：[32，+∞）．14.已知直线l:+=1,M是直线l上的一个动点,过点M作x轴和y轴的垂线,垂足分别为A,B,点P是线段AB的靠近点A的一个三等分点,点P的轨迹方程为________________.参考答案：3x+8y-8=015.已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)·(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________.参考答案：1+2i16.已知等比数列{an}中，a1＋a2=9，a1·a2·a3=27，则{an}的前n项和Sn=________.参考答案：解：等比数列{an}中，由a1·a2·a3=27，得a2=3，又a1＋a2=9，所以a1=6，公比，所以.17.已知圆，圆心为，点，为圆上任意一点，的垂直平分线交于点，则点的轨迹方程为____________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点。（1）求证：AB1⊥面A1BD；（2）求二面角A－A1D－B的余弦值；（3）求点C到平面A1BD的距离；参考答案：（1）见解析;（2）;（3）（1）取中点，连结．为正三角形，．在正三棱柱中，平面平面，平面．取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，

，，．，，，．平面．………………4分（2）设平面的法向量为．，．，，令得为平面的一个法向量．由（Ⅰ）知平面，

为平面的法向量．，．二面角的余弦值为．………………9分（3）由（Ⅱ），为平面法向量，． 点到平面的距离．………………12分

19.某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，从中任选3人参加学校的义务劳动。（1）设所选3人中女生人数为X，求X的分布列；（2）求男生甲和女生乙至少有一人被选中的概率；（3）设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P（A）和P（B︱A）。

参考答案：（1）X=0、1、2、3………1分X012P………4分（2）P=1-

………8分（3）P(A)=

,

P(AB)=,

P(B∣A)=………12分略20.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，为中点．（Ⅰ）证明：平面．（Ⅱ）证明：平面．参考答案：见解析（Ⅰ）∵在矩形中，，平面，平面，∴平面．（Ⅱ）在等腰中，为中点，∴，∴平面，∴，∵在矩形中，，点，∴平面，∴．综上，，，、平面，点，∴平面．21.定义g（x）=f（x）﹣x的零点x0为f（x）的不动点，已知函数f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣1（a≠0）．（1）当a=1，b=﹣2时，求函数的不动点；（2）对于任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围；（3）若函数g（x）只有一个零点且b＞1，求实数a的最小值．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；52：函数零点的判定定理．【分析】（1）代入求出f（x）的表达式，根据零点的概念求出不动点；（2）把动点问题转化为二次函数有解恒成立问题，求解即可；（3）动点问题转化为二次函数有一解得出4a=，利用分离参数法得出4a==（b﹣1）++2，由均值不等式得出答案．【解答】解：（1）∵f（x）=x2﹣x﹣3函数f（x）的不动点为3，﹣1；…（2）对于任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，则对于任意实数b，f（x）﹣x=0恒有两个不等的实数根∴ax2+bx+b﹣1=0，△＞0恒成立，∴b2﹣4a（b﹣1）＞0，∴b2﹣4ab+4a＞0对任意实数b都成立，∴△=16a2﹣16a＜0，∴0＜a＜1…；（3）g（x）=ax2+bx+b﹣1，函数g（x）只有一个零点，b＞1则△=0，∴b2﹣4ab+4a=0，∴4a==（b﹣1）++2≥4，当且仅当b=2时等号成立，∵a≥1，a的最小值为1．…22.已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax．（1）当a=2时，求函数f（x）的极值；（2）若对任意的a∈（﹣3，﹣2），x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）求出函数的导数，求出函数f（x）的最大值，最小值，问题等价于对任意a∈（﹣3，﹣2），恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞1+2a﹣（2﹣a）ln3﹣﹣6a，即，求出m的范围即可．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）当，令f′（x）=﹣+4=0，得x1=；x2=﹣（舍去