一元二次方程的四种解法

一元二次方程的解法(1(1)元二次方程的概念一、考点、热点回顾1、一元二次方程必须同时满足的三个条件： 2、一元二次方程的一般形式：二、典型例题例1：判断下列方程是否为一元二次方程：①x2+x=1②x2=1③x2-2x+3y=0④x2一3二(x-1)(x-4)⑤ax2+bx+c=0 ⑥mx2=0(m是不为零常数)例2：一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.(ix2-10x—900=0 (2)5x2+10x一2.2=0(3)2x2-15=0 (4)x2+3x=0(5)(x+2)2=3 (6)(x+3)(x-3)=0例3：当m时，关于x的方程(m+2)x|m|+3mx+1=0是一元二次方程。三、课堂练习1、下列方程中，关于x的一元二次方程是()A.3(x+1)2=2(x+1)B.—+1-2=0x2yC.ax2+bx+c=0 D.x2+2x=x2-12、用换元法解方程(x2+x)2+(x2+x)=6时，如果设X2+x=y，那么原方程可变形为()A、y2+y-6=0 B、y2—y—6=0C、y2—y+6=0 D、y2+y+6=03、已知两数的积是12,这两数的平方和是25,以这两数为根的一元二次方程是4、已知关于x的一元二次方程x2-（k+1）x-6=0的一个根是2,求k的值.四、课后练习.将方程3x（x_1）=5（x+2）化成一元二次方程的一般形式，得；其中二次项系数是；一次项系数是；常数项是..方程（k-4）x2+5x+2k+3=0是一元二次方程，则k就满足的条件是:.已知m是方程X2-x-2=0的一个根，则代数式m2-m=.在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为xcm，则x满足的方程是（）（A）x2+130x-1400=0 （B）x2+65x-350=0（C）x2-130x-1400=0 （D）x2-65x-350=0.关于x的方程（m-3）x2+nx+m=0，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一次方程？（2）直接开方法一、考点、热点回顾1、了解形如X2=a（aN0）或（x+h）2=k（k三0）的一元二次方程的解法一一直接开平方法小结：如果一个一元二次方程具有（x+m）2=n（n>0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解。（用直接开平方法解一元二次方程就是将一元二次方程的左边化为一个完全平方式,右边化为常数,且要养成检验的习惯）【复习回顾】.方程(k-4)x2+5x+2k+3=0是一元二次方程，则k就满足的条件是:.若(a+1)X2+(x-1)2=0二次项的系数为-2,则a=二、典型例题例1：解下列方程：x2=2 (2)4x2—1=0例2、解下列方程：W(x+1)2=2 ⑵(x-1)2-4=0 ⑶12(3-x)2-3=0推荐例3：用直接开平方法解下列方程1(3x+1)2-15=0(2)(x-3>=4(2x+1〉(3)x2+2ax+a2-b=04三、课堂练习1：若方程(x-4)2=m-6可用直接开平方法解，则m的取值范围是()A.m>6 B.mNoC.mN6D.m=62：方程(1-x)2=2的根是()A.-1、3 B：1、-3C：1-x2、1+”D…2-1、Q+13：方程(3x—1)2=-5的解是。4：用直接开平方法解下列方程：(1)4x2=9； (2)(x+2)2=16(3)(2x-1)2=3; (4)3(2x+1)2=12四、课后练习1、4的平方根是，方程X2=4的解是.2、方程Q+11=1的根是，方程4(x+1>=1的根是.3、当x取时，代数式x2-5的值是2；若x2-相=0,则x=.4、关于x的方程3x2-k+1=0若能用直接开平方法来解，则k的取值范围是( )A、k>1B、k<1 C、kW1 D、kN15、解下列方程：(1)2x2-1=0 (2)(5x)-4=63 9(3)(X+J5)(-J5)=7 (4)2(6-X>-128=0(5)0.5y2-2=0 (6)(x+1、=4(x-2)6、已知一个等腰三角形的两边是方程4-(x-10)2=0的两根，求等腰三角形的面积(3)配方法一、考点、热点回顾1、经历探究将一元二次方程的一般式转化为(x+h)2=k(nN0)形式的过程，进一步理解配方法的意义；2、填空：(1)X2+6x+=(x+)2;(2)x2-2x+=(x-_)2；(3)x2-5x+=(x-_)2；(4)x2+x+=(x+)2；(5)x2+px+=(x+)2;3、将方程X2+2x-3=0化为(乂+坨2=卜的形式为；小结1：用配方法解一元二次方程的一般步骤：1、把常数项移到方程右边；2、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；3、利用直接开平方法解之。小结2：当一元二次方程二次项系数不为1时，用配方法解方程的步骤：①二次项系数化为1;②移项；③直接开平方法求解.二、典型例题例1:将下列各进行配方：⑴x2+10x+=(x+)2 ⑵x2—6x+=(x—)2⑶X2—5x+=(x-)2 ⑷x2+bx+ =(x+ )4 —2例2:解下列方程：(1)X2—4X+3=0 (2)X2+3X—1=0推荐例3：用配方法解下列关于X的方程：(1)(x+1)2-10(x+1)+9=0 (2)x2一6aX+9a2-4b2=0

例4：例1解方程：①2x2—5x+2=0 ②一3x2+4x+1=0例5、一个小球垂直向上抛的过程中，它离上抛点的距离h(m)与抛出后小球运动的时间t(s)有如下关系：h=241-5t2。经过多少秒后，小球离上抛点的高度是16m？推荐例6：求证：对任意实数X，代数式x2-4x+4.5的值恒大于零。三、课堂练习.完成下列配方过程：x2+8x+=(x+)2x2-x+=x2+8x+=(x+)2x2-x+=(x-)2x2+x2-+4=(x+)2+9=(x- )2- 4 .若x2-mx+"=(x+7)2，则m的值为().25 5A.75B.-A.75B.-75C14

.5D-14. 5.用配方法解下列方程：(1)x2-6x-16=0；(3)X(1)x2-6x-16=0；(3)X2+2%3x-4=0；4.已知直角三角形的三边(2)x2+3x-2=0；22

(4)x2-2x-2=0.3 3a、b、c，且两直角边a、b满足等式(a2+b2)2-2(a2+b2)-15=0，求斜边c的值。5.用配方法解方程2y2-血y=1时，方程的两边都应加上（）A.好B.52 4A.好B.52 4C.4D.-5166.a2+b2+2a-4b+5=(a+)2+(b-)27.用配方法解下列方程：(1)2x2+1=3x；(2)3y(1)2x2+1=3x；(4)2x2=3-7x.(3)3x2(4)2x2=3-7x.8.若4x2-（4m-1）x+m2+1是一个完全平方式，求m.四、课后练习1、用配方法解下列方程：（1）x2-6x-16=0 （2）x2+3x-2=0（3）x2+7=-6x （4）x2-1x--=04 52、把方程x2-3x+p=0配方，得到（x+m%=2.（1）求常数p与m的值；（2）求此方程的解。

3、用配方法解方程x2+px+q=0(p2-4q>0)4、用配方法解下列方程：X2X2+15=10X3x2-12x+3=0(3)4x2—12、2x—1=0(5)3x2(5)3x2＋2x—3=0(6)2x2-4x+5=02、你能用配方法求：当x为何值时，代数式-3x2+6x-5有最大值?(4)公式法一、考点、热点回顾1、把方程4-X2=3x化为ax2+bx+c=0(a=0)形式为,b2-4ac=.2、方程X2+x-1=0的根是。3、方程3x2+2=4x的判别式b2-4ac=,所以方程的根的情况是.4、一元二次方程X2-4x+4=0的根的情况是()A.有两个不等的实数根B.有两个相等的实数根D.不能确定C.D.不能确定总结：一元二次方程ax2+bx+c=0(a=0)的根的情况可由来判断:当b2-4ac>0时， 当b2-4ac=0时， 当b2-4ac<0时， 二、典型例题例1：解下列方程：⑴x2+3x+2=0; (2)2X2—7x=4变式：1、解方程：(1)2x(x+1)=3; (2)x2+1=—x(—2+5+x).例2：解下列方程：(1)x2+x—1=0; (2)x2—2v3x+3=0; (3)2x2—2x+1=0.例3：不解方程，判别下列方程根的情况.(1)2x2+3x+4=0； (2)2x2-5=6x；(3)4x(x-1)-3=0； (4)x2+5=2%：5x.

题变：1、试说明关于X的方程x2+(2k+1)x+k-1=0必定有两个不相等的实数根.推荐例4：当k为何值时，关于X的方程kx2—(2k+1)x+k+3=0有两个不相等的实数根？题变：1、已知一元二次方程(m-2)2X2+(2m+1)x+1=0有两个不相等的实数根，求的取值范围.三、随堂练习.把方程(2x-1)(x+3)=X2+1化为ax2+bx+c=0的形式，b2-4ac=，方程的根是..方程(x-1)(x-3)=2的根是()A.x1=1,x2=3 B.x=2±2.<3 C.x=2土.<3 D.x=-2±2-<3.关于x的一元二次方程X2+4x-m=0的一个根是<5-2,则m=，方程的另一个根是..若最简二次根式、:m2-7和v：8mTi是同类二次根式，则的值为()A.9或-1 B.-1 C.1 D.9.用公式法解下列方程：(1)x2-2x-8=0； (2)x2+2x-4=0；(3)(3)2x2-3x-2=0；(4)3x(3x-2)+1=0..方程（2x+1）（9x+8）=1的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.无实数根 D.不能确定.关于x的方程X2+2kkx+1=0有两个不相等的实数根，则k（）A.k>-1 B.kN-1C.k>1 D.kN0.要使关于x的方程kx2-4x+3=0有实数根，则k应满足的条件是 （）A.k<4/3 B.k>4/3 C.kW4/3 D.kN4/3.已知方程x2-mx+n=0有两个相等的实数根，那么符合条件的一组m,n的值可以是m=,n=..不解方程，判断下列方程根的情况：3汽2—x+1=3x(2)5(汽2+1)=7x(3)3汽2—4A3x=—4.解下列方程：x2+6x=0; (2)x2+12x+27=0(3)2y(3)2y2-y-5=0;(4)x2+6x-16=0四、课后练习.用公式法解方程、五X2+4x运x=2.J2，其中求的b2-4ac的值是（）A.16B.土4C..、瓦 D.64.用公式法解方程x2=-8x-15,其中b2-4ac=，方程的根是 ..用公式法解方程3x2+4=12x,下列代入公式正确的是（）A.x1.2=12±.<144-A.x1.2=12±.<144-12

2B.x1.2=-12±."44-12

2x1.2=12x1.2=12土<144+122x1.2_12土、：144—48.三角形两边长分别是3和5,第三边的长是方程3x2-10x-8=0的根，则此三角形是三角形..如果分式x2+x—2的值为零，那么x= :x—1.用公式法解下列方程：3y2-y-2=0 (2)2x2+1=3x(3)4x2(3)4x2-3x-1=x-2(4)3x(x-3)=2(x-1)(x+1).下列方程中，没有实数根的方程式()A.x2=9 B.4x2=3(4x-1)C.x(x+1)=1 D.2y2+6y+7=0.方程ax2+bx+c=0(a=0)有实数根，那么总成立的式子是()A.b2-4ac>0 B.b2-4ac<0C.b2-4acW0 D.b2-4acN09.如果方程9x2-(k+6)x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k=.因式分解法一、考点、热点回顾应用回顾：下列哪些方法能用因式分解法解(1)x2+2x=0(2)(x-3)2-(x—3)=0(3)x+1-2(x+1)2=11(4)x2-9=0

小结：因式分解法解一元二次方程的一般步骤：.将方程的右边化为0.将方程左边因式分解..把原来的一元二次方程转化为两个一元一次方程..分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.二、典型例题例1：用因式分解法解方程:（1）%2=—4x （2）x+3-x（x+3）=0例2：解方程（2x-1）2-x2=0三、随堂练习1.如果方程x2-3x+c=0有一个根为1,那么c=,该方程的另一根为该方程可化为（该方程可化为（x-1）（x）=02.2.方程X2=X的根为（）A.x=0B.x1A.x=0B.x1=0,x2=1C.x1=0,x2=-1 D.x1=0,x2=23.3.用因式分解法解下列方程：（1（1）（x+2）