2008-第二章.信号描述及其分析

本章学习要求：1.了解信号分类方法2.掌握傅里叶级数及周期信号的频谱3.掌握傅里叶变换及非周期信号的频谱4.了解数字信号的处理方法第二章信号描述及其分析

★

信号波形——被测信号幅度随时间的变化历程称为信号的波形。波形0At

★信号波形图——以被测物理量的强度为纵坐标，以时间为横坐标，记录被测物理量随时间的变化情况。★信号分析——是研究信号的构成和特征。

第一节信号及分类

信号有各种形式，可以从不同的角度对其分类。从不同角度观察信号，可分为确定性信号与非确定性信号

★信号处理——对信号进行必要的变换以获得所需信息的过程。

★信号分析和处理的基本方法——是将信号抽象为变量之间的函数关系,特别是时间函数或空间函数,从数学上加以分析研究。信号的频谱分析，是最重要的信号分析技术之一。

确定性信号——能用确定的数学关系式描述的信。

非确定性信号——不能用数学关系式描述的信号。1.周期信号

按一定时间间隔重复出现的信号。

x(t)=x(t+nT

)

（n=1，2，3，…)式中T—周期

例如，应用十分广泛的正弦信号，其表达式为

x(t)=x0sin(ω0t+φ0）式中，x0—幅值；ω0

—角频率；φ0

—初始相位角。

其周期T、频率f、角频率ω0之间的关系为

T=2π/ω0,f=1/T

余弦信号与正弦信号只是相位相差π/2，也可称为正弦信号。一、确定性信号（分为周期信号和非周期信号）

简单周期信号复杂周期信号

2.非周期信号——不具有周期重复性的信号。非周信号中包含准周期信号和瞬变非周期信号。

瞬变非周期信号——在一定时间区间内存在，或随着时间的增长而衰减至零。如x(t)=e-αt.Asin2πft准周期信号——由两种以上的周期信号合成，但各周期分量无公共周期。如：x(t)=sin2t+sin√3t二、随机信号（非确定性信号）噪声信号(平稳)统计特性变异噪声信号(非平稳)

不能准确预测未来瞬时值，也无法用数学关系式描述的信号。

三、

连续信号和离散信号

离散信号:独立变量的取值是离散的。采样信号连续信号:独立变量的取值是连续的。

根据确定性信号的数学表达式中独立变量（一般是时间变量t)的取值分连续和离散信号两类。特别注意：★

连续信号的幅值可以是连续的，也可以是离散的。★

模拟信号、采样信号、数字信号

若独立变量和幅值均取连续值，则称为模拟信号。若离散信号的幅值是连续的，则称为采样信号。若离散信号的幅值也是离散的，则称为数字信号。四、能量信号和功率信号

1.能量信号

一般持续时间有限的瞬态信号是能量信号。

在所分析的区间（-∞，∞），能量为有限值的信号称为能量信号，满足条件：一般持续时间无限的信号都属于功率信号:2.功率信号

在所分析的区间（-∞，∞），能量为无限值。此时，研究信号的平均功率更为合适。

信号的分类

随时间变化的物理量可抽象为以时间为自变量表达的函数，称为信号的时域描述。描述信号的自变量若是频率，则称为信号的频域描述。以频率作为自变量建立信号与频率的函数关系，称为频域分析或频谱分析。频谱分析主要方法之一是傅里叶变换。8563ASPECTRUMANALYZER9kHz-26.5GHz傅里叶变换x(t)=

sin2πnft0t0f第二节周期信号与离散频谱信号频谱x(f)代表了信号在不同频率分量成分的大小，能够提供比时域信号波形更直观，丰富的信息。

时域分析与频域分析的关系时间幅值频率时域分析频域分析

时域分析——只能反映信号的幅值随时间的变化情况，除单频率分量的简谐波外，很难明确揭示信号的频率组成和各频率分量大小。

图例：受噪声干扰的多频率成分信号

大型空气压缩机传动装置故障诊断时域和频域的对应关系131Hz147Hz165Hz175Hz频域参数对应于设备转速、固有频率等参数，物理意义更明确。1、傅里叶级数的三角函数展开式周期为T的函数，如果在[-T/2,T/2]上满足狄里克雷(Dirichlet)条件（即函数在[-T/2,T/2]上：①连续或只有有限个第一类间断点；②只有有限个极值点），就可展开为傅里叶级数，级数和的三角形式为

(2-6)一、傅里叶级数(FS—FourierSeries)与周期信号的频谱式中，ω0=2π/T为基波角频率，基波频率

f0=ω0/(2π)若周期函数无奇偶性，可将（2-6）式中的正弦项和余弦项合并，改写为其中（2-8）

★

结论：任何满足狄里赫利条件的周期信号，均可在一个周期内表示成一个常值分量和一系列正弦分量之和的形式。其中，n=1的那个正弦分量称为基波，相应的频率称为基频；当n=2,3,…时，依次称为二次、三次…谐波，相应的频率称为二次、三次…谐波频率。2、周期信号的频谱

幅频谱——以幅值An为纵坐标，频率ω=nω0为横坐标相频谱——以φn为纵坐标，频率ω=nω0为横坐标幅频谱、相频谱统称频谱。对信号进行变换，获得频谱的过程也就是对信号进行频谱分析的过程。解：由图可知，该周期信号为奇函数，因此在(2-6)式中an=0，a0

=0，即其中【例2-1】

求周期方波x（t）的频谱-T/2T/2-AX(t)该周期方波可写成其中

ω

=nω0n=1,3,5,…An

0

ω0

3ω0

5ω0

ω

4A/π周期方波的幅频图φn0

ω0

3ω0

5ω0

ω周期方波的相频图【例2-2】

求三角波的频谱，其一个周期的表达式为-T/20T/2tx(t)A解：周期信号的频谱具有以下特点：

(1)离散性频谱是离散的。

(2)谐波性频谱中的谱线只出现在基频的整数倍频率处，即各次谐波频率都是基频的整数倍。

(3)收敛性各次谐波分量随频率增加，其总的趋势是衰减的。因此，在实际频谱分析时，可根据精度需要决定所取谐波的次数。因x(t)

=x(-t)，x(t)是偶函数，则bn

=0，有信号的合成与分解——方波手机和弦铃声的合成二、傅里叶级数的复指数函数展开式.向量表示法三角函数表示法ImRer)φ欧拉公式指数表示法ImRexyr复数)φ根据欧拉公式，可得(2-10)(2-11)将式（2-10）和式（2-11）代入式（2-6），得令则式中因此(2-16)从上式可以看出Cn是一个复数，可表示为

其中★以|Cn|、φn为纵坐标,ω为横坐标作图，可得到复指数形式傅里叶级数展开式的幅频图和相频图。以CnI、CnR为纵坐标,ω为横坐标作图，可得到实频图和虚频图。

【例2-3】

求例2-1中周期信号的复指数形式的傅立叶级数展开式。解：将x(t)分为两个半周期代入式（2-16）得由于Cn是纯虚数，故所以，x(t)的复指数傅里叶展开式为其中对【例2-1】中方波信号频谱的分析与比较周期信号的频谱描述工具是傅立叶级数展开式，它的两种展开形式有以下联系：复指数形式的频谱为双边谱，三角函数形式的频谱为单边谱。两种频谱各谐波幅值的关系为双边幅频谱是ω的偶函数；双边相频谱为ω的奇函数。在工程应用中，常采用简明的单边谱。第三节傅里叶变换及非周期信号的频谱非周期信号包括准周期信号和瞬变非周期信号两种。下面主要讨论瞬变非周期信号的频谱。一、傅里叶变换（FT—FourierTransform）假设周期信号x(t)的周期为T，在（-T/2,T/2）区间进行傅里叶级数展开，得我们可以将非周期信号看成是周期无穷大的周期信号来着手分析。

★周期信号频谱谱线的间隔,当周期T趋向于无穷大时，其频率间隔趋于无穷小，谱线无限靠近，离散变量演变为连续变量,导致离散谱线的顶点演变为连续的曲线，求和符号就变为积分符号了。因此，非周期信号的频谱是连续的。

基于上述分析，

，由此得到

（2-21）这就是傅里叶积分。上式括号里面的积分，积分变量是时间t，积分结果是ω的函数，记作X(ω)，得到则以上两式也可以写为将ω=2πf

带入（2-21）中，可以得到以f为变量的一组傅立叶变换对，表达式如下

（2-24）在数学上，称为的傅立叶变换，称为的傅立叶逆变换，两者互称为傅立叶变换对。表示为简写为记作称为信号的连续幅值谱，为信号的连续相位谱。分别以、为纵坐标，以f为横坐标，便可得到信号的幅频图和相频图。一般是实变量的复函数，可写成

式中，T为时间宽度，称为窗宽。

【例2-4】求如图所示矩形窗函数（矩形脉冲函数）的频谱，该函数为W(t)

-T/20T/2t1

解:

由式（2-24）得利用欧拉公式将其形式改写为

函数：波形矩形窗函数的频谱是连续的、无限的，但幅值随着频率的增加而逐渐渐小。函数称为采样函数或插值函数。φ(f)π

-2/T-1/T01/T2/TfW(f)T

-2/T02/Tf频谱-3/T-1/T1/T3/T与周期信号相似，非周期信号也可以分解为许多不同频率分量的谐波之和。所不同的是，由于非周期信号的周期T→∞，基频f→df，它包含了从零到无穷大的所有频率分量，各频率分量的幅值为X(f)df，这是无穷小量，所以频谱不能再用幅值表示，而必须用幅值密度函数描述。x(t)

t

o

-T/2T/2

xT(t)

t

o

t

o

ω10ω2ω3ω与周期信号不同，非周期信号的谱线出现在0～fmax的各连续频率值上，这种频谱称为连续谱。实验：典型信号的频谱分析

点击图片进入小结：其中（2-8）1、傅里叶级数的三角函数展开式2、傅里叶级数的复指数函数展开式其中其中从上式可以看出Cn是一个复数，可表示为3、傅里叶变换将ω=2πf

带入（2-21）中，可以得到以f为变量的一组傅立叶变换对，表达式如下（2-24）二、傅里叶变换的性质及应用1、线性叠加性

X(f)

-1/T1/T0fAT

-1/f01/f00tX(t)Af0x(t)

-T/20T/2tAx(f)

-f0/20f0/2fA方波信号的对称关系2、对称性

若则其中a和b为常数

若x(t)为偶函数则若则3.

奇偶虚实性信号x(t)的傅里叶变换一般为复函数其中实部为虚部为1）若x(t)为实偶函数，则为实偶函数2）若x(t)为实奇函数，则为虚奇函数3）若x(t)为虚函数，则上述

结论中的虚实位置也相互交换4.

时间尺度改变特性若则

由此可见，若a>1，时域波形在时间轴上被压缩a倍，导致频域波形在频率轴上被扩展a倍；若a<1，时域波形在时间轴上被扩展1/a倍，导致频域波形在频率轴上被压缩1/a倍。

x(t)

-T/2

0T/2tAx(2t)

-T/4

0T/4tAx(t/2)T0TtAX(f)

-1/T1/TAT0f2X(2f)2AT0f-1/2T1/2T

0f1/2X(f/2)1/2(AT)-2/T

2/T

5、时延特性上式表明，信号沿时间轴前后移动，产生时移，则变换到频率域中，其频谱相应产生附加相移，而幅值谱保持不变。若

则6、频移特性上式表明，X(f)在频域中沿频率轴移动，则对应于x(t)在时域中产生一相移因子。反过来讲，函数乘以，可使整个频谱搬移到

f0

处。

若对时间积分，则

在频域中也存在类似的性质，即该性质也可推广到时域内求n阶导数的情况：7.微分和积分特性微分：同样可以证明频域卷积特性频域卷积特性又称为调制特性。8、时域卷积特性

卷积：两个函数的卷积定义为记为若则9、能量积分若则,

上式称为巴塞伐尔(Parseval)定理，也叫能量等式。它表明在时域中计算信号的总能量等于在频域中计算的信号总能量。由于反映了信号的能量，所以称为x（t）的能量谱密度，它决定信号沿频率轴能量密度的分布。三、典型信号的频谱1、单位脉冲信号（又称δ函数、狄拉克函数）

1）δ函数的定义在ε时间内激发一个矩形脉冲，其面积为1。当ε→0时，的极限就称为δ函数，记作

-ε/20ε/2t1/ε0tδ(t)1同理，对于有延时的δ函数，得

δ函数的采样性质是对连续信号进行离散采样的理论依据2）δ函数的性质

①

采样性质

δ函数有以下特点：

★

从函数值极限角度看★

从函数面积角度看

③δ信号的频谱

δ信号的频谱由傅里叶变换求出

②卷积性质如果函数x(t)与δ函数卷积，则是一种最简单的卷积运算。即

可见，函数与

卷积的结果就相当于将该函数的图象平移到函数的坐标位置上去。单位脉冲信号具有无限宽广的频谱，其幅值在所有频段上都是等强度的，常称为“均匀谱”。也称这种信号为理想的“白噪声”。其逆变换为根据傅里叶变换的性质，可得到如下傅里叶变换对:时域频域

该函数的傅里叶级数的复指数函数表达式为其中（2-49）2、周期单位脉冲序列（梳状函数）及其频谱周期单位脉冲序列的数学表达式为式中,TS—单位脉冲序列的周期1

-2Ts-Ts0Ts2Tst1/Ts

-2/Ts-1/Ts01/Ts2/Tsf….….….….

代入式（2-49）得根据时延特性有将其进行傅里叶变换得由欧拉公式，正、余弦函数可表示为3、正弦和余弦信号的频谱

根据傅里叶变换的频移特性可得正、余弦函数的傅里叶变换为第四节数字信号处理

一、模拟信号的离散化这一过程中涉及采样间隔与频率混淆、采样长度与频率分辨率、量化与量化误差、泄漏与窗函数等诸多方面。数字信号的优点：传输时的抗干扰能力强、易于存储和可以使用计算机处理等。模拟信号离散的数字信号（1）测试信号数字化处理的基本步骤

物理信号对象传感器电信号放大调制电信号A/D转换数字信号计算机显示D/A转换电信号控制物理信号（2）数字信号处理的优势优势1：用数学计算和计算机显示代替复杂的电路和机械结构优势2：计算机软硬件技术发展的有力推动a)多种多样的工业用计算机

b)灵活、方便的计算机虚拟仪器开发系统案例：铁路机车FSK信号检测与分析京广线计划提速到300公里/小时合作任务：机车状态信号识别(频率解调)采样——利用采样脉冲序列，从信号中抽取一系列离散值，使之成为采样信号x(nTs)的过程．编码——将经过量化的值变为二进制数字的过程。

量化——把采样信号经过舍入变为只有有限个有效数字的数，这一过程称为量化．（3）模数(A/D)和数模(D/A)

1）A/D转换

A/D转换器的技术指标

★模拟信号的输入范围

如，5V，+/-5V，10V，+/-10V等。

★分辨率

用输出二进制数码的位数表示。位数越多，量化误差越小，分辨力越高。常用有8位、10位、12位、16位等。

★转换速度

指完成一次转换所用的时间，如:1ms(1KHz)；10us(100kHz)2）D/A转换过程和原理

D/A转换器把数字信号转换为电压或电流信号。D/A转换器的技术指标★分辨率★转换速度

★模拟信号的输出范围1、采样与采样定理

1）采样——是指将连续的时域信号转变为离散的时间序列的过程。采样在理论上是将模拟信号与时间间隔为Ts的周期单位脉冲序列函数相乘。X(t)t×δT(t)0Tstx(0),x(1),x(2),……,x(n)

采样实质上是将模拟信号x(t)按一定的时间间隔Ts逐点取其瞬时值，使之成为离散信号。Ts称为采样间隔，fs

=1/Ts

称为采样频率。

2）采样定理

采样的关键问题是确定合理的采样间隔Ts。当采样长度T一定时，采样频率fs

越高，所获得的数字信号越逼近原信号。当然，fs

越高，数据量N=T/Ts

越大，所需的计算机存储量和计算量就越大；反之，当采样频率降低到一定程度，就会丢失或歪曲原来信号的信息。采样定理也称香农（Shannon）定理给出了带限信号不丢失信息的最低采样频率为fs≥2fc，式中fc为原信号中的最高频率，若不满足此采样定理，将会产生频率混叠现象。每周期应该有多少采样点？最少2点:t00f

3)频率混叠——是由于采样频率选取不当而出现高、低频率成分发生混淆的一种现象，如图所示。0t0fTs

-fs

fs0t0f

-fc

fc

解决频率混叠的办法是：

方法1：提高采样频率以满足采样定理，一般工程中取

fs

≥(3～4)fc。

方法2：用低通滤波器滤掉不必要的高频成分以防止频率混叠的产生，此时的低通滤波器也称为抗混叠滤波器A/D采样前的抗混迭滤波：

物理信号对象传感器电信号放大调制电信号A/D转换数字信号低通滤波放大FsFs频混频率混叠的处理：FsFs正常Fs/2工程处理

2、采样长度与频率分辨率当采样间隔一定时，采样长度越长，数据点数就越大。为了减少计算量，不宜过长。但是若过短，则不能反映信号的全貌，因为在作傅里叶分析时，频率分辨率Δf与采样长度成反比，即：。显然，需要综合考虑采样频率和采样长度的问题。一般在工程信号分析中，采样点数选取2的整数幂，使用较多的有512、1024、2048等。若分析频率取

则各档频率分辨率为例如，若fs=2560Hz；当N=1024时，Δf

=2.5Hz；当N=2048时，Δf

=1.25Hz。

3、量化及量化误差

量化——将采样信号的幅值经过四舍五入方法离散化的过程。若采样信号可能出现的最大值为A，令其分为B个间隔，则每个间隔Δx=A/B，Δx称为量化电平,每个量化电平对应一个二进制编码。当采样信号落在某一小区间内，经过四舍五入而变为离散值时，则产生量化误差，其最大值是±0.5Δx。量化误差的大小取决于A/D转换器的位数，其位数越高，量化电平越小，量化误差也越小。比如，若用8位的A/D转换器，8位二进制数为，则量化电平为所测信号最大幅值的1/256，最大量化误差为所测信号最大幅值的。

4、泄漏及窗函数

1）泄漏现象数字信号处理只能对有限长的信号进行分析运算，因此需要取合理的采样长度T对信号进行截断。T截断是在时域将该信号函数与一个窗函数相乘。相应地，在频域中则是两函数的傅里叶变换相卷积。因为窗函数的带宽是无限的，所以卷积后将使原带限频谱扩展开来而占据无限频带。

【例】设有余弦信号x(t),用矩形窗函数w(t)与其相乘，得到截断信号:y(t)=x(t)w(t)这种由于截断而造成的谱峰下降、频谱扩展的现象称为频谱泄漏。当截断后的信号再被采样，由于泄漏就会造成频谱混叠。因此泄漏是影响频谱分析精度的重要因素之一。

2）窗函数及其选用如果增大截断长度，即加大窗宽，则窗谱主瓣将变窄，主瓣以外的频率成分衰减较快，可减小频谱泄漏。但这样做将使数据量加大，且不可能无限增大窗宽。为此，可采用不同的时域窗函数来截断信号。分析表明，由于矩形窗函数的波形变化剧烈，因此其频谱中高频成分衰减慢，造成的频谱泄漏最为严重。若改用其他窗，由于它们频谱中高频成分衰减快，将使泄漏减小。加窗的作用除了减少泄漏以外，在某些场合，还可抑制噪声，提高频率分辨能力。x(t/2)T0TtA2X(2f)2AT0f-1/2T1/2T★理想窗函数的谱窗形状：

★工程测试中常用的窗函数

①矩形窗②三角窗

③汉宁窗（Hanning）

④海明(Hamming)窗

海明窗也是余弦窗的一种，又称改进的升余弦窗，其时间函数表达式为：

其窗谱为：