1静止电荷的电场

电磁学第三册电磁学电磁学是经典物理学的一个分支学科。主要研究电荷、电流产生电场、磁场的规律；电场、磁场对电荷、电流作用的规律；电场和磁场相互联系的规律；电路的导电规律；以及电磁场对物质的各种效应等。简介早期，磁学与电学是两门独立、平行的学科。两个重要的实验：电流的磁效应和变化的磁场的电效应。电磁学发展成为物理学中一个完整的分支学科。

◆发展历史

人类对电磁现象及其规律和本质的认识与探索经历了漫长的历史过程。麦克斯韦引入感生电场和位移电流的概念，建立了Maxswell方程组——经典电磁学的基本方程。

场的概念，电磁场是一种客观实在。一.静电场及基本性质二.恒定电流的规律三.磁场及基本性质四.电磁感应现象及规律五.Maxwell电磁场方程组内容：介绍宏观电磁场的基本规律和客观物体的电磁性质。第一章静止电荷的电场本章主要讲解静止电荷相互作用的规律。本章的基本要求掌握电场强度和电通量的概念。掌握库仑定律。掌握用点电荷场强公式及场强叠加原理求场强的方法。确切理解高斯定律，并掌握用高斯定律求场强的方法。§1.1电荷1.正负性电荷有两种，美国科学家富兰克林将其命名为"正电荷"与"负电荷"。电荷是实物的一种属性，它具有以下性质：一切电磁现象都起源于电荷的存在或电荷的运动。2.量子性实验证明，电子带有最小负电荷，其所带电量－基本电荷，其绝对值的国际通用值为★宏观带电体所带电荷种类的不同根源于组成它们的微观粒子所带电荷种类的不同。电子带负电荷质子带正电荷中子呈电中性★通过高能电子束散射实验测出的质子和中子内部的电荷分布图r/10-15mr/10-15m质子内电荷分布图中子内电荷分布图＋＋－物体所带电荷的多少(电量)的值以q

或Q

表示。★电荷的单位在国际单位制中，电荷的单位是C，称为库仑，简称库。实验证明，在自然界中，任何物体所带的电量都是e的整数倍，也就是说，并不是任何数值的电量都是可能的，或者说电量是不连续的——电荷的量子化★电荷数－－微观粒子所带的基本电荷数，用N

表示：强子的夸克模型具有分数电荷（或电子电荷）但实验上尚未直接证明。★点电荷模型带电体本身的线度<<所涉及的距离带电的点－点电荷：忽略其形状及电荷的分布状况注意：点电荷是一个相对的概念，依问题所要求的精度而定。与外界没有电荷的交换3.守恒性在一个孤立系统中总电荷量是不变的。即在任何时刻，系统中的正电荷与负电荷的代数和保持不变，这称为电荷守恒定律。从实际的物体中抽象出来的理想模型点电荷不一定是体积很小的带电体，只要它本身的几何线度与它到其他带电体的距离相比，是微不足道的，因而它的形状和大小可以不必考虑，可用一个具有带电体全部电荷的几何点来表示；这样，它在空间的位置也就便于确定。电学：点电荷力学：质点★电荷可以产生和消失一个高能光子一个重原子核一个正电子一个负电子电子对的产生一个正电子一个负电子两个或三个光子电子对的湮灭电荷的产生和消失并不改变系统中的电荷的代数和－－电荷守恒定律仍然保持有效4.相对论不变性电荷的电量与其运动状态无关，在不同的参考系内观察，同一带电粒子的电量不变——电荷的相对论不变性。实验证实：氢分子和氦原子都精确地是电中性的。★比较氢分子和氦原子的电中性实验＋＋－－氢分子结构示意图＋＋－－氦原子结构示意图§1.2

库仑定律与叠加原理静电学：研究静止电荷之间的相互作用的理论§1.2

库仑定律与叠加原理电荷q1

对

q2

的作用力：21er211.库仑定律是静电学的基础。（静电学－研究静止电荷之间的相互作用的理论）1785年，法国物理学家库仑发现：在真空中，相对于惯性参考系，两个静止的点电荷之间的相互作用力的方向沿着它们的连线，作用力的大小与电量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比。

式中k

为比例系数，真空中的电容率（介电常数）真空中库仑定律：静止电荷之间的相互作用力——库仑力令：q1

与q2

同号q1q2>0F21

沿er21

的方向，斥力q1

与q2

异号q1q2<0F21

沿er21

的反向，引力讨论：注意：由于自由空间是各向同性的，对于两个静止的点电荷而言，只有它们的连线才具有唯一确定的方向。库仑定律反映了自由空间的各向同性。er21r21F21q1q2er21r21F21q1q2F12F12(1)库仑定律适用于真空中的点电荷；(2)库仑力满足牛顿第三定律；(3)F电

>>F万（见书上例1.1）注意:

2.电力叠加原理有两个以上的电荷存在时，两点电荷间的作用力并不因其它电荷的存在而改变，所以总的作用力等于各个点电荷作用力的矢量和——电力叠加原理电荷q3

受的力：F1F2设F1、F2

、…、Fn

分别为点电荷q1、q2、…、qn

单独存在时对点电荷q0

的电力，则q0

所受的总电力F

(矢量和)为：◆对n

个点电荷所组成的系统：点电荷系◆对电荷连续分布的带电体带电体

Q

对

q0

的作用力：选取电荷元

dq，则dq

对

q0

的作用力：库仑定律与静电力的叠加原理是静电学的最基本规律。原则上，有关静电学的问题都可用这两条规律解决。讨论例如，在求两个带电体之间作用力时，若不能把它们当作点电荷，就无法直接应用库仑定律，这时根据上述叠加原理，可将它们划分成无数个能看成为点电荷的小块，求出一个带电体上每一小块对另一带电体上每一小块的相互作用力，再求其矢量和，就可得到两个带电体之间相互作用的电力。

例1-2-1

图示两小球的质量均为m=0.1×10-3kg，分别用两根长l=1.20m的塑料细线悬挂着。当两球带有等量的同种电荷时，它们相互推斥分开，在彼此相距d=5×10-2m处达到平衡。求每个球上所带的电荷q。解：对每个小球来说，受重力mg、悬线拉力T

和小球间的静电斥力F

三个力作用。根据库仑定律，F

的大小为：(1)ldmmFFTmgmgT由于小球分别处于平衡状态，根据牛顿第二定律，对其中任一个小球来说，在铅直方向和水平方向分别有：(a)(b)由于两球分开的距离和悬线长度相比甚小，故角也甚小，故(2)将题设各值代入上式，可算出各球所带电荷为：注意：本题有两个答案。因为两球既然相斥，它们可以都带正电，也可以都带负电。(1)(2)例1-2-2

在半径为R

的均匀带电的半圆弧形塑料细杆上，均匀地分布着正电荷Q，求它对位于圆心O处的点电荷q(q>0)的作用力。分析：

1.将细杆分成许多线元，使得每一线元上所带电荷dQ（称为电荷元）可视作点电荷；2.利用库仑定律求出电荷元dQ

对点电荷q

的作用力dF；3.最后根据电力叠加原理，求所有这些力的矢量和，便可得出整个细杆上的电荷Q

对点电荷q

所作用的合力F。+++++++++qRQqxydlR解：如图所示，建立坐标系，在与x轴成角处沿细杆取一圆弧形线元

故，线元dl

上所带电荷为：由题设可知，细杆均匀带电，故线电荷密度为qdlRxydFdFydFxdldFF按库仑定律，电荷元dQ

对点电荷q

作用的静电力大小为：进行对称性分析结论：合力F

沿y轴负向。沿着y轴负向§1.3

电场和电场强度一.电场从上节的讨论可以看到，两个电荷在真空中相隔一段距离会有相互作用力，那么两个电荷之间的作用究竟是通过什么中间媒介而传递的呢？关于这个问题，历史上曾经有两种对立的学说。·早期：电磁理论是超距作用理论，认为一个电荷对另一个电荷的作用是不需要通过中间媒介而直接作用的，也不需要时间而即时作用的。电荷电荷·后来:法拉第提出场的概念，任何带电体周围空间都存在着一种"特殊"的物质，这种物质称为电场，电荷与电荷之间正是通过电场发生相互作用的。电荷电场电荷当有带电体存在时，其周围就伴随有一个电场。如果带电体相对于观察者所在的惯性参考系(例如地球等)是静止的，那么，在这带电体周围存在的电场称为静电场。静电场是电磁场的一种特殊形式。1.电场是一种物质，是一种客观实在。近代的科学实验充分肯定了场的观点，而且还证实了电场和一切由分子、原子组成的物质一样，也具有能量、动量和质量等重要特征；电(磁)场的传播速度等于光速。2.电场的特点（对外表现）:(1)

对位于其中的带电体有力的作用－电场力；(2)

带电体在电场中运动，电场力要做功，这也表明电场具有能量。二.电场强度真空中一个固定不动的点电荷

q通常将一个电量为

q0

的点电荷，作为检验电荷放到电场中去探测它在场中各点受到的电场力。检验电荷q0：要求体积很小（视为点电荷），从而可以研究电场中各点的性质；同时要求检验电荷的电量也很小，这样当它放入电场中时，不影响原来电场的分布定量描述电场对电荷有力作用性质的物理量场源电荷q：产生电场的电荷检验电荷

q0

放在电场中不同位置处，受到电场力F

的大小和方向一般来说是不同的；对给定电场中的确定点来说，检验电荷所受到的作用力

F

与检验电荷

q0

的比值是一个确定的矢量，这个矢量只和给定电场中各确定点的位置有关，而与检验电荷的大小、正负无关。这个矢量反映了各确定点电场本身的性质－－定义为电场中各确定点的电场强度：电场中某点的电场强度等于单位正电荷在该点所受的力实验发观：塑料支柱qF1P1q0F2P2q0F3P3q0检验电荷在电场中不同位置的受力情况（场源电荷与检验电荷均为正）电场强度E

是空间坐标的函数，即：

E=E(x,y,z)三.

电场强度的叠加原理在点电荷q1、q2、…、qn

共同激发的电场中某场点P，放置一个检验电荷q0。根据电力的叠加原理，检验电荷q0

所受的力：F=F1+F2+…+Fn

今将上式两端除以q0，得：又按场强定义，上式右端的各项分别是各点电荷(场源电荷)在同一点P的场强，即左端代表这些点电荷同时存在时该点P的总场强，表明：电场中某点的总场强，等于各个点电荷单独存在时在该点的场强之矢量和——电场强度叠加原理四.带电粒子在外电场中所受的作用若外电场是静电场，电荷所受的作用力叫静电力。F=qE当带电粒子可以看成点电荷q

时，其在外电场E中所受力为：§1.4静止的点电荷的电场及其叠加一.点电荷的电场对于点电荷q

产生的场，设想把一个检验电荷q0

放在与q

相距为r

的任一点

P

处，受力为：则P点的电场强度为：q思考：若电场是由点电荷系q1、q2、…、qn

产生的。根据电场叠加原理，点电荷系在任一点P

产生的合电场的电场强度为：二.点电荷系的电场电荷连续分布情况电荷体密度电荷面密度电荷线密度用电场强度叠加原理求连续带电体的步骤(4)积分（认识变量，及积分上、下限）(1)任取dq(2)写出dE(3)写出dEx，dEyor做对称性分析电偶极矩（电矩）三.电偶极子的电场强度

讨论1.电偶极子轴线延长线上一点的电场强度2.电偶极子轴线的中垂线上一点的电场强度yxL均匀带电直线中垂线上的场强dEdExdEyxPdlldEdl例1-4-1

求一均匀带电直线中垂线上的场强。今设一均匀带电直线，长为L，线电荷密度为，求直线中垂线上一点的场强。r解：在棒上任取长度的线元dl，其电量为由对称性分析可知，P

点的总场强E

方向应沿x轴方向，即而由于将代入，得：方向垂直于带电直线而指向远离直线的一方(1)

当

x<<L

时，此时相对于x，可将该带电直线看作“无限长”。说明：在一无限长带电直线周围任意点的场强与该点到带电直线的距离成反比。讨论：Ex(2)

当

x>>L

时，说明：离带电直线很远处该带电直线的电场相当于一个点电荷q

的电场。由对称性有解：例1-4-2

在垂直于均匀带电圆环的轴上的场强。一均匀带电细圆环，半径为R，总电量为q，求圆环轴线上任一点的场强。(1)（点电荷电场强度）(2)(3)讨论：有一半径为,电荷均匀分布的薄圆盘,其电荷面密度为。求通过盘心且垂直盘面的轴线上任意一点处的电场强度。解：由上例例1-4-3

在垂直于均匀带电圆盘的轴上的场强。（点电荷电场强度）无限大均匀带电平面的电场强度讨论：结论：在一无限大均匀带电平面附近，电场是一个均匀场，各点的场强(包括大小和方向)相同。“无限大”均匀带电平面的电场讨论思考：已知两个均匀的、分别带上等量正、负电荷的平行平面(即面电荷密度相同)，求这一带电系统的电场分布。局限于上述区域内的电场，称为"无限大"均匀带电平行平面的电场。结论：电场全部集中于两平面之间，而且是均匀电场。利用电场叠加原理•r+

r-例计算电偶极子在均匀电场中所受的作用设电偶极子处于场强为E

的均匀电场中，并且从负电荷–q到正电荷+q的位矢l

与E

之间的夹角为。(1)作用于电偶极子正、负电荷上的电场力分别为F+

和F-，其大小相等，即其方向相反，因此两力的矢量和为零，电偶极子不会发生平动；分析：•r+

r-(2)由于电场力F+和F-

的作用线不在同一直线上，此两力组成一力偶，使电偶极子转动。力矩M

的作用总是使电偶极子转向电场E

的方向。电偶极矩dl练习1.

一半径为R

的无限长半圆柱面形薄筒，均匀带电，单位长度上的带电量为，试求圆柱面轴线上一点的电场强度E。yxOdExdEyθdEdl分析：沿弧长方向取一宽度为dl

的窄条，该窄条单位长度上所带的电量为：单位长度的带电窄条在O点产生的场强的大小为：由对称性分析可知，各窄条在点O激发的场强在y轴方向上的分矢量互相抵消，故合场强沿x轴方向又：讨论：当

时，沿

x轴正向；当

时，沿x轴反向。•OΔlR2.

用细的不导电的塑料棒弯成半径为50cm的圆弧，棒两端点间的空隙为2cm，棒上均匀分布着3.12×10-9C的正电荷，求圆心处场强的大小和方向。分析：以均匀带电的细圆环与带-q

的小圆弧的叠加来求圆心处的场强。由于均匀带电圆环在其圆心处的场强为零，故EO，故可把的电荷-q

视为点电荷3.

长为l，线电荷密度为

的两根相同的均匀带电塑料棒，沿同一直线放置，两棒近端相距为l，求两棒间的静电相互作用力。lll分析：先按左棒为场源电荷而右棒为受力电荷，计算左棒的场强，再求右棒所受电场力。用积分法求场强及电场力l2l3lOxx左棒在x’处的场强为右棒受的总电场力为：右棒x’处的电荷元受的电场力为：1.5电场线和电通量一.电场线1.一系列带箭头的曲线：曲线上每一点的切线方向都和该点的场强方向一致，这些线称为电场线。q0F2.场强的大小：在电场中任一点，假想作一个面积元，与该点场强E

的方向相垂直(上图)，使得通过这面积元所画的电场线条数满足以下的关系：dd结论：在电场中任一点处的电场线数密度在数值上等于该点处场强的大小。用电场线数密度来表示场强的大小E

时密度大的区域，电场线密集，表示该处的场强较强；密度小的区域，电场线疏稀，表示该处的场强较弱。点电荷的电场线正点电荷+负点电荷一对等量异号点电荷的电场线+一对等量正点电荷的电场线++一对不等量异号点电荷的电场线带电平行板电容器的电场线++++++++++++

小结电场线的性质：(1)静电场中任何一条电场线，都是起自正电荷(或来自无穷远处)，终止于负电荷(或伸向无穷远)，它们不会在没有电荷的地方中断，更不会回到电场线的起始点上的电荷处而形成闭合的回线。(2)因为在静电场中任何一点（除点电荷所在处以外），只有一个确定的场强方向，所以任何两条电场线不可能相交。EE’＋二.电通量定义矢量面元

dS

=dSen通过面元dS的电通量：定义：以dS

表示电场中某一个假象的面元，通过此面元的电场线条数即为通过这一面元的电通量。en注意：通过dS

和的电场线条数是一样的。面元dS

在垂直于场强方向的投影是：由于

为dS

和E

之间的夹角，得：注：当时，dFe

为正；当时，dFe

为负。

非均匀场，任意曲面

E任意，封闭曲面小面元dS

=dSen面积分规定为封闭曲面的外法线方向闭合面积分结论1：通过整个封闭曲面的电通量Fe

就等于穿出与穿入封闭曲面的电场线的条数之差，也就是净穿出封闭面的电场线的总条数。结论2：对封闭曲面(1)若Fe>0，即电通量为正，则有净的电场线从曲面之内向外穿出；(2)若Fe<0，即电通量为负，则有净的电场线从外部穿入曲面。

例1

如图所示，有一个三棱柱体放置在电场强度为E的匀强电场中。求通过此三棱柱体的电通量。解：E例2如图所示，有一带上下底的闭合圆柱面放在均匀电场中，电场强度E平行于圆柱轴线，求通过此圆柱面的电通量。解：=0enenen通过真空中静电场内任意封闭曲面

S的电通量，等于该曲面所包围的电荷的代数和的e0

分之一倍1.6高斯定律电磁场的基本定理之一德国数学家和物理学家高斯(K.F.Gauss)曾从理论上证明，静电场中任一封闭曲面上所通过的电通量与这一封闭曲面内所包围的电荷电量间存在着确定的量值关系，这一关系被称为高斯定理：1.高斯定律+S1)点电荷位于球面中心高斯定理库仑定律电场强度叠加原理2.高斯定理的推导+S’2)点电荷在任意封闭曲面内注意：从点电荷q

发出的电场线连续地延伸到无限远处。连续性S3)

点电荷在封闭曲面之外穿入的电场线的条数=穿出的电场线的条数单个点电荷的高斯定理4)

由多个点电荷产生的电场又：1.通过封闭曲面的电通量只决定于它所包含的电荷，封闭曲面外的电荷对电通量无贡献；而高斯定律中的场强则是由全部电荷（曲面内和曲面外）产生的。注意：2.上节所说的电场线起始于正电荷、终止于负电荷的这一性质，是高斯定理的必然结果。这一性质显示了静电场是有源场。+讨论下列说法是否正确？静电场中的任一闭合曲面S，若有，则S

面上的E处处为零。若闭合曲面S

上各点的场强为零时，则S

面内必未包围电荷。通过闭合曲面S

的总电通量，仅仅由S

面所包围的电荷提供。闭合曲面S

上各点的场强，仅仅由S

面所包围的电荷提供。应用高斯定理求场强的条件是电场具有对称性。2.在点电荷和的静电场中，做如下的三个闭合面求通过各闭合面的电通量。讨论1.将q2

从A移到B点P电场强度是否变化？穿过高斯面S的有否变化？*变化不变化3.在点电荷和的静电场中，做如下闭合面S，求通过闭合面的电通量。思考：闭合曲面S上任意点的电场强度为0吗？通过闭合面的电通量等于0。4.证明静电场的电场线在无电荷处不会中断。目的：用高斯定理证明静电场电场线的性质反证法：已知P点无电荷，设电场线在P点中断。在P点附近取一小的高斯面S，因为电场线穿进S

面在P点中断，故通过该面的电通量由高斯定理可知S

面内必有负电荷，令S

面无限缩小，则P点应有负电荷，这与已知矛盾，故假设不成立，得证。SP1.7利用高斯定律求静电场的分布高斯定理普遍适用于任何静电场，当电荷分布具有某种对称性时，可用高斯定律求出该电荷系统的电场的分布，这比用库仑定律简便。求解的关键是选取适当的高斯面。

选取原则：高斯面必须经过所求场强的点；(2)在不求E

的部分高斯面上，E

的方向和dS

垂直，使得E·dS=0；(3)在求E

的部分高斯面上，要求该面上各点E的大小处处相同，方向和dS

矢量平行，以便E可以作为常量从积分符号中提出；(4)高斯面应选取规则形状，以便计算。常见的具有对称性分布的源电荷有：球对称分布：点电荷、均匀带电球面及球体轴对称分布：均匀带电的无限长直线、无限长圆柱平面对称分布：无限大平面、无限大厚平板注意：选取高斯面时，要使高斯面与源电荷具有相同的对称性。

场强的对称性分析：依据电场叠加原理；

根据对称性作合适的高斯面；应用高斯定理计算。

写出的分区函数步骤：++++++++++++对称性分析：球对称P1.均匀带电球面的场强分布。设球面半径为R，带电量为q。场源的对称性决定着场强分布的对称性，因此场强具有与场源同样的球对称性。求解均匀带电球面的电场分布解：(1)(2)++++++++++++P++++++++++++Pa.

均匀带电球面外的场强分布正象球面上的电荷都集中在球心时所形成的点电荷在该区的场强分布一样。结论：b.

在球面内的场强均为零。++++++++++++RrE均匀带电球面的场强思考：如何理解球面内的场强为零？过P点作圆锥，则在球面上截出两面电荷元：方向如图dq1

在

P点场强P方向如图dq2

在

P点场强2.均匀带电的球体内外的场强分布。设球面半径为R，带电量为q。选高斯面为同心球面。(1)r>R时，高斯面内电荷为q：PO＋＋＋＋＋＋＋＋qR＋＋＋＋＋＋r(2)r<R时，高斯面内电荷为q’：O＋＋＋＋＋＋＋＋qR＋＋＋＋＋＋Pr结论：a.均匀带电球体外的场强分布正象球体上的电荷都集中在球心时所形成的点电荷在该区的场强分布一样。b.

在球体内的场强与场点离球心的距离成正比。O＋＋＋＋＋＋＋＋qR＋＋＋＋＋＋REr均匀带电球体的电场+++++对称性分析：轴对称解：3.无限长均匀带电直线的场强分布。设一无限长均匀带正电的直线，其线电荷密度为。++场强具有与场源同样的轴对称性。+++++求解无限长均匀带电直线的电场分布选取闭合的柱形高斯面++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++