B层样卷2部分答案

期末考试样卷二—1所以|24+3—1所以|24+3目=000020=—14w。。0700、20,。7,4.设A为3阶方阵，A的特征值为-2「，,2,则下列方阵中可逆的是2(A).A.3E+2AB.2E+AC.E+2AD.A-2E解：因为A的特征值为-2,-卜‘所以2A+3£的特征值一2x2+3=—1,--x2+3=2,2x2+3=7,2因为2A+3£的特征值互不相同，2A+3£相似于0、0因此2A+3E是可逆的。6.设A为〃阶方阵，A*是其伴随阵，左为常数且ZwO,±L则(L4)*解:根据公式尸’=|印班,可得根A)*=(如尸⑼。因为国4尸=k~lA~l,又因为A是n阶方阵,所以⑼=刈小进而可得(M)*=(雨)]例=(F*A-'Xr|A|)=z〃t(a[a|)=La*‘123、7・A=258,则A的秩为511,’123、解：A=258、3711,第二行减第一行两倍，第三行减第一行三倍得’123、012、012,第三行减第二行得」23、012、000,因为阶梯化过后有两个非零行，所以秩为2。当t取值为时,二次型/=%：+4月+2后-2处％-是正定的."1-t-P解：二次型对应的方阵为A=4°,「1。2J1该二次型是正定的，当且仅当—t9二4"〉o41-t—1—t—140=4+/>002,其由・・・a解：将行列式沿第一行拆开可得:等号后面第一个行列式，后面3列减去第1歹U；等号后面第二个行列式做列展开得：10••01CL)…0ax1・・・11+%=2/%+(2\11111+%1(*)11+40a20+0=a2a3+。3。4+a4a2+/%%将这个结果代入(*)可得：A=+。1。3。4+。1%。2+。2。3。4+。1。2。3。4四.设向量组d=(1,1,0)。名=(1,2,0)、&=(0,-1,1)7,名=(0,04)丁后二(1,0,1)。(1)求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用这个极大无关组线性表示.(2)设A=(跖扃，演我4)，元=(不々，%3，%),，求线性方程组A元=区的通解.(1)解：110易见防,制，访组成的行列式120=1，0,所以自，名,防线性无关。001又因为法3二&i一&2+&6茂5=2-a2+a4,所以司,当，制是极大无关组，整个向量组的秩为2.六.已知。二7］、

a2

六.已知。二7］、

a2

/3/解：方程组的通解为为三维单位列向量.(1)求。〃；(2)求R(cra/)；(3)求出二〃的全部特征值.(4)求证：二次型/(X1,X2,X3)=(6Z1X1+a2X2+名工3)2在正交变换下能化为城.

(1)解：aa'4'=(1)解：aa'4'=a2(4出名），将前者视为三行，后者视为三列，可得aaT=a2(qa2%)=axa2

al（2）解：根据性质，乘积的秩不会超过单项的秩，所以R（a/）＜R（a）,R（ar）。再根据性质：一个矩阵的秩不会超过自己的行数与列数，而“只有一列，/只有一行，所以尺（扇/）4尺9），尺（/）＜1。注意到。是单位向量，其分量不会全为0,所以a"'不是零矩阵，因此尺（旗/）。0,进而可知：R（aaT）=\o（3）解：先考虑矩阵a/乘以列向量a：(a/卜二a(a%)=二｛axa2(W

ax%最后一个等式是因为a是单位向量，所以有如+〃；+抬=1；(a/卜二a(a%)=二｛axa2(W

ax%另外两个特征值我们设为x,y,因为方阵。/是对称的，所以方阵能够相似于对角阵yj

TOC\o"1-5"\h\zCl1因为相似，所以它们的秩相等：R(aar)=Rx。、力q、因为第二问已证：R{aaT}=\,所以R%=1。而对角阵本身就是阶梯型矩阵，它的秩即自身非零行的个数，所以％=y=0。即方阵。/有三个特征值：1,0,0.(4)二次型f{xx,x2,x3)=(axxy+a2x2+]=afxf++2^z16z2x1%2+2a2a3x2x3+2a3a1x3x}它对应的方阵为axa它对应的方阵为axa22a2^^3、W3&37,容易看出这个方阵就是因为它的特征值为:1・因为它的特征值为:1・y2+0.£+0・y；。七.(1)设方阵A满足H-A-2£=O,证明A及A+2石都可逆，并求人一】及(A+2E)-1.⑵设/是一个〃阶方阵，”为奇数，且|A|=1,AT=AT,证明：石-A不可逆.(1)证明：第一步，先证A可逆(要证可逆，只要证明行列式非零)。将A?—A—2£=0整理为A?—A=2£,由此可知A(A—£)=2£(*)对这个等式两边同时取行列式得：⑷恒-国=|2目wO所以|A|wO,由此即可推出A可逆。此外，由于(*)还可以推出：A1(A-E)=E所以A」=-(A-E)o第二步，再证A+26可逆。将A?—A—2£=0整理为A?—A—6£=—4£,由此可知(A+2E\A-3E)=-4E(**)对这个等式两边同时取行列式得：|A+24|A-3目=卜4目wO所以|A+2目wO,由此即可推出A+2E可逆。此外，由于(**)还可以推出：(A+2E1[1(A—3E)=E,所以(A+2£)t=?(A—3£)。(2)证明：因为A—£是方阵，所以要证它不可逆，只要证|A—同=0。因为47=4一，所以(A-Ey=AT-ET=-E=A-[-E=A[E-A-,A=A-7E-A)两边同时取行列式得：|A—同=g—£)[二,[•