山东省烟台市中德外国语中学高二数学理期末试题含解析

山东省烟台市中德外国语中学高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应下面图中的（1），（2），（3），（4），则图中，a，b对应的运算是（）A．B*D，A*D B．B*D，A*C C．B*C，A*D D．C*D，A*D参考答案：B【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据已知图象与运算的关系，进行必要的分析归纳，找出规律，猜想未知的图象与运算的关系【解答】解：根据题意可知A对应横线，B对应矩形，C对应竖线，D对应圆．故选B．2.设全集U是实数集R,则A．

B．

C．

D．参考答案：B略3.已知点F是双曲线的右焦点，点E是该双曲线的左顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若∠AEB是钝角，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A． B． C．（2，+∞） D．参考答案：C考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的对称性及∠AEB是钝角，得到AF＞EF，求出AF，CF得到关于a，b，c的不等式，求出离心率的范围．解答：解：∵双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴∴∠AEF=∠BEF∵∠AEB是钝角，∴AF＞EF∵F为右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，∴AF=，∵EF=a+c∴＞a+c，即c2﹣ac﹣2a2＞0解得＞2或＜﹣1双曲线的离心率的范围是（2，+∞）故选：C．点评：本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的三参数关系：c2=a2+b2、考查双曲线的离心率问题就是研究三参数a，b，c的关系．4.已知i是虚数单位，若复数z满足（1+i）z=2+i，则=（）A．﹣i B．+i C．1+i D．1﹣i参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由（1+i）z=2+i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，则可求．【解答】解：由（1+i）z=2+i，得=，则=．故选：B．5.已知||=||=2，与的夹角为60°，则+在上的正射影的为（）A．3 B．2 C．1 D．0参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用．【分析】由题意可得，+与的夹角为30°，|+|==2，根据+在上的正射影的为|+|?cos30°，计算求得结果．【解答】解：∵已知||=||=2，与的夹角为60°，∴+与的夹角为30°，|+|====2，则+在上的正射影的为|+|?cos30°=2?=3，故选：A．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求一个向量在另一个向量上的投影，属于基础题．6.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如6613用算筹表示就是，则用算筹可表示为（）参考答案：C由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，则用算筹可表示为，故选C.

7.与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A8.如果函数y=f(x)的图象如右图，那么导函数y=f(x)的图象可能是（

）

参考答案：A9.已知，点为斜边的中点，，则等于（

）A．

B．

C．9

D．14参考答案：D10.“0＜m＜3”是“方程+=1表示离心率大于的椭圆”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出“方程+=1表示离心率大于的椭圆”的充要条件，根据集合的包含关系判断即可．【解答】解：m＞4时，椭圆的焦点在y轴上，此时a2=m，b2=4，c2=m﹣4，故＞，解得：m＞，0＜m＜4时，椭圆的焦点在x轴上，此时a2=4，b2=m，c2=4﹣m，故＞，解得：0＜m＜3，故“0＜m＜3”是“方程+=1表示离心率大于的椭圆”的充分不必要条件，故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.由命题“”是假命题,求得实数的取值范围是,则实数的值是_____.www.参考答案：1略12.已知，，，则=

。参考答案：13.定义在上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{an}，仍是等比数列，则称f(x)为“等比函数”.现有定义在.(－∞,0)∪(0,+∞)上的如下函数：①；②；③；④，则其中是“等比函数”的f(x)的序号为

参考答案：（3）（4）14.若lgx+lgy=1，则的最小值为____.参考答案：２略15.求和：

参考答案：16.在中当m=

时面积最大。参考答案：略17.若行列式中第一行第二列元素的代数余子式的值为4，则a=

．参考答案：2【考点】二阶行列式的定义．【分析】本题直接根据行列式的代数余子式的定义进行计算，即可得到本题结论．【解答】解：∵行列式中第一行第二列元素的代数余子式的值为4，∴﹣=4，∴﹣（a﹣3a）=4，∴a=2．故答案为：2．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立，q：函数f（x）=（3﹣2a）x是增函数．若p∨q为真，p∧q为假．求实数a的取值范围．参考答案：【考点】复合命题的真假．【分析】由p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立，q：函数f（x）=（3﹣2a）x是增函数分别列示求出a的范围，再由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假，分类求出a的范围，取并集得答案．【解答】解：设g（x）=x2+2ax+4，由于关于x的不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立，∴函数g（x）的图象开口向上且与x轴没有交点，故△=4a2﹣16＜0，∴﹣2＜a＜2．又∵函数f（x）=（3﹣2a）x是增函数，∴3﹣2a＞1，得a＜1．又由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假．（1）若p真q假，则，得1≤a＜2；（2）若p假q真，则，得a≤﹣2．综上可知，所求实数a的取值范围为1≤a＜2，或a≤﹣2．19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，.于点,是中点.（1）用空间向量证明：AM⊥MC，平面⊥平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值；（3）求点到平面的距离.参考答案：如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，，；设平面的一个法向量，由可得：，令，则。（1）略（2）设所求角为，则，（3）由条件可得，.在中，,所以,则,，所以所求距离等于点到平面距离的，设点到平面距离为则，所以所求距离为。20.已知函数f（x）（x∈R），f′（x）存在，记g（x）=f′（x），且g′（x）也存在，g′（x）＜0．（1）求证：f（x）≤f（x0）+f′（x0）（x﹣x0）；（x0∈R）（2）设n），且λ1+λ2+…+λn=1，xi∈R（i=1，…，n）（n∈N+）求证：λ1f（x1）+λ2f（x2）+…+λnf（xn）≤f（λ1x1+λ2x2+…+λnxn）（3）已知a，f（a），f[f（a）]，f{f[（f（a）]}是正项的等比数列，求证：f（a）=a．参考答案：【考点】数列的应用；导数的运算．【分析】（1）构造辅助函数?（x）=f（x）﹣f（x0）﹣f'（x0）（x﹣x0），求导，根据函数的单调性求得?（x）的极大值，?（x）≤?（x0）=0，即可得f（x）≤f（x0）+f'（x0）（x﹣x0）；（2）由（1）可知，两边分别同乘以λ1，λ2，λ3，…λn，采用累加法，得λ1f（x1）+λ2f（x2）+…+λnf（xn）≤（λ1+λ2+…+λn）f（x0）+f'（x0）?[λ1（x1﹣x0）+λ2（x2﹣x0）+…+λn（xn﹣x0）]，由λ1+λ2+…+λn=1，设x0=λ1x1+λ2x2+…+λnxn，则λ1（x1﹣x0）+λ2（x2﹣x0）+…+λn（xn﹣x0）=0，即可证明λ1f（x1）+λ2f（x2）+…+λnf（xn）≤f（λ1x1+λ2x2+…+λnxn）；（3）分别求得f（a）=aq，f[f（a）]=aq2，f{f[f[f（a}}=aq3，λx1+（1﹣λ）x2=aq，f[λx1+（1﹣λ）x2]=f（aq）=f[f（a）]=aq2，可得：=f[λx1+（1﹣λ）x2]，由n=2，λ1=λ，λ2=1﹣λ，即λf（x1）+（1﹣λ）f（x2）≤f[λx1+（1﹣λ）x2]，当且仅当x1=x2时成立，即a=aq2?a=1，可得f（a）=a．【解答】解：（1）证明：设?（x）=f（x）﹣f（x0）﹣f'（x0）（x﹣x0），则?'（x）=f'（x）﹣f'（x0）∵g'（x）＜0故g（x）=f'（x）为减函数，则x=x0为?（x）的极大值点．∵?（x）≤?（x0）=0，即f（x）≤f（x0）+f'（x0）（x﹣x0）（当且仅当在x=x0取到）（2）证明：由（1）可知：f（x1）≤f（x0）+f'（x0）（x1﹣x0），两边同乘以λ1得λ1f（x1）≤λ1f（x0）+λ1f'（x0）（x1﹣x0），λ2f（x2）≤λ2f（x0）+λ2f'（x0）（x2﹣x0），…λnf（xn）≤λnf（x0）+λnf'（x0）（xn﹣x0），上式各式相加，得λ1f（x1）+λ2f（x2）+…+λnf（xn）≤（λ1+λ2+…+λn）f（x0）+f'（x0）?[λ1（x1﹣x0）+λ2（x2﹣x0）+…+λn（xn﹣x0）]，因为λ1+λ2+…+λn=1，设x0=λ1x1+λ2x2+…+λnxn，则λ1（x1﹣x0）+λ2（x2﹣x0）+…+λn（xn﹣x0）=0，由此，λ1f（x1）+λ2f（x2）+…+λnf（xn）≤f（λ1x1+λ2x2+…+λnxn））等号当且仅当在x1=x2=…=xn时成立，（3）证明：记公比为q，q＞0，则f（a）=aq，f[f（a）]=aq2，f{f[f[f（a}}=aq3，取x1′=a，，λ=∈（0，1），则λx1+（1﹣λ）x2=aq，f[λx1+（1﹣λ）x2]=f（aq）=f[f（a）]=aq2，又∵λf（x1）+（1﹣λ）f（x2）=λf（a）+（1﹣λ）f（aq2），=λf（a）+（1﹣λ）f{f[f（a）]}，=λaq+（1﹣λ）aq3，=aq3+λaq﹣λaq3，=aq3+λaq（1﹣q2），=aq3+aq（1﹣q2），=aq2，即aq3+λaq（1﹣q2）=aq2=f[λx1+（1﹣λ）x2]，在（2）中取n=2，λ1=λ，λ2=1﹣λ，即λf（x1）+（1﹣λ）f（x2）≤f[λx1+（1﹣λ）x2]，当且仅当x1=x2时成立，即a=aq2?q=1，∴f（a）=a．21.已知函数，（且），（1）若函数在上的最大值为1，求a的值；（2）若存在使得关于的不等式成立，求k的取值范围.参考答案：（1）或；（2）【分析】（1）利用导数结合定义域讨论出函数的单调区间，根据单调区间求出函数的最小值，从而解出的范围；（2）关于不等式存在成立，等价于不等式在有解，令，对函数求导，求出函数在上的单调区间，从而求出的最小值，即可求出的取值范围。【详解】（1）因为，令，，，当时，在上单调递增，在上单调递减，所以在区间上的最大值为，令，解得.当，，当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增，所以最大值1可能在或处取得，而，所以，解得.当时，在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增