北京航空航天大学材料力学课件-刘华-7第七章弯曲变形

§7-1引言 §7-2挠曲轴近似微分方程 §7-3计算梁位移的积分法§7-5计算梁位移的叠加法 §7-6简单静不定梁 §7-7梁的刚度条件与合理刚度设计第七章弯曲变形

1Page目的:

1、解决梁的刚度问题

2、求解静不定梁3、为研究稳定问题打基础§7-1引言拉压杆的变形：伸长或缩短(Dl)圆轴扭转的变形：相对转动(扭转角j)弯曲变形：怎样描述？回顾：2Page挠曲轴是一条连续、光滑曲线

对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线

对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计因而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交挠曲轴

轴线变为曲线，变弯后的梁轴，称为挠曲轴，弯曲变形的特点3Page

梁变形的表示方法：描述梁的位移:1、截面形心在垂直于梁轴方向的线位移

——挠度w2、横截面的角位移

——转角

挠度随坐标变化的方程——挠曲轴方程w=w(x)

忽略剪切变形

+

梁的转角一般很小——FAB4Page§7-2挠曲轴近似微分方程w挠曲轴的近似微分方程——变形与载荷的关系：

中性层曲率表示的弯曲变形公式由高等数学知曲线w=w

(x)上任意点的曲率

挠曲轴微分方程

——

二阶非线性常微分方程（纯弯）（推广到非纯弯）5PageQ方程简化

小变形时：正负号确定——确定坐标系:w向上为正，q逆时针为正6PageF

C、D为积分常数，它们由位移边界与连续条件确定。一、梁的挠曲轴方程§7-3计算梁位移的积分法7Page位移边界条件w=0w=0w=0q=0二、位移边界条件与连续条件自由端：无位移边界条件。位移连续与光滑条件ACDMFB挠曲轴在B、C点连续且光滑连续：wB左=wB右光滑：qB左=qB右

8Page写出梁的挠曲轴方程的边界条件和连续条件例：ABCDFE

可动铰自由端：无位移边界条件固定端

连续条件：边界条件：右左右左CCCCwwqq==9Page已知EI,建立该梁的挠曲轴方程AB解:2、挠曲轴近似微分方程1、弯矩方程:例：10PageAB3、积分常数的确定w(0)=0D=0w’(0)=0C=011Page已知EI

,建立该梁的挠曲轴方程

AC解:计算约束反力，建立坐标系。AB段BC段例:xB12Page边界和连续条件:

四个方程定4个常数ACxB1213PageADBC绘制挠曲轴的大致形状：1.绘制弯矩图。2.绘制挠曲轴的大致形状凹凸凹直线挠曲轴大致形状+_Fs+MF

弯矩图过零点处为挠曲轴拐点，弯矩M＝0的梁段，挠曲轴为直线

支座性质定该处线和或角位移，在分段处满足位移连续条件F

弯矩图符号定挠曲轴凹凸性有些截面的挠度为正或负，需由计算确定拐点14Page§7-5计算梁位移的叠加法

叠加法

逐段分析求和法两种方法比较例题15Page一、叠加法M(x)为载荷(F,q,Me)的线性齐次函数2、梁的变形很小；(不影响其它载荷的作用效果)1、应力不超过比例极限；(线弹性)梁的变形与载荷成线性关系积分后，w和w’仍然是载荷(F,q,Me)的线性齐次函数16Page叠加法的应用例：EI=常数，求，载荷由集中力F，均布力q和力偶M0构成，分别查表（请熟记P377附录E中1，3，4，6，8，9各梁的挠度和转角），然后将各个载荷在A端引起的位移叠加。AFqQ分析方法：17Page查表,p377AAFAqAFq()Fq叠加：18Page例：载荷集度为，求自由端挠度xq0BFB分析方法：将任意分布载荷看作无穷微集中力的叠加。注意(1)a取为变量x(2)载荷向上为正查表P377(2):19Page例：载荷集度为，求自由端挠度xq0BFB20PageACBq0(a)+q0(b)BACq0(c)分析：故：为什么？例：EI=常值，求21Page例：矩形截面梁斜弯曲问题——计算自由端形心C的位移。方位角

一般，弯曲变形不发生在外力作用面内。yCzF22PageAB挠曲轴大致形状的绘制AC（1）（2）凸直线AC23PageABC例：求图示外伸梁C点的挠度和转角二、逐段分析求和法：ABC仅考虑BC段变形：仅考虑AB段变形：ABCqaqa2/224Page例：E常数,，,求PABC刚化AB段：BC段刚化：ABCABCP仅考虑BC段变形：仅考虑AB段变形：25Page例2：EI=常数，=常数，求。BC扭转:BC弯曲:ABCPABCBC刚化:PBCAPPaAB刚化:w3AB弯曲：26Page例：E常数,，,求FABCEFABC

对称性在变形分析中的应用：F/2CFB27PageACBqBACq/2ACq/2反对称：中点挠度为0，弯矩0→铰支对称：思路：载荷分解Cq/2例：利用对称性求

(

)(↓)28Page例：组合梁的变形分析，求：AqCBABC’解：梁挠曲轴如图CB保持直线AC悬臂梁qACBR=0RR29Page问题分析：采用逐段分析求和法例：组合梁/刚架各处EI,EA,B处梁间活动铰，求ABCF刚化刚架BDH,AB为简支梁，刚化梁AB，ABHDCFBHDF/230Page解：1.求BHDF/2（1）刚化DH，BD相当于悬臂梁（2）刚化BDDH弯曲DH压缩AA(如果题意没有要求)，拉压与弯曲共同作用时，拉压引起的位移可以忽略。31Page§7-6简单静不定梁静不定度与多余约束多余约束多于维持平衡所必须的约束多余反力与多余约束相应的支反力或支力偶矩静不定度＝支反力（力偶）数－有效平衡方程数静不定度＝多余约束数5-3=2度静不定6-3

=

3度静不定32Page相当系统：受力与原静不定梁相同的静定梁相当系统的选择不是唯一的相当系统1相当系统2相当系统qABABRBqABq33PageAB静定基:一个静不定系统解除多余约束后所得的静定系统(左下)相当系统：作用有原静不定梁载荷与多余约束反力的基本系统(右下)AB静定基与相当系统qABABRBqABq34Page

静不定问题分析例：ABCFFAFBFCF

平面问题有三个平衡方程；F

水平方向不受力，两个有效平衡方程；F

有三个未知力，一度静不定。ABCFFBwB=0问题分析：可以以支座A、B、C任意一个的铅垂约束作为多余约束。求解：解除多余约束，代以约束反力，利用相应变形协调条件求解。例如解除约束B，变形协调条件为35Page例：求支反力1.

静不定度：6-3=32.选取相当系统：右中、下图都合适。选右中图。小变形，轴向变形可忽略

HA=HB=0。两多余未知力qABHAHBRBRAMBMAABMAMBqABRBMB3.建立变形协调条件36Page4.联立求解qABRBMB37Page3.建立变形协调条件4.联立求解第二种相当系统：ABMAMBq38Page例：求A点的垂直方向的位移，A处梁间活动铰。ADR’A组合梁/刚架静不定问题的分析ABCDM0方法：将铰链拆开，建立铰链处的变形协调条件BCM0RA39Page§7-7梁的刚度条件与合理刚度设计一、梁的刚度条件[d]——许用挠度，[q]——许用转角一般用途轴：[d

]=(5/10000~3/10000)l重要轴：[d

]=(2/10000~1/10000)l起重机大梁：[d

]=(1/700~1/1000)l土建工程中的梁：[d

]=(2/10000~1/10000)l安装齿轮或滑动轴承处：[q

]=0.001rad40Page二、梁的合理刚度设计1.与梁的合理强度设计相似点让材料远离截面中性轴，例如工字形与盒形薄壁截面合理安排约束与加载方式（分散载荷等）依据对比强度问题或

与的相似点同样依赖于M41Page合理安排约束与加载方式增加约束，制作成静不定梁42Page（1）强度是局部量，刚度是整体量（积分）2.与梁的合理强度设计的不同点辅梁、等强度梁是合理强度